Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2025 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{x}$ là:

A

$\frac{e ^{x}}{x + 1} + C$

B

$e^{x} + C$

C

$\frac{e ^{x}}{x} + C$

D

$x e^{x - 1} + C$

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Dùng công thức nguyên hàm cơ bản của hàm số mũ cơ số $e$ .

\int e^{x} d x = e^{x} + C

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ : $e^{x} + C$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì đạo hàm tương ứng không bằng $e^{x}$ .

Đáp án: Đáp án

B

— vì

\int e^{x} d x = e^{x} + C

.

Câu 2

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục, nhận giá trị dương trên đoạn $[a; b]$ . Xét hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f (x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a, x = b$ . Khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng $(H)$ quanh trục $O x$ có thể tích là:

A

$V = π \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x$

B

$V = π^{2} \int_{a}^{b} f (x) d x$

C

$V = π^{2} \int_{a}^{b} [f (x)]^{2} d x$

D

$V = π \int_{a}^{b} [f (x)]^{2} d x$

Lời giải

Bước 1: Xác định mặt cắt

Tại mỗi $x \in [a; b]$ , bán kính đĩa tròn bằng khoảng cách từ đồ thị đến trục $O x$ .

R (x) = f (x), S (x) = π [f (x)]^{2}

Bước 2: Lập công thức thể tích

Cộng các mặt cắt từ $x = a$ đến $x = b$ bằng tích phân.

V = \int_{a}^{b} S (x) d x = π \int_{a}^{b} [f (x)]^{2} d x

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án D; A thiếu bình phương, còn B và C dùng sai hệ số $π^{2}$ thay vì $π$ .

Đáp án: D —

V = π \int_{a}^{b} [f (x)]^{2} d x

theo phương pháp đĩa.

Câu 3

Hai mẫu số liệu ghép nhóm $M_{1}, M_{2}$ có bảng tần số ghép nhóm như sau. Gọi $s_{1}, s_{2}$ lần lượt là độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm $M_{1}, M_{2}$ . Phát biểu nào sau đây là đúng?

A

$s_{1} = s_{2}$

B

$s_{1} = 2 s_{2}$

C

$2 s_{1} = s_{2}$

D

$4 s_{1} = s_{2}$

Lời giải

Bước 1: So sánh dữ liệu đại diện

Trung điểm các lớp là $9, 11, 13, 15, 17$ ; tần số tương ứng là $3, 4, 8, 6, 4$ ở cả hai mẫu.

Vì vậy, dữ liệu dùng tính độ lệch chuẩn của $M_{1}$ và $M_{2}$ hoàn toàn giống nhau.

{x_{i}}_{M_{1}} = {x_{i}}_{M_{2}}, {f_{i}}_{M_{1}} = {f_{i}}_{M_{2}}

Bước 2: Đối chiếu phương án

Suy ra $s_{1} = s_{2}$ , chọn phương án A.

B, C, D sai vì lần lượt khẳng định các tỉ lệ $s_{1} = 2 s_{2}$ , $s_{2} = 2 s_{1}$ , $s_{2} = 4 s_{1}$ , trái với hai độ lệch chuẩn bằng nhau.

s_{1} = s_{2}

Đáp án: A —

s_{1} = s_{2}

vì hai mẫu có cùng trung điểm lớp và tần số.

Câu 4

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , phương trình của đường thẳng đi qua điểm $M (1; - 3; 5)$ và có một vectơ chỉ phương $u (2; - 1; 1)$ là:

A

$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{- 1} = \frac{z - 5}{1}$

B

$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{- 1} = \frac{z + 5}{1}$

C

$\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z - 5}{1}$

D

$\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z - 5}{1}$

Lời giải

Bước 1: Viết phương trình tham số

Thay tọa độ $M$ và vectơ $u$ vào dạng tham số.

⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + 2 t y = - 3 - t z = 5 + t

Bước 2: Đưa về dạng đối xứng

Rút $t$ từ ba phương trình rồi cho các biểu thức bằng nhau.

\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z - 5}{1}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án C. A và B sai dấu ở tọa độ $y$ ; B sai thêm dấu ở $z$ ; D sai dấu ở tọa độ $x$ .

Đáp án: C — phương trình là

\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z - 5}{1}

.

Câu 5

Cho hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d} (c \neq = 0, a d - b c \neq = 0)$ có đồ thị như hình. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là:

A

$x = - 1$

B

$y = \frac{1}{2}$

C

$y = - 1$

D

$x = \frac{1}{2}$

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng tiệm cận

Tiệm cận ngang phải có dạng $y = k$ , song song với trục $O x$ .

y = k

Bước 2: Đọc từ đồ thị

Đường thẳng ngang mà đồ thị tiến gần khi $x \to \pm \infty$ nằm tại mức $y = \frac{1}{2}$ .

y = \frac{1}{2}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn B. Các phương án A và D có dạng $x = h \overset{ˋ}{\overset{a}{˘}} ng s \overset{ˊ}{\overset{o}{ˆ}}$ nên là tiệm cận đứng; C sai vì không đúng mức ngang trên đồ thị.

Đáp án: B.

y = \frac{1}{2}

— đây là đường thẳng ngang mà đồ thị tiến gần.

Câu 6

Tập nghiệm của bất phương trình $lo g_{2} (x - 1) < 3$ là:

A

$(1; 9)$

B

$(- \infty; 9)$

C

$(9; + \infty)$

D

$(1; 7)$

Lời giải

Bước 1: Đặt điều kiện xác định

Biểu thức logarit xác định khi $x - 1 > 0$ .

x - 1 > 0 ⟺ x > 1

Bước 2: Biến đổi bất phương trình

Vì cơ số $2 > 1$ , hàm số logarit đồng biến.

lo g_{2} (x - 1) < 3 ⟺ x - 1 < 2^{3} ⟺ x < 9

Bước 3: Đối chiếu phương án

Kết hợp điều kiện, tập nghiệm là $(1; 9)$ nên chọn $A$ . Các phương án $B$ , $C$ , $D$ lần lượt sai vì bỏ điều kiện $x > 1$ , lấy ngược miền nghiệm và tính sai cận trên.

x > 1 v \overset{a}{ˋ} x < 9 ⟺ 1 < x < 9

Đáp án:

A . (1; 9)

— kết hợp điều kiện

x > 1

với kết quả

x < 9

.

Câu 7

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , cho mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x - 3 y - z + 8 = 0$ . Vector nào sau đây là một vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ ?

A

$n_{1} (1; - 3; 1)$

B

$n_{2} (1; - 3; - 1)$

C

$n_{3} (1; - 3; 8)$

D

$n_{4} (1; 3; 8)$

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng dạng phương trình

So sánh với dạng tổng quát $a x + b y + cz + d = 0$ .

a x + b y + cz + d = 0

Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến

Các hệ số của $x, y, z$ lần lượt là $1, - 3, - 1$ .

a = 1, b = - 3, c = - 1 \Rightarrow n = (1; - 3; - 1)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn B: $n_{2} = (1; - 3; - 1)$ . A sai dấu thành phần $z$ ; C lấy nhầm hệ số tự do $8$ ; D sai dấu hệ số $y$ và cũng lấy nhầm $8$ .

Đáp án: B — Vì

n = (1; - 3; - 1)

là vectơ gồm ba hệ số của

x, y, z

.

Câu 8

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình chữ nhật và $S A ⊥ (A B C D)$ . Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ ?

A

$(S A B)$

B

$(S B C)$

C

$(S C D)$

D

$(S B D)$

Lời giải

Bước 1: Xác định đường vuông góc đáy

Theo giả thiết, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy là $S A$ .

S A ⊥ (A B C D)

Bước 2: Chọn mặt phẳng thích hợp

Mặt phẳng $(S A B)$ chứa đường thẳng $S A$ .

S A \subset (S A B), S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow (S A B) ⊥ (A B C D)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án $A$ đúng; các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì đều chứa $S$ nhưng không chứa đường vuông góc duy nhất $S A$ qua $S$ .

Đáp án: Phương án

A

:

(S A B)

— chứa

S A ⊥ (A B C D)

nên

(S A B) ⊥ (A B C D)

.

Câu 9

Nghiệm của phương trình $2^{x} = 6$ là:

A

$x = lo g_{6} 2$

B

$x = 3$

C

$x = 4$

D

$x = lo g_{2} 6$

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng phương trình

Phương trình có dạng $a^{x} = b$ với $a = 2$ và $b = 6$ .

2^{x} = 6

Bước 2: Đổi sang logarit

Lấy logarit cơ số $2$ hai vế rồi dùng $lo g_{2} (2^{x}) = x$ .

lo g_{2} (2^{x}) = lo g_{2} 6 \Leftrightarrow x = lo g_{2} 6

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $D$ : $x = lo g_{2} 6$ ; $A$ sai do đảo cơ số, còn $B$ , $C$ sai vì $2^{3} = 8$ và $2^{4} = 16$ đều khác $6$ .

Đáp án:

D

— nghiệm là

x = lo g_{2} 6

.

Câu 10

Cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{1} = 1$ và $u_{2} = 3$ . Số hạng $u_{5}$ của cấp số cộng là:

A

$5$

B

$7$

C

$9$

D

$11$

Lời giải

Bước 1: Tìm công sai

Công sai của cấp số cộng là $d = u_{2} - u_{1}$ .

d = 3 - 1 = 2

Bước 2: Tính số hạng thứ năm

Áp dụng $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ với $n = 5$ .

u_{5} = 1 + (5 - 1) \cdot 2 = 9

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn C. $9$ ; các phương án A, B, D sai vì lần lượt không khớp với giá trị $u_{5} = 9$ .

Đáp án: C.

9

— tính theo công thức cấp số cộng với công sai

d = 2

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2025

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Xác định mặt cắt

Bước 2: Lập công thức thể tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: So sánh dữ liệu đại diện

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Viết phương trình tham số

Bước 2: Đưa về dạng đối xứng

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng tiệm cận

Bước 2: Đọc từ đồ thị

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Đặt điều kiện xác định

Bước 2: Biến đổi bất phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng dạng phương trình

Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Xác định đường vuông góc đáy

Bước 2: Chọn mặt phẳng thích hợp

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng phương trình

Bước 2: Đổi sang logarit

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tìm công sai

Bước 2: Tính số hạng thứ năm

Bước 3: Đối chiếu phương án