Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Bắc Giang năm 2025 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = 4^{x}$ là

A

$\frac{4 ^{x + 1}}{x + 1} + C$

B

$\frac{4 ^{x}}{2 l n 2} + C$

C

$\frac{4 ^{x}}{x} + C$

D

$x \cdot 4^{x - 1} + C$

Lời giải

Bước 1: Nhớ công thức

Áp dụng công thức nguyên hàm hàm mũ.

\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C

Bước 2: Thay cơ số

Thay $a = 4$ và đổi $ln 4$ về $2 ln 2$ .

\int 4^{x} d x = \frac{4 ^{x}}{ln 4} + C = \frac{4 ^{x}}{2 ln 2} + C

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ . Các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt dùng mẫu số $x + 1$ , $x$ và biểu thức $x \cdot 4^{x - 1}$ không có đạo hàm bằng $4^{x}$ .

Đáp án: Đáp án

B

— vì

\int 4^{x} d x = \frac{4 ^{x}}{2 ln 2} + C

.

Câu 2

Xét hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^{2} - 4 x + 4$ , trục hoành và đường thẳng $x = 3$ . Quay hình phẳng đó quanh trục $O x$ . Thể tích khối tròn xoay khi quay hình $(H)$ quanh $O x$ bằng

A

$33$

B

$\frac{33}{5}$

C

$\frac{33 π}{5}$

D

$33 π$

Lời giải

Bước 1: Xác định bán kính và cận

Bán kính của đĩa tại vị trí $x$ là $R (x) = y = x^{2} - 4 x + 4$ .

Theo miền xét, cận tích phân là $x \in [0; 3]$ .

R (x) = x^{2} - 4 x + 4, 0 \leq x \leq 3

Bước 2: Tính thể tích

Áp dụng công thức phương pháp đĩa và khai triển biểu thức dưới tích phân.

V = π \int_{0}^{3} (x^{2} - 4 x + 4)^{2} d x = π \int_{0}^{3} (x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 16) d x = π [\frac{x ^{5}}{5} - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x]_{0}^{3} = \frac{33 π}{5}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C : \frac{33 π}{5}$ ; các phương án $A$ , $B$ , $D$ lần lượt thiếu $π$ , thiếu $π$ và thiếu hệ số $\frac{1}{5}$ .

Đáp án:

C . \frac{33 π}{5}

— kết quả của tích phân thể tích quanh trục

O x

.

Câu 3

Trong 10 điểm kiểm tra giữa kì môn Toán của 30 học sinh lớp 11C5 được ghi lại ở bảng bên dưới. Trung vị của mẫu số liệu thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

Hình minh họa

A

$(2; 4]$

B

$[4; 6)$

C

$[6; 8)$

D

$[8; 10)$

Lời giải

Bước 1: Tính tần số tích lũy

Cộng dồn tần số theo thứ tự các khoảng điểm.

4 + 8 = 12; 12 + 11 = 23; 23 + 7 = 30

Bước 2: Xác định vị trí trung vị

Vì $n = 30$ chẵn, xét hai vị trí trung tâm là $15$ và $16$ .

\frac{30}{2} = 15; \frac{30}{2} + 1 = 16

Bước 3: Đối chiếu phương án

Vì $12 < 15, 16 \leq 23$ , hai vị trí trung tâm thuộc khoảng $[6; 8)$ . Chọn C; A, B, D sai vì không chứa các vị trí trung tâm.

12 < 15, 16 \leq 23 ⟹ Me \in [6; 8)

Đáp án: C — hai vị trí trung tâm

15

và

16

đều thuộc khoảng

[6; 8)

.

Câu 4

Trong không gian với hệ trục toạ độ $O x y z$ cho ba điểm $A (2; 1; 3)$ , $B (1; 0; 1)$ , $C (- 1; 1; 2)$ . Đường thẳng $d$ đi qua $A$ và song song với đường thẳng $B C$ có phương trình là:

A

$⎩ ⎨ ⎧ x = - 2 t y = - 1 + t z = 3 + t$

B

$x - 2 y + z = 0$

C

$\frac{x - 2}{- 2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 3}{1}$

D

$\frac{x - 1}{- 2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{1}$

Lời giải

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương

Chọn vectơ chỉ phương của $d$ là $B C$ .

B C = C - B = (- 1 - 1; 1 - 0; 2 - 1) = (- 2; 1; 1)

Bước 2: Lập phương trình đường thẳng

Đường thẳng $d$ đi qua $A (2; 1; 3)$ và có vectơ chỉ phương $(- 2; 1; 1)$ .

\frac{x - 2}{- 2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 3}{1}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ ; $A$ không đi qua $A$ , $B$ là phương trình mặt phẳng, còn $D$ đi qua $B$ nên đều sai.

Đáp án:

C

— phương trình có điểm đi qua

A

và vectơ chỉ phương

(- 2; 1; 1)

.

Câu 5

Tìm hệ số $a, b, c$ để hàm số $y = \frac{a x + 2}{c x + b}$ có đồ thị như hình vẽ sau:

Hình minh họa

A

$a = 2, b = 2, c = - 1$

B

$a = 1, b = 1, c = - 1$

C

$a = 1, b = 2, c = 1$

D

$a = 1, b = - 2, c = 1$

Lời giải

Bước 1: Dùng tiệm cận đứng

Tiệm cận đứng $x = 2$ nên mẫu số bằng $0$ tại $x = 2$ .

2 c + b = 0

Bước 2: Dùng tiệm cận ngang

Tiệm cận ngang $y = 1$ nên tỉ số hệ số bậc cao nhất bằng $1$ .

\frac{a}{c} = 1 ⟹ a = c

Bước 3: Dùng điểm thuộc đồ thị

Thay điểm $(- 2, 0)$ vào hàm số để xác định $a$ .

0 = \frac{- 2 a + 2}{- 2 c + b} ⟹ - 2 a + 2 = 0 ⟹ a = 1

Bước 4: Đối chiếu phương án

Từ $a = c = 1$ và $2 c + b = 0$ , suy ra $b = - 2$ .

Chọn D; A, B, C lần lượt sai hệ số $a$ , sai tiệm cận ngang và sai điều kiện điểm $(- 2, 0)$ .

a = 1, b = - 2, c = 1

Đáp án: D —

a = 1

,

b = - 2

,

c = 1

thỏa mãn các điều kiện của đồ thị.

Câu 6

Tập nghiệm của bất phương trình $2^{x} < 1$ là

A

$(- \infty; 0)$

B

$(- \infty; 1)$

C

$(2; + \infty)$

D

$(1; 7)$

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Viết $1$ dưới dạng lũy thừa cơ số $2$ .

1 = 2^{0}

Bước 2: So sánh số mũ

Vì cơ số $2 > 1$ , hàm mũ đồng biến nên bất phương trình tương đương với $x < 0$ .

2^{x} < 2^{0} ⟺ x < 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $A$ : tập nghiệm là $(- \infty; 0)$ . B sai vì chứa $x \in (0, 1)$ ; C và D chỉ chứa $x > 0$ , nên không thỏa.

Đáp án:

A

— tập nghiệm là

(- \infty; 0)

vì

2^{x} < 2^{0} ⟺ x < 0

.

Câu 7

Trong không gian $O x y z$ , vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P) : 2 x - y + z + 3 = 0$ ?

A

$n_{1} = (2; - 1; 1)$

B

$n_{2} = (2; 1; 1)$

C

$n_{3} = (2; - 1; 3)$

D

$n_{4} = (- 1; 1; 3)$

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng công thức

Với mặt phẳng dạng $a x + b y + cz + d = 0$ , chọn $n = (a; b; c)$ .

n = (a; b; c)

Bước 2: Xác định tọa độ

Từ phương trình đã cho, các hệ số tương ứng là $a = 2$ , $b = - 1$ , $c = 1$ .

n = (2; - 1; 1)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án $A$ đúng; $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt sai dấu hệ số $y$ , sai hệ số $z$ , và không cùng bộ hệ số.

n = (2; - 1; 1)

Đáp án: Phương án

A

— vectơ pháp tuyến là

n = (2; - 1; 1)

.

Câu 8

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình vuông, cạnh bên $S A$ vuông góc với đáy $(A B C D)$ . Phát biểu nào sau đây sai?

A

$C D ⊥ (S B C)$

B

$S A ⊥ (A B C)$

C

$B C ⊥ (S A B)$

D

$B D ⊥ (S A C)$

Lời giải

Bước 1: Ghi nhận quan hệ vuông góc

Từ $S A ⊥ (A B C D)$ và tính chất hình vuông, suy ra các quan hệ cần thiết trong đáy.

S A ⊥ A B, S A ⊥ B C, S A ⊥ A C, S A ⊥ B D; A B ⊥ B C, A C ⊥ B D

Bước 2: Kiểm tra các mệnh đề đúng

Với $C$ , chọn $S A, A B$ trong $(S A B)$ ; với $D$ , dùng $A C, S A$ trong $(S A C)$ và giao điểm $O = A C \cap B D$ .

Suy ra hai mệnh đề $C, D$ đều đúng; đồng thời $B$ đúng vì $(A B C)$ chính là mặt đáy.

B C ⊥ S A, B C ⊥ A B \Rightarrow B C ⊥ (S A B); B D ⊥ A C, B D ⊥ S A, B D \cap (S A C) = {O} \Rightarrow B D ⊥ (S A C); S A ⊥ (A B C)

Bước 3: Đối chiếu phương án

$A$ sai vì $C D ⊥ B C$ nhưng $C D \neq ⊥ S B$ ; các phương án $B, C, D$ đúng theo các quan hệ đã chứng minh.

C D ∥ A B, S B = S A + A B \Rightarrow C D \cdot S B \neq = 0

Đáp án:

A

—

C D

không vuông góc với

S B

, nên không vuông góc với mặt phẳng

(S B C)

.

Câu 9

Nghiệm của phương trình $3^{2 x + 1} = 27$ là

A

$5$

B

$4$

C

$2$

D

$1$

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Viết $27$ dưới dạng lũy thừa cơ số $3$ .

27 = 3^{3} \Rightarrow 3^{2 x + 1} = 3^{3}

Bước 2: So sánh số mũ

Hai vế cùng cơ số $3$ nên các số mũ bằng nhau.

2 x + 1 = 3 \Rightarrow 2 x = 2 \Rightarrow x = 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án D. A, B, C sai vì lần lượt cho $x = 5, 4, 2$ , không thỏa phương trình.

Đáp án: D — Nghiệm của phương trình là

x = 1

.

Câu 10

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{1} = 8$ và công sai $d = 3$ . Số hạng $u_{2}$ của cấp số cộng là

A

$\frac{8}{3}$

B

$24$

C

$5$

D

$11$

Lời giải

Bước 1: Chọn công thức

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng.

u_{n} = u_{1} + (n - 1) d

Bước 2: Đối chiếu phương án

Thay $n = 2$ , $u_{1} = 8$ , $d = 3$ vào công thức, được $u_{2} = 11$ .

Phương án $D$ đúng; $A$ , $B$ , $C$ sai lần lượt vì chia cho $3$ , cộng sai số lần và trừ công sai.

u_{2} = 8 + (2 - 1) \cdot 3 = 11

Đáp án: Đáp án

D

— vì

u_{2} = 11

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Bắc Giang năm 2025

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Nhớ công thức

Bước 2: Thay cơ số

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Xác định bán kính và cận

Bước 2: Tính thể tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Tính tần số tích lũy

Bước 2: Xác định vị trí trung vị

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương

Bước 2: Lập phương trình đường thẳng

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Dùng tiệm cận đứng

Bước 2: Dùng tiệm cận ngang

Bước 3: Dùng điểm thuộc đồ thị

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Bước 2: So sánh số mũ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng công thức

Bước 2: Xác định tọa độ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Ghi nhận quan hệ vuông góc

Bước 2: Kiểm tra các mệnh đề đúng

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Bước 2: So sánh số mũ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Chọn công thức

Bước 2: Đối chiếu phương án