Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Cụm Cẩm Khê – Yên Lập Sở GD&ĐT Phú Thọ năm 2025 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $y = 202 5^{x}$ là

A

$\frac{202 5 ^{x}}{l n 2025} + C$

B

$202 5^{x} + C$

C

$\frac{202 5 ^{x + 1}}{2025} + C$

D

$202 5^{x} \cdot ln 2025 + C$

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Với $a = 2025$ , áp dụng công thức nguyên hàm hàm mũ.

\int 202 5^{x} d x = \frac{202 5 ^{x}}{ln 2025} + C

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ . Các phương án $B$ , $C$ sai vì thiếu chia cho $ln 2025$ ; phương án $D$ sai vì nhân thêm $ln 2025$ .

A

Đáp án: A — Vì

\int 202 5^{x} d x = \frac{202 5 ^{x}}{ln 2025} + C

.

Câu 2

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có $u_{2} = - 6$ và $u_{6} = - 486$ . Tìm công bội $q$ của cấp số nhân đã cho, biết rằng $u_{3} > 0$ .

A

$q = 3$

B

$q = - \frac{1}{3}$

C

$q = - 3$

D

$q = \frac{1}{3}$

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình tìm $q$

Dùng tỉ số hai số hạng đã biết để xác định $q^{4}$ .

\frac{u _{6}}{u _{2}} = q^{6 - 2} ⟹ \frac{- 486}{- 6} = q^{4} ⟹ q^{4} = 81

Bước 2: Chọn giá trị theo dấu

Từ $q^{4} = 81$ , suy ra $q = \pm 3$ ; đồng thời $u_{3} = u_{2} q > 0$ nên $q < 0$ .

q = \pm 3, u_{3} = - 6 q > 0 ⟹ q < 0 ⟹ q = - 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $C$ : $q = - 3$ ; $A$ sai vì không thỏa $u_{3} > 0$ , còn $B$ và $D$ sai vì không thỏa $q^{4} = 81$ .

Đáp án:

C . q = - 3

— thỏa mãn đồng thời

q^{4} = 81

và

u_{3} > 0

.

Câu 3

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Hình minh họa

A

$(- 2; 0)$

B

$(- \infty; 0)$

C

$(3; + \infty)$

D

$(1; 3)$

Lời giải

Bước 1: Đọc dấu đạo hàm

Từ bảng biến thiên, trên $(1; 3)$ có $f^{'} (x) < 0$ .

f^{'} (x) < 0 tr \overset{e}{ˆ} n (1; 3)

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn $(1; 3)$ vì đây là khoảng hàm số nghịch biến; $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt nằm trong các khoảng hàm số đồng biến.

(1; 3)

Đáp án:

(1; 3)

— vì

f^{'} (x) < 0

trên khoảng này.

Câu 4

Tập nghiệm của phương trình $9^{x + 1} = 2 7^{2 x + 1}$ là

A

${\frac{- 1}{4}}$

B

${0}$

C

${- \frac{1}{4}, 0}$

D

$\emptyset$

Lời giải

Bước 1: Đưa về cơ số $3$

Viết $9$ và $27$ dưới dạng lũy thừa của $3$ .

(3^{2})^{x + 1} = (3^{3})^{2 x + 1} \Leftrightarrow 3^{2 (x + 1)} = 3^{3 (2 x + 1)}

Bước 2: Giải phương trình số mũ

Hai vế có cùng cơ số $3$ , nên các số mũ bằng nhau.

2 (x + 1) = 3 (2 x + 1) \Leftrightarrow 2 x + 2 = 6 x + 3 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{4}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tập nghiệm là ${- \frac{1}{4}}$ . Vì vậy, dữ kiện tính toán không khớp với phương án $A$ ; các phương án $B$ , $C$ , $D$ cũng không đúng.

S = {- \frac{1}{4}}

Đáp án: Không có phương án đúng — nghiệm chính xác là

S = {- \frac{1}{4}}

, nên đề hoặc đáp án

A

bị sai.

Câu 5

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 2}{x + 1}$ là

A

$x = - 2$

B

$x = 1$

C

$x = - 1$

D

$x = 2$

Lời giải

Bước 1: Tìm nghiệm mẫu số

Mẫu số bằng $0$ tại nghiệm của phương trình $x + 1 = 0$ .

x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1

Bước 2: Kiểm tra tử số

Tại $x = - 1$ , tử số khác $0$ nên đây là vị trí có tiệm cận đứng.

2 (- 1) - 2 = - 4 \neq = 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn C: $x = - 1$ ; A, B, D sai vì các giá trị $x = - 2, 1, 2$ không làm mẫu số bằng $0$ .

Đáp án: C.

x = - 1

— mẫu số bằng

0

và tử số khác

0

tại giá trị này.

Câu 6

Trong không gian $O x y z$ , cho mặt phẳng $(P) : 2 x + 3 y + z + 2 = 0$ . Véctơ nào dưới đây là một véctơ pháp tuyến của $(P)$ ?

A

$n_{4} = (2; 0; 3)$

B

$n_{2} = (2; 3; 1)$

C

$n_{1} = (2; 3; 0)$

D

$n_{3} = (2; 3; 2)$

Lời giải

Bước 1: Nhận diện hệ số

So sánh phương trình với dạng $a x + b y + cz + d = 0$ để xác định các hệ số.

a = 2, b = 3, c = 1

Bước 2: Đối chiếu phương án

Vectơ pháp tuyến là $n = (2; 3; 1)$ nên chọn phương án $B$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt có thành phần $y$ , $z$ , $z$ không đúng.

n = (2; 3; 1)

Đáp án: B — Vì

n = (2; 3; 1)

đúng bằng ba hệ số của

x

,

y

,

z

.

Câu 7

Khi cắt một vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $O x$ tại điểm có hoành độ $x \in [- 2; 2]$ , biết mặt cắt là hình vuông có độ dài các cạnh là $4 - x^{2}$ . Thể tích của vật thể đã cho bằng

A

$8$

B

$\frac{32}{3}$

C

$\frac{32}{3} π$

D

$8 π$

Lời giải

Bước 1: Lập diện tích mặt cắt

Với cạnh $4 - x^{2}$ , diện tích mặt cắt là $A (x)$ .

A (x) = (4 - x^{2})^{2} = 4 - x^{2}

Bước 2: Tính thể tích

Tích phân diện tích mặt cắt trên đoạn $[- 2; 2]$ cho thể tích vật thể.

V = \int_{- 2}^{2} (4 - x^{2}) d x = [4 x - \frac{x ^{3}}{3}]_{- 2}^{2} = \frac{32}{3}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án B; A, C, D sai vì lần lượt không bằng kết quả tích phân, trong đó C và D còn xuất hiện $π$ không phù hợp với diện tích hình vuông.

Đáp án: B — Vì

V = \frac{32}{3}

.

Câu 8

Cho hình lập phương $A B C D . A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A

$A C_{1} = A A_{1} + A D$

B

$A C_{1} = A B + A D$

C

$A C_{1} = A A_{1} + A D + A B$

D

$A C_{1} = A A_{1} + A B$

Lời giải

Bước 1: Chọn đường đi

Chọn đường đi $A \to A_{1} \to D_{1} \to C_{1}$ để tách thành các vectơ cạnh.

A C_{1} = A A_{1} + A_{1} D_{1} + D_{1} C_{1}

Bước 2: Đổi về vectơ cạnh

Dựa vào các cạnh song song, cùng hướng: $A_{1} D_{1} = A D$ và $D_{1} C_{1} = A B$ .

A C_{1} = A A_{1} + A D + A B

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ . Các phương án $A$ , $B$ , $D$ lần lượt thiếu $A B$ , $A A_{1}$ , $A D$ .

Đáp án: Đáp án

C

—

A C_{1} = A A_{1} + A D + A B

.

Câu 9

Mức thưởng Tết cho các cá nhân viên của tổ 2 tại một công ty được thống kê trong bảng sau. Gọi $R_{1}; R_{2}$ tương ứng là khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về mức thưởng Tết của các nhân viên Tổ A và Tổ B. Chọn phương án đúng trong các phương án dưới đây?

Hình minh họa

A

$R_{2} = 25$

B

$R_{1} < R_{2}$

C

$R_{1} = 20$

D

$R_{1} > R_{2}$

Lời giải

Bước 1: Tính khoảng biến thiên

Cả hai tổ đều bắt đầu từ mốc $5$ .

Tổ A kết thúc ở $30$ , tổ B kết thúc ở $25$ .

R_{1} = 30 - 5 = 25, R_{2} = 25 - 5 = 20

Bước 2: Đối chiếu phương án

Vì $25 > 20$ nên $R_{1} > R_{2}$ .

Chọn D; A, B, C sai vì lần lượt khẳng định $R_{2} = 25$ , $R_{1} < R_{2}$ , $R_{1} = 20$ .

R_{1} = 25 > 20 = R_{2}

Đáp án: D.

R_{1} > R_{2}

— vì

R_{1} = 25

và

R_{2} = 20

.

Câu 10

Cho hình chóp $S . A B C D$ có $S A ⊥ (A B C D)$ và đáy $A B C D$ là hình vuông. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A

$(S A C) ⊥ (S B D)$

B

$(S A D) ⊥ (S B C)$

C

$A C ⊥ (S A B)$

D

$B D ⊥ (S A D)$

Lời giải

Bước 1: Chọn đường kiểm tra

Xét $(S A C)$ và $(S B D)$ ; chọn $B D \subset (S B D)$ .

Vì $A B C D$ là hình vuông nên $B D ⊥ A C$ ; đồng thời $B D ⊥ S A$ do $S A ⊥ (A B C D)$ .

B D ⊥ A C, B D ⊥ S A \Rightarrow B D ⊥ (S A C)

Bước 2: Kết luận vuông góc

Mặt phẳng $(S B D)$ chứa đường thẳng $B D$ vuông góc với $(S A C)$ .

Suy ra hai mặt phẳng $(S A C)$ và $(S B D)$ vuông góc.

(S A C) ⊥ (S B D)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A. B, C, D sai vì lần lượt $(S A D)$ không vuông góc $(S B C)$ , $A C$ không vuông góc $(S A B)$ và $B D$ không vuông góc $(S A D)$ .

Đáp án: A — Vì

B D \subset (S B D)

và

B D ⊥ (S A C)

nên

(S A C) ⊥ (S B D)

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Cụm Cẩm Khê – Yên Lập Sở GD&ĐT Phú Thọ năm 2025

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình tìm q

Bước 2: Chọn giá trị theo dấu

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Đọc dấu đạo hàm

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Đưa về cơ số 3

Bước 2: Giải phương trình số mũ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Tìm nghiệm mẫu số

Bước 2: Kiểm tra tử số

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Nhận diện hệ số

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Lập diện tích mặt cắt

Bước 2: Tính thể tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Chọn đường đi

Bước 2: Đổi về vectơ cạnh

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tính khoảng biến thiên

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Chọn đường kiểm tra

Bước 2: Kết luận vuông góc

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước 1: Lập phương trình tìm $q$

Bước 1: Đưa về cơ số $3$