Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Bà Rịa - Vũng Tàu năm 2025 - Mã đề 02 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Họ nguyên hàm của hàm số: $y = x^{2} - 3 x + \frac{1}{x}$ là

A

$F (x) = \frac{x ^{3}}{3} - \frac{3 x ^{2}}{2} + ln x + C$

B

$F (x) = \frac{x ^{3}}{3} + \frac{3 x ^{2}}{2} + ln x + C$

C

$F (x) = 2 x - 3 - \frac{1}{x ^{2}} + C$

D

$F (x) = \frac{x ^{3}}{3} - \frac{3 x ^{2}}{2} + ln ∣ x ∣ + C$

Lời giải

Bước 1: Tách và tính từng nguyên hàm

Dùng tính tuyến tính của nguyên hàm:

F (x) = \int (x^{2} - 3 x + \frac{1}{x}) d x = \frac{x ^{3}}{3} - \frac{3 x ^{2}}{2} + ln ∣ x ∣ + C

Bước 2: Đối chiếu phương án

Phương án đúng là $D$ . $A$ thiếu dấu giá trị tuyệt đối, $B$ sai dấu của hạng tử $x^{2}$ , còn $C$ không có đạo hàm bằng hàm số đã cho.

Đáp án: Đáp án

D

—

F (x) = \frac{x ^{3}}{3} - \frac{3 x ^{2}}{2} + ln ∣ x ∣ + C

.

Câu 2

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên $[a; b]$ . Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f (x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a; x = b$ $(a < b)$ cho bởi công thức

A

$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x$

B

$S = \int_{a}^{b} f (x) d x$

C

$S = \int_{b}^{a} ∣ f (x) ∣ d x$

D

$S = ∣ \int_{a}^{b} f (x) d x ∣$

Lời giải

Bước 1: Xác định công thức diện tích

Diện tích phải tính dương ở mọi điểm, kể cả khi $f (x) < 0$ .

S = \int_{a}^{b} ∣ f (x)∣ d x

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ . Các phương án $B$ , $C$ , $D$ lần lượt không xử lí phần âm, đổi ngược cận và có thể triệt tiêu các phần diện tích.

Đáp án:

A

— Vì diện tích được tính bằng

\int_{a}^{b} ∣ f (x)∣ d x

.

Câu 3

Bảng sau thống kê cân nặng của 50 quả xoài cát Hòa Lộc được lựa chọn ngẫu nhiên sau khi thu hoạch ở một nông trường như sau. Khoảng từ phân vị của mẫu thống kê trên là

Hình minh họa

A

$319, 23$

B

$382, 72$

C

$63, 50$

D

$65, 43$

Lời giải

Bước 1: Tính tần số tích lũy

Tần số tích lũy lần lượt là $3, 16, 34, 45, 50$ .

F_{i} : 3; 3 + 13 = 16; 16 + 18 = 34; 34 + 11 = 45; 45 + 5 = 50

Bước 2: Tính các tứ phân vị

$Q_{1}$ thuộc lớp $[290; 330)$ ; $Q_{3}$ thuộc lớp $[370; 410)$ , với độ rộng lớp $h = 40$ .

Q_{1} = 290 + \frac{12 , 5 - 3}{13} \cdot 40 \approx 319, 23; Q_{3} = 370 + \frac{37 , 5 - 34}{11} \cdot 40 \approx 382, 73

Bước 3: Tính khoảng tứ phân vị

Lấy hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và thứ nhất.

Δ Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 382, 73 - 319, 23 = 63, 50

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ ; các phương án $A$ và $B$ lần lượt là $Q_{1}, Q_{3}$ , còn $D$ cho kết quả do dùng sai vị trí phần vị.

Đáp án:

C

— Khoảng tứ phân vị là

Q_{3} - Q_{1} = 63, 50

.

Câu 4

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , đường thẳng $d : \frac{x - 3}{1} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 1}{2}$ đi qua điểm nào dưới đây?

A

$M (3; - 2; 1)$

B

$M (- 3; 2; - 1)$

C

$M (1; 3; 2)$

D

$M (2; - 5; 2)$

Lời giải

Bước 1: Viết phương trình tham số

Từ dạng đối xứng, suy ra phương trình tham số của $d$ .

⎩ ⎨ ⎧ x = 3 + t y = - 2 + 3 t z = 1 + 2 t

Bước 2: Kiểm tra điểm phù hợp

Với điểm $A (3; - 2; 1)$ , từ $x = 3$ suy ra $t = 0$ ; khi đó hai tọa độ còn lại cũng thỏa mãn.

t = 0 \Rightarrow (x, y, z) = (3, - 2, 1)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án $A$ đúng; $B, C, D$ sai vì lần lượt cho $t = - 6, - 2, - 1$ từ tọa độ $x$ , nhưng không thỏa các tọa độ còn lại.

B : C : D : t = - 6, y = - 20 \neq = 2 t = - 2, y = - 8 \neq = 3 t = - 1, z = - 1 \neq = 2

Đáp án: Phương án

A

—

M (3; - 2; 1)

ứng với

t = 0

trong phương trình tham số của

d

.

Câu 5

Đường cong như hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

Hình minh họa

A

$y = \frac{x - 2}{x - 1}$

B

$y = \frac{x ^{2} + 2 x - 2}{x - 1}$

C

$y = \frac{- x ^{2} + 2 x - 2}{x - 1}$

D

$y = \frac{- x ^{2} + x - 2}{x - 1}$

Lời giải

Bước 1: Xác định dạng tử số

Đặt $y = \frac{a x ^{2} + b x + c}{x - 1}$ . Tiệm cận xiên $y = - x + 1$ cho phép viết tử số theo thương và số dư.

\frac{a x ^{2} + b x + c}{x - 1} = - x + 1 + \frac{r}{x - 1}; a x^{2} + b x + c = (- x + 1) (x - 1) + r = - x^{2} + 2 x - 1 + r

Bước 2: Tìm hệ số còn thiếu

Suy ra $a = - 1$ , $b = 2$ . Dùng điểm $(2; - 2)$ để tìm $c$ .

y (2) = \frac{- 4 + 4 + c}{2 - 1} = c = - 2 \Rightarrow y = \frac{- x ^{2} + 2 x - 2}{x - 1}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn C: $y = \frac{- x ^{2} + 2 x - 2}{x - 1}$ . A sai bậc tử, B sai hệ số bậc hai, D sai hệ số của $x$ nên không có tiệm cận xiên $y = - x + 1$ .

Đáp án: C — Hàm số

y = \frac{- x ^{2} + 2 x - 2}{x - 1}

có đúng tiệm cận xiên

y = - x + 1

và đi qua

(2; - 2)

.

Câu 6

Nghiệm của bất phương trình $2^{x - 1} > \frac{5}{2}$ là

A

$x > lo g_{2} 5$

B

$x > lo g_{5} 2$

C

$x < lo g_{2} 5$

D

$x > lo g_{2} 10 - 1$

Lời giải

Bước 1: Chuyển đổi vế phải

Viết lại $\frac{5}{2}$ dưới dạng lũy thừa cơ số $2$ hoặc sử dụng định nghĩa logarit.

x - 1 > lo g_{2} (\frac{5}{2})

Bước 2: Giải bất phương trình

Áp dụng công thức $lo g_{2} (\frac{5}{2}) = lo g_{2} 5 - lo g_{2} 2 = lo g_{2} 5 - 1$ .

x - 1 > lo g_{2} 5 - 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Cộng $1$ vào hai vế ta được $x > lo g_{2} 5$ . Phương án A đúng, B, C, D sai vì B nhầm cơ số, C đảo chiều bất phương trình và D biến đổi sai hằng số.

x > lo g_{2} 5

Đáp án: A — Kết quả thu được từ việc giải bất phương trình

2^{x - 1} > \frac{5}{2}

là

x > lo g_{2} 5

.

Câu 7

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , mặt phẳng đi qua điểm $A (2; 1; 0)$ và có một vectơ pháp tuyến $n = (3; - 1; - 1)$ có phương trình là

A

$3 x - y - z + 5 = 0$

B

$3 x - y - z - 5 = 0$

C

$2 x + y - 5 = 0$

D

$x + 3 y + z - 5 = 0$

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình

Áp dụng công thức điểm–pháp tuyến với $A (2; 1; 0)$ và $n = (3; - 1; - 1)$ .

3 (x - 2) - (y - 1) - (z - 0) = 0

Bước 2: Thu gọn

Khai triển và rút gọn phương trình.

3 x - 6 - y + 1 - z = 0 ⟺ 3 x - y - z - 5 = 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án B. A sai dấu hằng số; C và D có các hệ số không cùng tỉ lệ với vectơ pháp tuyến $(3; - 1; - 1)$ .

Đáp án: B — Phương trình là

3 x - y - z - 5 = 0

, đúng với điểm

A

và vectơ pháp tuyến đã cho.

Câu 8

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông, cạnh bên $S A$ vuông góc với đáy $A B C D$ . Phát biểu nào sau đây là đúng?

A

$A C ⊥ (S B D)$

B

$C D ⊥ (S A D)$

C

$B D ⊥ (S A B)$

D

$A D ⊥ (S C D)$

Lời giải

Bước 1: Khai thác giả thiết

Vì $S A ⊥ (A B C D)$ nên $S A$ vuông góc với các đường thẳng thuộc đáy.

S A ⊥ A B, S A ⊥ C D, S A ⊥ A D, S A ⊥ B C

Bước 2: Kiểm tra phương án B

Do $C D ∥ A B$ và $A B ⊥ A D$ nên $C D ⊥ A D$ .

Trong mặt phẳng $(S A D)$ , hai đường $S A$ và $A D$ cắt nhau; $C D$ cùng vuông góc với hai đường đó.

C D ∥ A B, A B ⊥ A D \Rightarrow C D ⊥ A D; C D ⊥ S A \Rightarrow C D ⊥ (S A D)

Bước 3: Đối chiếu phương án

$B$ đúng; $A, C, D$ sai lần lượt vì $A C \neq ⊥ S B$ , $B D \neq ⊥ A B$ , và $A D \neq ⊥ S C$ .

Đáp án:

B

— Vì

C D

vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau

S A, A D

thuộc

(S A D)

.

Câu 9

Nếu $2^{x + 1} = 6$ thì $4^{x}$ bằng

A

$6$

B

$9$

C

$12$

D

$8$

Lời giải

Bước 1: Tìm $2^{x}$

Tách $2^{x + 1}$ thành $2^{x} \cdot 2$ rồi chia hai vế cho $2$ .

2^{x + 1} = 6 \Rightarrow 2^{x} \cdot 2 = 6 \Rightarrow 2^{x} = 3

Bước 2: Tính $4^{x}$

Đưa $4$ về dạng $2^{2}$ , sau đó thay $2^{x} = 3$ .

4^{x} = (2^{2})^{x} = (2^{x})^{2} = 3^{2} = 9

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $B$ . Các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt nhầm $2^{x + 1}$ , tính sai bình phương và tính sai giá trị.

Đáp án: B — vì

4^{x} = 9

.

Câu 10

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ biết $u_{1} = 2,$ công sai $d = - 5$ . Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng đó là

A

$- 410$

B

$- 205$

C

$245$

D

$- 230$

Lời giải

Bước 1: Tính số hạng thứ $10$

Áp dụng công thức số hạng tổng quát.

u_{10} = u_{1} + 9 d = 2 + 9 \cdot (- 5) = - 43

Bước 2: Tính tổng

Thay $u_{10}$ vào công thức tổng.

S_{10} = \frac{10}{2} (u_{1} + u_{10}) = 5 (2 - 43) = - 205

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án B: $- 205$ . Các phương án A, C, D sai lần lượt do nhân đôi kết quả, sai dấu và tính toán nhầm.

Đáp án: B.

- 205

— tính đúng tổng

10

số hạng đầu của cấp số cộng.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Bà Rịa - Vũng Tàu năm 2025 - Mã đề 02

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tách và tính từng nguyên hàm

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Xác định công thức diện tích

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Tính tần số tích lũy

Bước 2: Tính các tứ phân vị

Bước 3: Tính khoảng tứ phân vị

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Viết phương trình tham số

Bước 2: Kiểm tra điểm phù hợp

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Xác định dạng tử số

Bước 2: Tìm hệ số còn thiếu

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Chuyển đổi vế phải

Bước 2: Giải bất phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình

Bước 2: Thu gọn

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Khai thác giả thiết

Bước 2: Kiểm tra phương án B

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tìm 2x

Bước 2: Tính 4x

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tính số hạng thứ 10

Bước 2: Tính tổng

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước 1: Tìm $2^{x}$

Bước 2: Tính $4^{x}$

Bước 1: Tính số hạng thứ $10$