Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Bắc Giang năm 2025 - Lần 2 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Bất phương trình $(\frac{1}{2})^{2 - 3 x} \geq 2$ có tập nghiệm là:

A

$(- \infty; 1]$

B

$[\frac{2}{3}; + \infty)$

C

$[1; + \infty)$

D

$(1; + \infty)$

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Viết $2$ dưới dạng lũy thừa cơ số $\frac{1}{2}$ .

(\frac{1}{2})^{2 - 3 x} \geq (\frac{1}{2})^{- 1}

Bước 2: So sánh số mũ

Vì $0 < \frac{1}{2} < 1$ , hàm số mũ nghịch biến nên đổi chiều bất đẳng thức.

2 - 3 x \leq - 1 ⟺ - 3 x \leq - 3 ⟺ x \geq 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tập nghiệm là $[1; + \infty)$ , nên chọn $C$ ; $A$ sai chiều, $B$ sai cận dưới, còn $D$ loại điểm $x = 1$ .

Đáp án:

C

— tập nghiệm là

[1; + \infty)

.

Câu 2

Cho $\int_{0}^{2} f (x) d x = 3$ , tính $\int_{0}^{2} (1 + 2 f (x)) d x$ .

A

$8$

B

$7$

C

$4$

D

$6$

Lời giải

Bước 1: Tách tích phân

Dùng tính tuyến tính để tách hằng số và phần chứa $f (x)$ .

\int_{0}^{2} (1 + 2 f (x)) d x = \int_{0}^{2} 1 d x + 2 \int_{0}^{2} f (x) d x

Bước 2: Thay dữ kiện

Tính tích phân hằng số trên đoạn $[0; 2]$ và thay $\int_{0}^{2} f (x) d x = 3$ .

\int_{0}^{2} 1 d x + 2 \int_{0}^{2} f (x) d x = 2 + 2 \cdot 3 = 8

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A. $8$ ; B, C, D sai vì không thực hiện đầy đủ phép tách và cộng các phần.

8

Đáp án: A.

8

— áp dụng tính tuyến tính, ta được

2 + 2 \cdot 3 = 8

.

Câu 3

Cho hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trong khoảng nào dưới đây?

A

$(- 1; 2)$

B

$(0; 2)$

C

$(- 1; 3)$

D

$(2; + \infty)$

Lời giải

Bước 1: Xác định chiều biến thiên

Từ đồ thị, hàm số giảm trên $(- \infty; 0)$ , tăng trên $(0; 2)$ và giảm trên $(2; + \infty)$ .

y^{'} < 0 tr \overset{e}{ˆ} n (- \infty; 0), y^{'} > 0 tr \overset{e}{ˆ} n (0; 2), y^{'} < 0 tr \overset{e}{ˆ} n (2; + \infty)

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn $(0; 2)$ vì đây là khoảng đồ thị đi lên. $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt chứa đoạn nghịch biến hoặc chính là khoảng nghịch biến.

Đáp án:

B

:

(0; 2)

— đồ thị đi lên trên khoảng này.

Câu 4

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với $u_{3} = 10$ và công bội $q = - 2$ . Giá trị của $u_{2}$ bằng:

A

$8$

B

$5$

C

$- 20$

D

$- 5$

Lời giải

Bước 1: Lập hệ thức

Với $n = 3$ , áp dụng công thức số hạng liên tiếp.

u_{3} = u_{2} q

Bước 2: Tính $u_{2}$

Thay dữ kiện vào hệ thức và giải tìm $u_{2}$ .

10 = u_{2} (- 2) \Rightarrow u_{2} = \frac{10}{- 2} = - 5

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $D$ : $- 5$ ; các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt không thỏa $10 = u_{2} (- 2)$ .

Đáp án: Đáp án

D

—

u_{2} = - 5

vì

10 = u_{2} (- 2)

.

Câu 5

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = 4^{x}$ là:

A

$F (x) = 4^{x} \cdot ln 4 + C$

B

$F (x) = \frac{4 ^{x + 1}}{x + 1} + C$

C

$F (x) = \frac{4 ^{x}}{2 ln 2} + C$

D

$F (x) = 4^{x} + C$

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Với cơ số $a = 4$ , áp dụng trực tiếp công thức nguyên hàm hàm mũ.

\int 4^{x} d x = \frac{4 ^{x}}{ln 4} + C

Bước 2: Biến đổi mẫu số

Đưa $ln 4$ về dạng phù hợp với các phương án.

ln 4 = 2 ln 2 \Rightarrow F (x) = \frac{4 ^{x}}{2 ln 2} + C

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án $C$ đúng vì khớp kết quả; $A$ , $B$ , $D$ sai lần lượt do nhân với $ln 4$ , dùng sai công thức lũy thừa và thiếu hệ số $\frac{1}{l n 4}$ .

Đáp án: Đáp án

C

—

F (x) = \frac{4 ^{x}}{2 l n 2} + C

.

Câu 6

Cân nặng (kg) của 50 con lợn của một gia đình nông dân chăn nuôi được thống kê trong bảng. Khối lượng trung bình của 50 con lợn ở bảng thống kê trên bằng:

A

$8, 76$ kg

B

$8, 52$ kg

C

$8, 72$ kg

D

$9, 12$ kg

Lời giải

Bước 1: Tìm giá trị đại diện

Trung điểm các khoảng lớp lần lượt là:

x_{i} : 5, 7, 9, 11, 13

Bước 2: Tính trung bình

Nhân mỗi trung điểm với tần số rồi chia cho tổng tần số.

\overset{x}{ˉ} = \frac{5 \cdot 6 + 7 \cdot 12 + 9 \cdot 18 + 11 \cdot 10 + 13 \cdot 4}{50} = \frac{438}{50} = 8, 76 kg

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $A$ . Các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai do tính sai tổng có trọng số hoặc chia sai cho $50$ .

Đáp án:

A . 8, 76 kg

— vì

\overset{x}{ˉ} = 8, 76 kg

.

Câu 7

Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác đều cạnh $a$ , $S A ⊥ (A B C)$ , khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(S B C)$ bằng $\frac{3 a}{4}$ . Tính $tan α$ , với $α$ là góc tạo bởi cạnh $S B$ và mặt phẳng $(A B C)$ .

A

$\frac{3}{2}$

B

$\frac{3}{2}$

C

$\frac{3}{4}$

D

$\frac{1}{2}$

Lời giải

Bước 1: Tính diện tích cần thiết

Đặt $S A = h$ . Vì $S B = S C = h^{2} + a^{2}$ và $B C = a$ .

Suy ra $S_{A B C} = \frac{a ^{2} 3}{4}$ và $S_{S B C} = \frac{a}{4} 4 h^{2} + 3 a^{2}$ .

S_{A B C} = \frac{a ^{2} 3}{4}, S_{S B C} = \frac{a}{4} 4 h^{2} + 3 a^{2}

Bước 2: Tìm chiều cao $S A$

Tính thể tích tứ diện $S A B C$ theo hai mặt đáy $A B C$ và $S B C$ .

Thay $d (A, (S B C)) = \frac{3 a}{4}$ rồi giải phương trình được $h = \frac{3 a}{2}$ .

\frac{1}{3} \cdot \frac{a ^{2} 3}{4} h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a}{4} 4 h^{2} + 3 a^{2} \cdot \frac{3 a}{4} ⟹ h = \frac{3 a}{2}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Hình chiếu của $S B$ là $A B$ , nên $tan α = \frac{S A}{A B} = \frac{h}{a} = \frac{3}{2}$ .

Chọn B; A, C, D sai lần lượt do nhầm hệ số $3$ hoặc tính sai tỉ số.

tan α = \frac{S A}{A B} = \frac{\frac{3 a}{2}}{a} = \frac{3}{2}

Đáp án: B.

\frac{3}{2}

— vì

tan α = \frac{S A}{A B} = \frac{3 a /2}{a}

.

Câu 8

Đồ thị dưới đây là của hàm số nào trong các hàm số cho ở các phương án A, B, C, D?

A

$y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$

B

$y = \frac{2 x - 1}{x - 1}$

C

$y = 2 x + \frac{1}{x + 1}$

D

$y = x^{3} - 3 x + 1$

Lời giải

Bước 1: Đặt dạng hàm số

Xét hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ với $c \neq = 0$ .

y = \frac{a x + b}{c x + d}

Bước 2: Dùng các tiệm cận

Từ hai tiệm cận của đồ thị, suy ra các điều kiện tương ứng cho hệ số.

- \frac{d}{c} = - 1 \Rightarrow d = c, \frac{a}{c} = 2 \Rightarrow a = 2 c

Bước 3: Đối chiếu phương án

Khi đó $y = \frac{2 x + \frac{b}{c}}{x + 1}$ ; điều kiện không đi qua $O (0; 0)$ cho $\frac{b}{c} \neq = 0$ .

$A$ phù hợp với các tiệm cận; $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt có tiệm cận đứng $x = 1$ , tiệm cận xiên $y = 2 x$ , và không có tiệm cận.

Đáp án:

A

— Hàm số

y = \frac{2 x + 1}{x + 1}

có tiệm cận đứng

x = - 1

và tiệm cận ngang

y = 2

.

Câu 9

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = x^{2} + 3$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 2$ . Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay $(H)$ xung quanh trục $O x$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A

$V = \int_{0}^{2} (x^{2} + 3) d x$

B

$V = π \int_{0}^{2} (x^{2} + 3)^{2} d x$

C

$V = π \int_{0}^{2} (x^{2} + 3) d x$

D

$V = \int_{0}^{2} (x^{2} + 3)^{2} d x$

Lời giải

Bước 1: Xác định bán kính

Trên đoạn $[0; 2]$ , bán kính là khoảng cách từ đồ thị đến $O x$ : $R (x) = x^{2} + 3$ .

R (x) = x^{2} + 3, 0 \leq x \leq 2

Bước 2: Lập công thức thể tích

Mỗi mặt cắt vuông góc với $O x$ là một đĩa tròn, nên áp dụng công thức phương pháp đĩa.

V = π \int_{0}^{2} (x^{2} + 3)^{2} d x

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ . Các phương án $A$ , $C$ , $D$ lần lượt sai vì thiếu cả bình phương và $π$ , thiếu bình phương bán kính, và thiếu $π$ .

Đáp án: B — Vì

V = π \int_{0}^{2} (x^{2} + 3)^{2} d x

.

Câu 10

Trong không gian $O x y z$ , cho hai vectơ $a = (- 1; 0; 2)$ và $b = (2; 3; 2)$ . Giá trị của $a \cdot b$ bằng

A

$- 6$

B

$- 3$

C

$- 4$

D

$2$

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Nhân các tọa độ tương ứng của hai vectơ.

a \cdot b = (- 1) \cdot 2 + 0 \cdot 3 + 2 \cdot 2

Bước 2: Tính kết quả

Thực hiện phép tính theo công thức.

a \cdot b = - 2 + 0 + 4 = 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $D$ vì kết quả bằng $2$ ; các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt cho $- 6$ , $- 3$ , $- 4$ .

Đáp án: D.

2

— Tích vô hướng bằng tổng các tích tọa độ tương ứng:

a \cdot b = 2

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Bắc Giang năm 2025 - Lần 2

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Bước 2: So sánh số mũ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Tách tích phân

Bước 2: Thay dữ kiện

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định chiều biến thiên

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Lập hệ thức

Bước 2: Tính u2​

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Bước 2: Biến đổi mẫu số

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Tìm giá trị đại diện

Bước 2: Tính trung bình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Tính diện tích cần thiết

Bước 2: Tìm chiều cao SA

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Đặt dạng hàm số

Bước 2: Dùng các tiệm cận

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Xác định bán kính

Bước 2: Lập công thức thể tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Bước 2: Tính kết quả

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước 2: Tính $u_{2}$

Bước 2: Tìm chiều cao $S A$