Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Cụm 7 Sở GD&ĐT TP.HCM năm 2025 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ như hình vẽ sau:
Một chất điểm đặt tại vị trí A, chịu sự tác động của 3 lực $F_{1}, F_{2}, F_{3}$ lần lượt cùng hướng với các vectơ $A B, A D, A C'$ . Tính độ lớn của tổng lực $F = F_{1} + F_{2} + F_{3}$ tác động lên chất điểm, biết rằng độ lớn của 3 lực lần lượt là 10N, 10N, $103$ N.

Hình minh họa

A

$∣ F ∣ = 105$ N

B

$∣ F ∣ = 102$ N

C

$∣ F ∣ = 30$ N

D

$∣ F ∣ = 10 (2 + 3)$ N

Lời giải

Bước 1: Chọn hệ trục

Chọn $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ lần lượt cùng hướng $A B, A D, A A^{'}$ .

F_{1} = 10 e_{1}, F_{2} = 10 e_{2}, F_{3} = 103 \cdot \frac{e _{1} + e _{2} + e _{3}}{3}

Bước 2: Tính tổng lực

Cộng các thành phần theo ba trục vuông góc.

F = 20 e_{1} + 20 e_{2} + 10 e_{3}, ∣ F ∣ = 2 0^{2} + 2 0^{2} + 1 0^{2} = 30 N

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $C$ . $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt tính thiếu thành phần, bỏ qua hai thành phần, và cộng độ lớn như các lực cùng phương.

∣ F ∣ = 30 N

Đáp án: C —

∣ F ∣ = 30 N

do tổng lực có các thành phần

20, 20, 10

.

Câu 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, góc $∠ B A D = 12 0^{\circ}$ , SA ⊥ (ABCD) và SA = a. Số đo góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng đáy gần bằng giá trị nào sau đây?

A

$4 9^{\circ} 6^{'}$

B

$6 0^{\circ}$

C

$4 5^{\circ}$

D

$4 0^{\circ} 5 3^{'}$

Lời giải

Bước 1: Xác định tam giác đáy

Vì $∠ A B C = 6 0^{\circ}$ và $A B = B C = a$ , tam giác $A B C$ đều.

Hạ $A H ⊥ B C$ , suy ra $A H$ là đường cao tam giác đều.

A H = \frac{a 3}{2}

Bước 2: Tính góc nhị diện

Góc giữa $(S B C)$ và $(A B C D)$ là $∠ S H A$ .

Trong tam giác vuông $S A H$ , dùng tỉ số tang của góc cần tìm.

tan ∠ S H A = \frac{S A}{A H} = \frac{a}{\frac{a 3}{2}} = \frac{2}{3}; ∠ S H A \approx 4 9^{\circ} 6^{'}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A: $4 9^{\circ} 6^{'}$ . Các phương án B, C, D sai vì lần lượt không đúng giá trị tang, đồng nhất góc với $4 5^{\circ}$ , hoặc cho kết quả nhỏ hơn giá trị tính được.

Đáp án: A.

4 9^{\circ} 6^{'}

— vì

tan α = \frac{2}{3}

.

Câu 3

Cho bảng số liệu ghép nhóm như sau. Trong đó n là số tự nhiên khác 0. Biết số trung bình của mẫu số liệu là $\overset{x}{ˉ} = \frac{128}{19}$ . Phương sai của mẫu bằng

Hình minh họa

A

$\frac{3908}{361}$

B

$\frac{940}{19}$

C

$\frac{1476}{361}$

D

$\frac{812}{19}$

Lời giải

Bước 1: Tìm tần số $n$

Tâm các lớp là $2, 4, 6, 8, 10$ .

\overset{x}{ˉ} 19 (216 + 10 n) = \frac{2 \cdot 2 + 5 \cdot 4 + 12 \cdot 6 + 15 \cdot 8 + 10 n}{34 + n} = \frac{216 + 10 n}{34 + n} = \frac{128}{19} = 128 (34 + n) \Rightarrow n = 4.

Bước 2: Tính các đại lượng cần thiết

Khi đó, $N = 38$ và tính tổng bình phương theo tâm lớp.

\sum f_{i} x_{i}^{2} = 2 \cdot 2^{2} + 5 \cdot 4^{2} + 12 \cdot 6^{2} + 15 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 1 0^{2} = 1880

Bước 3: Tính phương sai

Áp dụng công thức phương sai mẫu ghép nhóm.

s^{2} = \frac{1880}{38} - (\frac{128}{19})^{2} = \frac{940}{19} - \frac{16384}{361} = \frac{1476}{361}

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn $C : \frac{1476}{361}$ . Các phương án $A, B, D$ lần lượt do tính sai hiệu, mới chỉ lấy $\frac{\sum f _{i} x _{i}^{2}}{N}$ , hoặc dùng sai công thức phương sai.

Đáp án:

C . \frac{1476}{361}

— tính đúng theo công thức

s^{2} = \frac{\sum f _{i} x _{i}^{2}}{N} - \overset{x}{ˉ}^{2}

.

Câu 4

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 6 x - 2 y + 4 z - 2 = 0$ . Tọa độ tâm mặt cầu là

A

I $(- 6; 2; - 4)$

B

I $(- 3; 1; - 2)$

C

I $(3; - 1; 2)$

D

I $(6; - 2; 4)$

Lời giải

Bước 1: Xác định hệ số

Đối chiếu phương trình, ta có $a = 6$ , $b = - 2$ , $c = 4$ .

a = 6, b = - 2, c = 4

Bước 2: Đối chiếu phương án

Áp dụng công thức tâm mặt cầu, ta được $I (- \frac{a}{2}, - \frac{b}{2}, - \frac{c}{2}) = I (- 3; 1; - 2)$ .

Phương án B đúng; A, C, D lần lượt sai do gấp đôi tọa độ, đổi dấu và vừa gấp đôi vừa đổi dấu.

I (- \frac{a}{2}, - \frac{b}{2}, - \frac{c}{2}) = I (- 3; 1; - 2)

Đáp án: B.

I (- 3; 1; - 2)

— tâm là nửa đối các hệ số của

x, y, z

.

Câu 5

Cho dãy số $(u_{n})$ : ${u_{1} = 1 u_{n + 1} = 3 u_{n}, \forall n \in N^{*}$ . Gọi $S_{n} = u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n}$ . Nếu $S_{n} = 29524$ thì giá trị $n$ bằng:

A

9

B

12

C

11

D

10

Lời giải

Bước 1: Lập công thức tổng

Dãy $(u_{n})$ là cấp số nhân với $u_{1} = 1$ , $q = 3$ .

S_{n} = \frac{3 ^{n} - 1}{3 - 1} = \frac{3 ^{n} - 1}{2}

Bước 2: Tìm $n$

Thay $S_{n} = 29524$ rồi giải phương trình theo $n$ .

\frac{3 ^{n} - 1}{2} = 29524 \Rightarrow 3^{n} = 59049 = 3^{10} \Rightarrow n = 10

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án đúng là $D .10$ ; các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt cho $n = 9$ , $n = 12$ , $n = 11$ , không thỏa mãn $S_{n} = 29524$ .

Đáp án:

D .10

— vì

3^{n} = 59049 = 3^{10}

.

Câu 6

Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $O x$ tại $x = a$ và $x = b (a < b)$ . Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $O x$ tại $x (a \leq x \leq b)$ cắt vật thể đó theo hình phẳng có diện tích là $S (x)$ . Giả sử hàm số $S (x)$ liên tục trên $[a; b]$ . Khi đó, thể tích $V$ của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên được tính theo công thức:

A

$V = π \int_{a}^{b} S (x) d x$

B

$V = \int_{a}^{b} [S (x)]^{2} d x$

C

$V = π \int_{a}^{b} [S (x)]^{2} d x$

D

$V = \int_{a}^{b} S (x) d x$

Lời giải

Bước 1: Xác định thể tích lát mỏng

Lát mỏng vuông góc với $O x$ có diện tích $S (x)$ và bề dày $d x$ .

d V = S (x) d x

Bước 2: Tích phân theo $x$

Cộng các lát mỏng từ $x = a$ đến $x = b$ .

V = \int_{a}^{b} d V = \int_{a}^{b} S (x) d x

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $D$ . $A$ sai vì thừa $π$ ; $B$ sai vì bình phương $S (x)$ ; $C$ mắc cả hai lỗi.

Đáp án:

D

— thể tích được tính bởi

V = \int_{a}^{b} S (x) d x

.

Câu 7

Trong hệ trục Oxy, cho hàm số $y = \frac{a x + b}{x + c}$ có đồ thị như hình vẽ. Trong 3 giá trị a, b, c có bao nhiêu giá trị dương?

Hình minh họa

A

2

B

0

C

1

D

3

Lời giải

Bước 1: Xác định dấu của $c$

Tiệm cận đứng $x = - c$ nằm bên trái trục tung nên $- c < 0$ .

- c < 0 \Rightarrow c > 0

Bước 2: Xác định dấu của $a$

Tiệm cận ngang $y = a$ nằm phía trên trục hoành nên $a > 0$ .

a > 0

Bước 3: Xác định dấu của $b$

Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ âm, nên $x_{0} = - \frac{b}{a} < 0$ .

Vì $a > 0$ , suy ra $b > 0$ .

x_{0} = - \frac{b}{a} < 0 \Rightarrow b > 0 (a > 0)

Bước 4: Đối chiếu phương án

Có $a > 0$ , $b > 0$ , $c > 0$ nên cả ba giá trị đều dương.

Chọn $D$ ; các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt đếm thiếu số giá trị dương.

a > 0, b > 0, c > 0 \Rightarrow 3

Đáp án:

D

— Cả

a, b, c

đều dương nên có

3

giá trị dương.

Câu 8

Hàm số $f (x) = cos 2 x$ là một nguyên hàm của hàm số nào?

A

$g (x) = 2 sin 2 x$

B

$g (x) = - \frac{1}{2} sin 2 x$

C

$g (x) = \frac{1}{2} sin 2 x$

D

$g (x) = - 2 sin 2 x$

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Áp dụng quy tắc hàm hợp cho $f (x) = cos 2 x$ .

f^{'} (x) = - sin 2 x \cdot 2 = - 2 sin 2 x

Bước 2: Đối chiếu phương án

Vì $g (x) = f^{'} (x)$ nên chọn phương án có $g (x) = - 2 sin 2 x$ .

Đáp án $D$ đúng; $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt sai dấu, sai hệ số và sai cả dấu lẫn hệ số.

g (x) = f^{'} (x) = - 2 sin 2 x

Đáp án:

D

— Vì

g (x) = f^{'} (x) = - 2 sin 2 x

.

Câu 9

Cho bảng biến thiên của hàm số $y = f (x)$ như hình vẽ. Hàm số đồng biến trên khoảng nào?

Hình minh họa

A

$(1; 2)$

B

$(2; 3)$

C

$(- 1; 2)$

D

$(1; + \infty)$

Lời giải

Bước 1: Nhận diện điều kiện

Muốn tìm khoảng đồng biến, chọn nơi đạo hàm dương.

f^{'} (x) > 0

Bước 2: Đọc bảng biến thiên

Bảng biến thiên cho các khoảng đồng biến là $(- 1; 0)$ và $(2; + \infty)$ .

f^{'} (x) > 0 tr \overset{e}{ˆ} n (- 1; 0) v \overset{a}{ˋ} (2; + \infty)

Bước 3: Đối chiếu phương án

$B = (2; 3)$ nằm trong $(2; + \infty)$ nên đúng; $A$ nằm trong vùng nghịch biến, còn $C, D$ chứa vùng nghịch biến nên sai.

(2; 3) \subset (2; + \infty)

Đáp án: Đáp án

B

— vì

(2; 3)

nằm hoàn toàn trong khoảng hàm số đồng biến

(2; + \infty)

.

Câu 10

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua 3 điểm $A (- 1; 0; 0), B (0; 2; 0), C (0; 0; 3)$ có phương trình là

A

$\frac{x}{- 1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 0$

B

$- x + 2 y + 3 z = 1$

C

$\frac{x}{- 1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$

D

$- x + 2 y + 3 z = 0$

Lời giải

Bước 1: Xác định các đoạn chắn

Từ $A$ , $B$ , $C$ , lần lượt có $a = - 1$ , $b = 2$ , $c = 3$ .

a = - 1, b = 2, c = 3

Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng

Thay các đoạn chắn vào công thức dạng đoạn chắn.

\frac{x}{- 1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn C. A và D có vế phải $0$ , còn B không tương đương với phương trình trên.

Đáp án: C — phương trình mặt phẳng là

\frac{x}{- 1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Cụm 7 Sở GD&ĐT TP.HCM năm 2025

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Chọn hệ trục

Bước 2: Tính tổng lực

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Xác định tam giác đáy

Bước 2: Tính góc nhị diện

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Tìm tần số n

Bước 2: Tính các đại lượng cần thiết

Bước 3: Tính phương sai

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Xác định hệ số

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Lập công thức tổng

Bước 2: Tìm n

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Xác định thể tích lát mỏng

Bước 2: Tích phân theo x

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Xác định dấu của c

Bước 2: Xác định dấu của a

Bước 3: Xác định dấu của b

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Nhận diện điều kiện

Bước 2: Đọc bảng biến thiên

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Xác định các đoạn chắn

Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước 1: Tìm tần số $n$

Bước 2: Tìm $n$

Bước 2: Tích phân theo $x$

Bước 1: Xác định dấu của $c$

Bước 2: Xác định dấu của $a$

Bước 3: Xác định dấu của $b$