Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGTD ĐHBK HN năm 2025 - Mã đề 09 2025 (Đánh giá Tư duy (TSA))

Câu 1

Cho hàm số $y = f (x)$ và $y = g (x)$ xác định và có đạo hàm trên các khoảng $(a; b)$ và $(c; d)$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

A

Nếu hàm số $f (x)$ đồng biến trên khoảng $(a; b)$ thì hàm số $\frac{1}{f ( x )}$ đồng biến trên khoảng $(a; b)$

B

Nếu hàm số $y = f (x)$ đồng biến trên khoảng $(a; b)$ và hàm số $y = g (x)$ nghịch biến trên khoảng $(a; b)$ thì hàm số $f (x) - g (x)$ đồng biến trên khoảng $(a; b)$

Câu này chưa có lời giải.

Câu 2

Một công ty vận tải cung cấp dịch vụ tour du lịch tại một số địa điểm trong địa bàn thành phố Hồ Chí Minh. Bảng số liệu sau cho ta thông tin về giá vé xe buýt tại các điểm dừng chân trong tour du lịch này như sau: Một du khách muốn tự mình trải nghiệm nên tự bắt xe đi ngẫu nhiên giữa các địa điểm như sau:

Bắt một chuyến xe đi từ địa điểm I đến một địa điểm bất kì. Khi đó, xác suất người đó phải trả dưới $20000$ đồng tiền vé xe buýt là [1].
Đi từ địa điểm I đến địa điểm III qua 1 trạm trung gian. Khi đó, xác suất người đó trả trên $25000$ đồng tiền vé xe buýt là [2].

Hình minh họa

A

3/4

B

4/5

C

2/3

D

1/3

Đáp án đúng: 3/4 — 2/3

Lời giải

Bước 1: Liệt kê các chuyến đi

Chuyến trực tiếp: $I \to I I$ ( $10000$ đồng), $I \to I I I$ ( $15000$ đồng), $I \to I V$ ( $20000$ đồng), $I \to V$ ( $10000$ đồng).

Qua trung gian đến $I I I$ : $I \to I I \to I I I$ ( $30000$ đồng), $I \to I V \to I I I$ ( $27000$ đồng), $I \to V \to I I I$ ( $15000$ đồng); lần lượt thỏa, thỏa, không thỏa điều kiện trên $25000$ đồng.

Bước 2: Tính hai xác suất

Với câu a, có $3$ chuyến dưới $20000$ đồng trên tổng $4$ chuyến.

Với câu b, có $2$ chuyến trên $25000$ đồng trên tổng $3$ chuyến.

\frac{3}{4}; \frac{2}{3}

Đáp án: Đáp án:

A

và

C

— lần lượt có

3

trên

4

và

2

trên

3

cách thuận lợi.

Câu 3

Bạn A có 4 lego và 3 hộp bút để trang trí bàn học. Bạn A muốn xếp chúng thành 1 hàng ngang thẳng hàng sao cho lego và hộp bút xen kẽ nhau. Hỏi bạn A có [1] cách xếp.

Đáp án đúng: 144

Lời giải

Bước 1: Xác định dạng xen kẽ

Vì số lego nhiều hơn số hộp bút đúng $1$ , dãy phải có dạng lego – hộp bút – lego – hộp bút – lego – hộp bút – lego.

L - H - L - H - L - H - L

Bước 2: Hoán vị từng loại

Có $4$ vị trí cho lego và $3$ vị trí cho hộp bút, lần lượt có số cách hoán vị là $4!$ và $3!$ .

4!, 3!

Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân

Tổng số cách xếp là tích của hai số cách hoán vị.

3! \times 4! = 144

Đáp án:

144

— theo quy tắc nhân, số cách xếp là

3! \times 4!

.

Câu 4

Cho khối chóp $S A B C$ có $S A$ vuông góc với đáy. Tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có trung tuyến $A M = a$ , $S A = A C = a 2$ . Tính thể tích khối chóp đã cho.

A

$\frac{3}{2} a^{3}$

B

$\frac{2}{3} a^{3}$

C

$2 a^{2}$

D

$\frac{1}{3} a^{3}$

Lời giải

Nội dung bổ sung

Câu 5

Cho dãy số $(u_{n})$ được xác định bởi ${u_{1} = 1, u_{2} = 3 u_{n + 2} + u_{n} = 2 (u_{n + 1} + 1), n \in N^{*}$ . Giới hạn $n \to + \infty lim \frac{u _{n}}{n ^{2}}$ bằng [1].

Đáp án đúng: u_{n+2} - 2u_{n+1} + u_n = 2.

Lời giải

Bước 1: Biến đổi truy hồi

Đưa hệ thức đã cho về dạng sai phân cấp hai.

u_{n + 2} - 2 u_{n + 1} + u_{n} = 2

Bước 2: Tìm sai phân

Đặt $v_{n} = u_{n + 1} - u_{n}$ , khi đó $v_{n + 1} - v_{n} = 2$ nên $(v_{n})$ là cấp số cộng có công sai $d = 2$ .

Vì $v_{1} = u_{2} - u_{1} = 3 - 1 = 2$ , nên $v_{n} = v_{1} + (n - 1) d = 2 n$ .

v_{n} = 2 n

Bước 3: Tìm công thức $u_{n}$

Từ $v_{n} = u_{n + 1} - u_{n} = 2 n$ , tính tổng các hiệu từ $k = 1$ đến $n - 1$ .

Suy ra $u_{n} - 1 = 2 \cdot \frac{( n - 1 ) n}{2}$ và $u_{n} = n^{2} - n + 1$ .

u_{n} - u_{1} = k = 1 \sum n - 1 (u_{k + 1} - u_{k}) = k = 1 \sum n - 1 2 k

Bước 4: Tính giới hạn

Thay công thức $u_{n} = n^{2} - n + 1$ vào biểu thức cần tính.

n \to + \infty lim \frac{u _{n}}{n ^{2}} = n \to + \infty lim (1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n ^{2}}) = 1

Đáp án: Đáp án:

1

— vì

u_{n} = n^{2} - n + 1

nên

\frac{u _{n}}{n ^{2}} \to 1

.

Câu 6

Giả sử có 12 viên bi khác màu nhau và 3 cái hộp, ta chia đều bị vào các hộp.

Kéo các ô sau thả vào vị trí thích hợp để được khẳng định đúng:

Số cách xếp 12 viên vào 3 hộp khác nhau là [1].
Số cách xếp 12 viên vào 3 hộp giống nhau là [2].

A

103950

B

5775

C

207900

D

34650

Đáp án đúng: 34650 — 5775

Lời giải

Bước 1: Hộp có nhãn

Chọn $4$ viên cho hộp $1$ , tiếp tục chọn $4$ viên cho hộp $2$ ; $4$ viên còn lại vào hộp $3$ .

C_{12}^{4} \cdot C_{8}^{4} \cdot C_{4}^{4} = 34650

Bước 2: Hộp không nhãn

Kết quả trên đã đếm mỗi hoán vị thứ tự của $3$ hộp; chia cho $3!$ để bỏ thứ tự hộp.

\frac{34650}{3 !} = 5775

Bước 3: Đối chiếu phương án

Hộp khác nhau ứng với phương án D; hộp giống nhau ứng với phương án B.

Đáp án: D, B — lần lượt là

34650

cách cho hộp khác nhau và

5775

cách cho hộp giống nhau.

Câu 7

Cho S là tập hợp gồm các số có 7 chữ số khác nhau đôi một được lập bằng cách dùng 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 sao cho hai chữ số chẵn không đứng liền nhau. Số phần tử của S là [1].

Đáp án đúng: 3600

Lời giải

Bước 1: Xếp chữ số lẻ

Có $5$ chữ số lẻ, được hoán vị theo $5!$ cách.

5!

Bước 2: Xác định khoảng trống

Sau khi xếp chữ số lẻ, có $6$ khoảng trống để chèn chữ số chẵn.

6

Bước 3: Chọn và xếp chữ số chẵn

Chọn $2$ trong $6$ khoảng trống, rồi hoán vị $2$ chữ số chẵn.

Bước 4: Nhân các kết quả

Số phần tử của $S$ là tích các số cách đã chọn.

5! C_{6}^{2} 2! = 3600

Đáp án:

3600

— do xếp

5

chữ số lẻ, chọn

2

khoảng trong

6

khoảng và hoán vị

2

chữ số chẵn.

Câu 8

Tính tích phân $I = \int_{0}^{2} max {x; x^{3}} d x$ .

A

$\frac{17}{4}$

B

$2$

C

$\frac{15}{4}$

D

$\frac{7}{4}$

Lời giải

Bước 1: Xác định hàm lớn hơn

Xét phương trình $x = x^{3}$ để tìm điểm giao nhau.

Trên $[0, 1]$ , $x^{3} \leq x$ nên chọn $x$ ; trên $[1, 2]$ , $x^{3} \geq x$ nên chọn $x^{3}$ .

x = x^{3}

Bước 2: Chia và tính tích phân

Chia tích phân thành hai phần tương ứng với hai khoảng đã xác định.

\int_{0}^{1} x d x \int_{1}^{2} x^{3} d x = [\frac{x ^{2}}{2}]_{0}^{1} = \frac{1}{2}, = [\frac{x ^{4}}{4}]_{1}^{2} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} .

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A vì giá trị tính được khớp với $\frac{17}{4}$ ; B, C, D sai vì các giá trị lần lượt không bằng kết quả.

I = \frac{1}{2} + \frac{15}{4} = \frac{17}{4}

Đáp án: A — vì

I = \frac{17}{4}

.

Câu 9

Gọi $S$ là tổng các nghiệm của phương trình $9^{\frac{x}{2}} + 9 (\frac{1}{3})^{2 x + 2} - 4 = 0$ . Khi đó $S$ thuộc những khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A

$(- 1; 1)$ .

B

$(0; 2)$ .

C

$(- \frac{1}{2}; \frac{3}{2}) .$

D

$(- 2; 0)$ .

Lời giải

Bước 1: Rút gọn phương trình

Đưa các lũy thừa về cơ số $3$ để được phương trình đơn giản hơn.

9^{\frac{x}{2}} 9 (\frac{1}{3})^{2 x + 2} = (3^{2})^{\frac{x}{2}} = 3^{x}, = 3^{2} \cdot (3^{- \frac{1}{2}})^{2 x + 2} = 3^{1 - x} . \Rightarrow 3^{x} + 3^{1 - x} - 4 = 0

Bước 2: Đặt ẩn phụ và giải

Đặt $t = 3^{x} > 0$ , khi đó $3^{1 - x} = \frac{3}{t}$ .

t + \frac{3}{t} - 4 = 0 \Leftrightarrow t^{2} - 4 t + 3 = 0 \Leftrightarrow (t - 1) (t - 3) = 0 \Rightarrow t = 1 hoặc t = 3

Bước 3: Tìm nghiệm và tính tổng

Từ các giá trị của $t$ , suy ra các nghiệm $x$ rồi tính tổng.

t = 1 \Rightarrow x = 0; t = 3 \Rightarrow x = 1; S = 0 + 1 = 1

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn $B$ , $C$ vì $S = 1 \in (0; 2)$ và $S = 1 \in (- \frac{1}{2}; \frac{3}{2})$ ; $A$ , $D$ sai vì $1 \in / (- 1; 1)$ và $1 \in / (- 2; 0)$ .

S = 1 \in (0; 2) \cap (- \frac{1}{2}; \frac{3}{2})

Đáp án:

B

,

C

— vì tổng nghiệm là

S = 1

, thuộc cả hai khoảng tương ứng.

Câu 10

Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là $f (t) = 30 t^{2} - t^{3}, t = 0; 1; 2; 3; \dots; 20$ Nếu xem $f^{'} (t)$ là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

A

Tốc độ truyền bệnh vào ngày thứ 4 là 272 (người/ngày)

B

Tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ 10

Câu này chưa có lời giải.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGTD ĐHBK HN năm 2025 - Mã đề 09

Tư duy Toán học

Câu 1

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Liệt kê các chuyến đi

Bước 2: Tính hai xác suất

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định dạng xen kẽ

Bước 2: Hoán vị từng loại

Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân

Câu 4

Lời giải

Nội dung bổ sung

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Biến đổi truy hồi

Bước 2: Tìm sai phân

Bước 3: Tìm công thức un​

Bước 4: Tính giới hạn

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Hộp có nhãn

Bước 2: Hộp không nhãn

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Xếp chữ số lẻ

Bước 2: Xác định khoảng trống

Bước 3: Chọn và xếp chữ số chẵn

Bước 4: Nhân các kết quả

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Xác định hàm lớn hơn

Bước 2: Chia và tính tích phân

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Rút gọn phương trình

Bước 2: Đặt ẩn phụ và giải

Bước 3: Tìm nghiệm và tính tổng

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 10

Bước 3: Tìm công thức $u_{n}$