Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Bắc Ninh năm 2025 - Đề 02 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Trong không gian $O x y z$ , cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có độ dài các cạnh bằng 1, điểm $A$ trùng với gốc tọa độ (như hình vẽ). Tọa độ của vectơ $A^{'} C^{'}$ ' là

Hình minh họa

A

$(1; 0; 1)$

B

$(0; 1; 1)$

C

$(1; 1; 0)$

D

$(1; 1; 1)$

Lời giải

Bước 1: Xác định tọa độ hai điểm

Từ $A$ lên theo $O z$ một đơn vị: $A^{'} (0; 0; 1)$ .

Suy ra $C^{'}$ lệch $1$ đơn vị theo cả $O x$ , $O y$ : $C^{'} (1; 1; 1)$ .

A^{'} (0; 0; 1), C^{'} (1; 1; 1)

Bước 2: Tính tọa độ vectơ

Dùng công thức lấy tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu.

A^{'} C^{'} = C^{'} - A^{'} = (1 - 0; 1 - 0; 1 - 1) = (1; 1; 0)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án $C$ đúng; $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt cho sai thành phần $y$ , $x$ hoặc $z$ .

Đáp án: Đáp án

C

—

A^{'} C^{'} = (1; 1; 0)

.

Câu 2

Mỗi bạn An và Bình chọn ngẫu nhiên ba số trong tập ${0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} .$ Xác suất để trong hai bộ số của An và Bình chọn ra có đúng một số giống nhau bằng

A

$\frac{21}{40}$

B

$\frac{203}{480}$

C

$\frac{49}{60}$

D

$\frac{17}{24}$

Lời giải

Bước $1$ : Đếm tổng số cách

Cố định bộ số của An; Bình có tổng số cách chọn là $C_{10}^{3}$ .

C_{10}^{3} = 120

Bước $2$ : Đếm trường hợp thuận lợi

Chọn $1$ số chung trong bộ của An, rồi chọn $2$ số ngoài bộ đó.

\frac{C _{3}^{1}}{C _{7}^{2}} = 3 \cdot 21 = 63

Bước $3$ : Tính xác suất và đối chiếu phương án

Xác suất cần tìm là $\frac{63}{120} = \frac{21}{40}$ .

Chọn $A$ ; $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt cho kết quả không đúng với số cách thuận lợi trên tổng số cách.

\frac{C _{3}^{1} C _{7}^{2}}{C _{10}^{3}} = \frac{63}{120} = \frac{21}{40}

Đáp án:

A . \frac{21}{40}

— chọn đúng

1

số chung có

63

cách trên tổng

120

cách.

Câu 3

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{2 sin x - 1}{sin x + 2}$ trên $[0; \frac{π}{6}]$ là

A

$- \frac{1}{2}$

B

$\frac{2 ( 3 - 1 )}{3 + 4}$

C

$0$

D

$\frac{1}{3}$

Lời giải

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Đặt $t = sin x$ . Vì $x \in [0; \frac{π}{6}]$ nên $t \in [0; \frac{1}{2}]$ .

0 \leq x \leq \frac{π}{6} \Rightarrow 0 \leq t = sin x \leq \frac{1}{2}

Bước 2: Xét tính đơn điệu

Xét $f (t) = \frac{2 t - 1}{t + 2}$ trên $[0; \frac{1}{2}]$ .

f^{'} (t) = \frac{2 ( t + 2 ) - ( 2 t - 1 )}{( t + 2 ) ^{2}} = \frac{5}{( t + 2 ) ^{2}} > 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Hàm số đồng biến nên đạt giá trị lớn nhất tại $t = \frac{1}{2}$ .

Phương án $C$ đúng; $A$ là giá trị nhỏ nhất, còn $B$ và $D$ không đạt được trên miền xét.

max y = f (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot \frac{1}{2} - 1}{\frac{1}{2} + 2} = 0

Đáp án: C.

0

— hàm số đồng biến và đạt giá trị lớn nhất tại

t = \frac{1}{2}

.

Câu 4

Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có cạnh bằng $a .$ Gọi $O$ là tâm hình vuông $A B C D .$ Đặt $u = O A + O B + O C + O D + O A^{'} + O B^{'} + O C^{'} + O D^{'}$ Khẳng định nào sau đây đúng?

A

$∣ u ∣ = a$

B

$∣ u ∣ = 4 a$

C

$∣ u ∣ = 6 a$

D

$∣ u ∣ = 2 a$

Lời giải

Bước 1: Triệt tiêu các vectơ đáy

Vì $O$ là tâm hình vuông $A B C D$ , các vectơ từ $O$ đến bốn đỉnh đáy đối xứng nhau.

O A + O B + O C + O D = 0

Bước 2: Tính tổng các vectơ mặt trên

Gọi $O^{'}$ là tâm mặt trên. Các vectơ từ $O^{'}$ đến $A^{'}, B^{'}, C^{'}, D^{'}$ triệt tiêu, còn $∣ O O^{'} ∣ = a$ .

O A^{'} + O B^{'} + O C^{'} + O D^{'} = 4 O O^{'}, ∣ O O^{'} ∣ = a

Bước 3: Đối chiếu phương án

Suy ra độ dài vectơ tổng là $4 a$ .

Chọn B; A, C, D sai vì lần lượt cho hệ số $1$ , $6$ , $2$ thay vì $4$ .

u = 4 O O^{'} \Rightarrow ∣ u ∣ = 4∣ O O^{'} ∣ = 4 a

Đáp án: B — vì

∣ u ∣ = 4 a

, do bốn vectơ mặt trên cùng đóng góp chiều cao

a

.

Câu 5

Cho $a, b, c$ là các số thực dương, $a \neq = 1$ và $lo g_{a} b = 5, lo g_{a} c = 7.$ Giá trị của biểu thức $lo g_{a} (\frac{b}{c})$ là

A

$- 1$

B

$4$

C

$- 4$

D

$1$

Lời giải

Bước 1: Đổi sang dạng lũy thừa

Dùng định nghĩa lôgarit để biểu diễn $b, c$ theo cơ số $a$ .

lo g_{a} b = 5 \Rightarrow b = a^{5}, lo g_{a} c = 7 \Rightarrow c = a^{7}

Bước 2: Biến đổi biểu thức

Rút gọn thương và viết cơ số dưới dạng lũy thừa của $a$ .

\frac{b}{c} = \frac{a ^{5}}{a ^{7}} = a^{- 2}, a = a^{1/2}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tính giá trị lôgarit bằng công thức cơ số lũy thừa.

Chọn phương án C; A, B, D sai vì lần lượt tính sai thương số mũ, quên dấu âm hoặc sai hệ số chia.

lo g_{a} (\frac{b}{c}) = lo g_{a^{1/2}} (a^{- 2}) = \frac{- 2}{1/2} = - 4

Đáp án: C —

lo g_{a^{1/2}} (a^{- 2}) = \frac{- 2}{1/2} = - 4

.

Câu 6

Khảo sát thời gian chạy bộ trong một ngày của một số học sinh khối 12 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau. Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu này là

Hình minh họa

A

$[40; 60)$

B

$[60; 80)$

C

$[80; 100)$

D

$[20; 40)$

Lời giải

Bước 1: Tìm tần số lớn nhất

So sánh các tần số trong bảng.

max {7, 11, 15, 6, 3} = 15

Bước 2: Đối chiếu phương án

Tần số $15$ ứng với nhóm $[40; 60)$ , nên chọn A. B, C, D sai vì tần số tương ứng là $6, 3, 11$ , đều nhỏ hơn $15$ .

15 \leftrightarrow [40; 60)

Đáp án: A.

[40; 60)

— đây là nhóm có tần số lớn nhất là

15

.

Câu 7

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có $u_{1} = 2$ và công bội $q = 5.$ Số hạng $u_{3}$ của cấp số nhân đã cho là

A

$50$

B

$12$

C

$7$

D

$10$

Lời giải

Bước 1: Chọn công thức

Dùng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân.

u_{n} = u_{1} \cdot q^{n - 1}

Bước 2: Thay số và tính

Thay $n = 3$ , $u_{1} = 2$ và $q = 5$ vào công thức.

u_{3} = 2 \cdot 5^{3 - 1} = 2 \cdot 5^{2} = 50

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ . Các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt không áp dụng đúng công thức hoặc tính sai giá trị $u_{3}$ .

Đáp án:

A

— Vì

u_{3} = 50

theo công thức số hạng tổng quát.

Câu 8

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh $a, S A ⊥ (A B C D) .$ Khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(S A C)$ bằng

A

$\frac{a 2}{4}$

B

$\frac{a 2}{3}$

C

$\frac{a}{2}$

D

$\frac{a 2}{2}$

Lời giải

Bước 1: Xác định đoạn vuông góc

Gọi $O = A C \cap B D$ . Qua $O$ kẻ $d ∥ S A$ ; khi đó $d \subset (S A C)$ .

Vì $B D ⊥ A C$ và $B D ⊥ d$ , suy ra $B D ⊥ (S A C)$ .

O = A C \cap B D, B D ⊥ A C, d ∥ S A, B D ⊥ d \Rightarrow B D ⊥ (S A C)

Bước 2: Tính khoảng cách

Đường vuông góc từ $B$ đến $(S A C)$ là $B O$ . Điểm $O$ là trung điểm của $B D$ .

d (B, (S A C)) = B O = \frac{B D}{2} = \frac{a 2}{2}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $D$ ; các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì không bằng giá trị $\frac{a 2}{2}$ .

Đáp án:

D . \frac{a 2}{2}

— vì

B D ⊥ (S A C)

và

B O = \frac{B D}{2}

.

Câu 9

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên $R$ và đồ thị của hàm số $y = f^{'} (x)$ như hình vẽ. Hàm số $g (x) = f (x) - 2$ nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

Hình minh họa

A

$(- 1; 1)$

B

$(- \infty; - 2)$

C

$(2; + \infty)$

D

$(1; 3)$

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Hằng số $- 2$ có đạo hàm bằng $0$ .

g^{'} (x) = (f (x) - 2)^{'} = f^{'} (x)

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Dựa vào đồ thị, $f^{'} (x) < 0$ trên các khoảng $(- \infty; - 2)$ và $(0; 1)$ .

f^{'} (x) < 0 tr \overset{e}{ˆ} n (- \infty; - 2) \cup (0; 1)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Vì $g^{'} (x) = f^{'} (x)$ , $g$ nghịch biến trên $(- \infty; - 2)$ và $(0; 1)$ . Chọn $B$ ; $A$ chứa đoạn $(- 1; 0)$ có $f^{'} (x) > 0$ , còn $C, D$ nằm trong vùng $f^{'} (x) > 0$ .

Đáp án: B.

(- \infty; - 2)

— vì

g^{'} (x) = f^{'} (x) < 0

trên khoảng này.

Câu 10

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên $R ∖ {1},$ liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau. Hỏi đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

Hình minh họa

A

$4$

B

$2$

C

$3$

D

$1$

Lời giải

Bước 1: Xác định điểm cần xét

Miền xác định loại duy nhất điểm $x = 1$ .

x = 1

Bước 2: Kiểm tra giới hạn

Tại $x = 1$ , cả hai giới hạn một bên đều vô hạn.

x \to 1^{-} lim f (x) = - \infty, x \to 1^{+} lim f (x) = + \infty

Bước 3: Đối chiếu phương án

Suy ra đồ thị có đúng một tiệm cận đứng là $x = 1$ . Chọn D; A, B, C sai vì lần lượt đếm thừa số tiệm cận đứng.

Đáp án: D — Đồ thị chỉ có một tiệm cận đứng là

x = 1

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Bắc Ninh năm 2025 - Đề 02

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Xác định tọa độ hai điểm

Bước 2: Tính tọa độ vectơ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Đếm tổng số cách

Bước 2: Đếm trường hợp thuận lợi

Bước 3: Tính xác suất và đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Bước 2: Xét tính đơn điệu

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Triệt tiêu các vectơ đáy

Bước 2: Tính tổng các vectơ mặt trên

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Đổi sang dạng lũy thừa

Bước 2: Biến đổi biểu thức

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Tìm tần số lớn nhất

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Chọn công thức

Bước 2: Thay số và tính

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Xác định đoạn vuông góc

Bước 2: Tính khoảng cách

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Xác định điểm cần xét

Bước 2: Kiểm tra giới hạn

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Đếm tổng số cách

Bước $2$ : Đếm trường hợp thuận lợi

Bước $3$ : Tính xác suất và đối chiếu phương án