Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Bắc Kạn năm 2025 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Biết $\int_{0}^{1} f (x) d x = 3$ và $\int_{0}^{1} g (x) d x = - 2$ . Khi đó $\int_{0}^{1} [f (x) + g (x)] d x$ bằng

A

$- 6$

B

$- 1$

C

$5$

D

$1$

Lời giải

Bước 1: Áp dụng tính chất cộng

Tách tích phân của tổng thành tổng hai tích phân.

\int_{0}^{1} [f (x) + g (x)] d x = \int_{0}^{1} f (x) d x + \int_{0}^{1} g (x) d x

Bước 2: Đối chiếu phương án

Thay số, ta được kết quả $1$ . Chọn phương án D; A, B, C sai vì lần lượt nhân hai giá trị, nhầm dấu và bỏ qua dấu âm.

3 + (- 2) = 1

Đáp án: D.

1

— áp dụng tính chất cộng của tích phân xác định.

Câu 2

Cho cặp số nhân $(u_{n})$ với $u_{1} = \frac{1}{2}$ và công bội $q = 2$ . Giá trị của $u_{6}$ bằng

A

$16$

B

$2^{6}$

C

$2^{5}$

D

$\frac{37}{2}$

Lời giải

Bước 1: Viết công thức

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân.

u_{n} = u_{1} q^{n - 1}

Bước 2: Thay số và tính

Thay $n = 6$ , $u_{1} = \frac{1}{2}$ và $q = 2$ vào công thức.

u_{6} = \frac{1}{2} \cdot 2^{6 - 1} = \frac{1}{2} \cdot 2^{5} = 16

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ . Các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt dùng số mũ $6$ , chưa nhân với $\frac{1}{2}$ , hoặc cho kết quả không phù hợp.

Đáp án: A.

16

— Tính theo công thức

u_{6} = u_{1} q^{5}

được

16

.

Câu 3

Tập nghiệm của bất phương trình $3^{x} \leq 9$ là

A

$(0; 2)$

B

$(- \infty; 2)$

C

$[0; 2]$

D

$(- \infty; 2]$

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Viết $9$ dưới dạng lũy thừa cơ số $3$ .

9 = 3^{2}

Bước 2: So sánh số mũ

Vì $3 > 1$ , hàm số mũ đồng biến nên so sánh được các số mũ.

3^{x} \leq 3^{2} ⟺ x \leq 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tập nghiệm là $S = (- \infty; 2]$ . Chọn D; A và C bỏ sót các giá trị $x < 0$ , còn B không chứa $x = 2$ .

S = (- \infty; 2]

Đáp án: D — Tập nghiệm là

(- \infty; 2]

.

Câu 4

Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ cạnh bằng $a$ (tham khảo hình vẽ dưới). Khi đó $A C \cdot A^{'} B^{'}$ bằng

A

$a^{2}$

B

$a^{2} 2$

C

$a 3$

D

$2 a^{2}$

Lời giải

Bước 1: Xác định độ dài và góc

Ta có $∣ A C ∣ = a 2$ , $∣ A^{'} B^{'} ∣ = a$ .

Vì $A^{'} B^{'} ∥ A B$ và đường chéo $A C$ tạo với $A B$ góc $4 5^{\circ}$ , nên góc giữa hai vectơ là $4 5^{\circ}$ .

∣ A C ∣ = a 2, ∣ A^{'} B^{'} ∣ = a, θ = 4 5^{\circ}

Bước 2: Tính tích vô hướng

Áp dụng công thức tích vô hướng:

A C \cdot A^{'} B^{'} = a 2 \cdot a \cdot cos 4 5^{\circ} = a 2 \cdot a \cdot \frac{2}{2} = a^{2}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A. Các phương án B, C, D sai lần lượt do bỏ qua $cos 4 5^{\circ}$ , dùng sai độ dài và nhân sai hệ số.

Đáp án:

A . a^{2}

— áp dụng

u \cdot v = ∣ u ∣ ∣ v ∣ cos θ

với

θ = 4 5^{\circ}

.

Câu 5

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f (x) = sin x - 6 x$ là

A

$- cos x - 3 x^{2} + C$

B

$sin x - 6 x^{2} + C$

C

$cos x - 6 x^{2} + C$

D

$cos x + C$

Lời giải

Bước 1: Tách tích phân

Dùng tính tuyến tính của nguyên hàm để tách hai thành phần.

\int f (x) d x = \int (sin x - 6 x) d x = \int sin x d x - 6 \int x d x

Bước 2: Tính từng nguyên hàm

Áp dụng các công thức nguyên hàm cơ bản rồi rút gọn.

\int f (x) d x = - cos x - 6 \cdot \frac{x ^{2}}{2} + C = - cos x - 3 x^{2} + C

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A: $- cos x - 3 x^{2} + C$ . B, C, D sai vì đạo hàm lần lượt là $cos x - 12 x$ , $- sin x - 12 x$ , $- sin x$ , đều không bằng $f (x)$ .

- cos x - 3 x^{2} + C

Đáp án: A.

- cos x - 3 x^{2} + C

— vì đạo hàm của biểu thức này bằng

sin x - 6 x

.

Câu 6

Mỗi ngày bạn A đi bộ để rèn luyện sức khỏe. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: $k m$ ) của bạn A trong 20 ngày được thống kê lại ở bảng sau: Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là

A

$3, 39$

B

$0, 36$

C

$11, 62$

D

$0, 13$

Lời giải

Bước 1: Tính trung điểm và số trung bình

Các trung điểm lần lượt là $2, 85; 3, 15; 3, 45; 3, 75; 4, 05$ .

x_{i} = 2, 85; 3, 15; 3, 45; 3, 75; 4, 05, \overline{x} = \frac{3 \cdot 2 , 85 + 6 \cdot 3 , 15 + 5 \cdot 3 , 45 + 4 \cdot 3 , 75 + 2 \cdot 4 , 05}{20} = 3, 39

Bước 2: Tính độ lệch chuẩn

Tính tổng bình phương độ lệch rồi áp dụng công thức độ lệch chuẩn.

\sum n_{i} (x_{i} - \overline{x})^{2} = 2, 628, s = \frac{2 , 628}{20} = 0, 1314 \approx 0, 36

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $B$ : $0, 36$ ; $A$ là số trung bình, $D$ là phương sai gần đúng, còn $C$ không phải độ lệch chuẩn.

Đáp án: B.

0, 36

— kết quả tính được từ công thức độ lệch chuẩn của số liệu ghép nhóm.

Câu 7

Trong không gian $O x y z$ , phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M (- 1; 0; 1)$ và có vectơ pháp tuyến $n = (0; 1; - 2)$ là

A

$y - 2 z + 2 = 0$

B

$y + 2 z - 2 = 0$

C

$x - y + 2 z - 2 = 0$

D

$y - 2 z + 1 = 0$

Lời giải

Bước 1: Xác định hệ số

Từ $n = (0; 1; - 2)$ , suy ra các hệ số của phương trình mặt phẳng.

a = 0, b = 1, c = - 2

Bước 2: Lập phương trình

Thay $M (- 1; 0; 1)$ và các hệ số vào công thức mặt phẳng.

0 (x + 1) + 1 (y - 0) - 2 (z - 1) = 0 ⟺ y - 2 z + 2 = 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A: $y - 2 z + 2 = 0$ ; B, C, D sai vì lần lượt sai dấu hệ số $z$ , có hệ số $x \neq = 0$ , và sai hằng số tự do.

Đáp án: A.

y - 2 z + 2 = 0

— đúng vì có vectơ pháp tuyến

(0; 1; - 2)

và đi qua

M (- 1; 0; 1)

.

Câu 8

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A

$(- 1; 4)$

B

$(- 1; 0)$

C

$(- 1; + \infty)$

D

$(0; 1)$

Lời giải

Bước 1: Đọc dấu đạo hàm

Từ bảng biến thiên, xác định các khoảng có $f^{'} (x) > 0$ và $f^{'} (x) < 0$ .

f^{'} (x) > 0 \Leftrightarrow x \in (- 1; 0) \cup (1; + \infty); f^{'} (x) < 0 \Leftrightarrow x \in (0; 1)

Bước 2: Xác định khoảng đồng biến

Hàm số đồng biến trên các khoảng mà $f^{'} (x) > 0$ .

f^{'} (x) > 0 \Rightarrow f đ \overset{ˋ}{\overset{o}{ˆ}} ng bi \overset{ˊ}{\overset{e}{ˆ}} n tr \overset{e}{ˆ} n (- 1; 0) v \overset{a}{ˋ} (1; + \infty)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn B: $(- 1; 0)$ ; A và C chứa đoạn $(0; 1)$ nghịch biến, còn D là khoảng nghịch biến.

Đáp án: B — Hàm số đồng biến trên

(- 1; 0)

vì

f^{'} (x) > 0

trên khoảng này.

Câu 9

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1}$ là

A

$y = - 2$

B

$x = - 1$

C

$x = 2$

D

$y = 1$

Lời giải

Bước 1: Tìm nghiệm mẫu số

Cho mẫu số bằng $0$ để tìm giá trị cần xét.

x + 1 = 0 ⟹ x = - 1

Bước 2: Kiểm tra tử số

Tại $x = - 1$ , tử số khác $0$ nên đây là tiệm cận đứng.

(- 1) - 2 = - 3 \neq = 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ . Các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì $y = - 2$ không phải tiệm cận đứng, $x = 2$ không làm mẫu số bằng $0$ , còn $y = 1$ là tiệm cận ngang.

Đáp án: B — Tiệm cận đứng là

x = - 1

vì mẫu số bằng

0

và tử số khác

0

.

Câu 10

Trong không gian $O x y z$ , đường thẳng đi qua điểm $M (- 6; 1; 3)$ và nhận vectơ $u = (1; - 3; 5)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là

A

$\frac{x - 1}{- 6} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 5}{3}$

B

$\frac{x + 6}{1} = \frac{y - 1}{- 3} = \frac{z - 3}{5}$

C

$\frac{x + 6}{1} = \frac{y - 1}{- 3} = \frac{z - 3}{5}$

D

$\frac{x - 6}{1} = \frac{y + 1}{- 3} = \frac{z + 3}{5}$

Lời giải

Bước 1: Xác định dữ kiện

Đối chiếu $M (x_{0}; y_{0}; z_{0}) = (- 6; 1; 3)$ và $u = (a; b; c) = (1; - 3; 5)$ .

x_{0} = - 6, y_{0} = 1, z_{0} = 3, a = 1, b = - 3, c = 5

Bước 2: Lập phương trình

Thay các giá trị vào công thức phương trình chính tắc.

\frac{x + 6}{1} = \frac{y - 1}{- 3} = \frac{z - 3}{5}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án $B$ đúng. Phương án $A$ sai điểm đi qua; $D$ sai dấu tọa độ; $C$ trùng biểu thức với $B$ nên là phương án lặp.

Đáp án: Đáp án

B

— phương trình là

\frac{x + 6}{1} = \frac{y - 1}{- 3} = \frac{z - 3}{5}

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Bắc Kạn năm 2025

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Áp dụng tính chất cộng

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Viết công thức

Bước 2: Thay số và tính

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Bước 2: So sánh số mũ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Xác định độ dài và góc

Bước 2: Tính tích vô hướng

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Tách tích phân

Bước 2: Tính từng nguyên hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Tính trung điểm và số trung bình

Bước 2: Tính độ lệch chuẩn

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Xác định hệ số

Bước 2: Lập phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Đọc dấu đạo hàm

Bước 2: Xác định khoảng đồng biến

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tìm nghiệm mẫu số

Bước 2: Kiểm tra tử số

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Xác định dữ kiện

Bước 2: Lập phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án