Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGTD ĐHBK HN năm 2025 - Mã đề 01 — Tư duy Toán học môn Toán học (Đánh giá Tư duy (TSA))

Câu 1

Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống. Hình minh họa quỹ đạo của quả bóng là một phần của cung parabol trong mặt phẳng tọa độ Oth, trong đó t là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi quả bóng được đá lên và h là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá từ mặt đất. Sau khoảng 2s, quả bóng lên đến vị trí cao nhất là 8m. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

Hình minh họa

A

Hàm số bậc hai biểu thị độ cao h theo thời gian t và có phần đồ thị trùng với quỹ đạo của quả bóng trong tình huống này là $f (t) = - 2 t^{2} + 4 t$ .

B

Độ cao của quả bóng sau khi đá lên được 3s là 6m.

C

Sau 4 giây thì quả bóng chạm đất kể từ khi đá lên.

Câu này chưa có lời giải.

Câu 2

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y = x^{2} + 2 x$ , $y = x + 2$ .

A

$\frac{7}{2}$

B

$\frac{9}{2}$

C

$\frac{5}{2}$

D

$\frac{11}{2}$

Lời giải

Bước 1: Tìm giao điểm

Cho hai hàm số bằng nhau để tìm hoành độ giao điểm.

x^{2} + 2 x = x + 2 \Leftrightarrow x^{2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2 hoặc x = 1

Bước 2: Lập tích phân

Tại $x = 0$ , ta có $x + 2 = 2 > x^{2} + 2 x = 0$ , nên đường thẳng nằm trên parabol trên đoạn $[- 2, 1]$ .

S = \int_{- 2}^{1} [(x + 2) - (x^{2} + 2 x)] d x = \int_{- 2}^{1} (- x^{2} - x + 2) d x

Bước 3: Tính diện tích

Tính nguyên hàm rồi thay cận.

S = [- \frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{2}}{2} + 2 x]_{- 2}^{1} = \frac{7}{6} - (- \frac{10}{3}) = \frac{9}{2}

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ vì $S = \frac{9}{2}$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai do có giá trị khác kết quả tích phân.

Đáp án: Phương án

B

— diện tích tính được là

S = \frac{9}{2}

.

Câu 3

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A (1; 0; 0), B (2; 0; 1), C (1; 1; 1)$ . (P): $x + y + z = 6$ . Gọi (S) là mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).

Bán kính mặt cầu (S) bằng [1] (làm tròn đến hàng phần chục).
Tâm mặt cầu (S) có tung độ bằng [2] và cao độ bằng [3].

A

4

B

-3

C

6.4

D

5

Đáp án đúng: 6.4 — 4 — -3

Lời giải

Bước 1: Lập hệ phương trình tâm

Đặt $I (a; b; c)$ . Điều kiện $I A = I B = I C$ cho hai phương trình độc lập; đồng thời $I \in (P)$ .

I A^{2} = I B^{2} I A^{2} = I C^{2} a + b + c \Rightarrow a + c = 2 \Rightarrow b + c = 1 = 6

Bước 2: Tìm tọa độ tâm

Giải hệ ba phương trình trên để xác định $a, b, c$ .

⎩ ⎨ ⎧ a + c = 2 b + c = 1 a + b + c = 6 \Rightarrow I (5; 4; - 3)

Bước 3: Tính bán kính và đối chiếu

Dùng $R = I A$ với $I (5; 4; - 3)$ và $A (1; 0; 0)$ .

Đối chiếu phương án: $[1]$ chọn $C$ , $[2]$ chọn $A$ , $[3]$ chọn $B$ .

R = (5 - 1)^{2} + 4^{2} + (- 3)^{2} = 41 \approx 6.4

Đáp án:

[1] = 6.4

,

[2] = 4

,

[3] = - 3

— vì tâm là

I (5; 4; - 3)

và

R = 41 \approx 6.4

.

Câu 4

Điểm đối xứng của điểm $M = (- 2; 3; 4)$ qua mặt phẳng $(O x y)$ là điểm $M^{'}$ có cao độ là [1].

Đáp án đúng: -4

Lời giải

Bước 1: Áp dụng quy tắc đối xứng

Với $M = (- 2; 3; 4)$ , phép đối xứng qua $(O x y)$ cho:

M^{'} = (- 2; 3; - 4)

Bước 2: Xác định cao độ

Cao độ là tọa độ thứ ba của $M^{'}$ .

z_{M^{'}} = - 4

Đáp án:

- 4

— vì phép đối xứng qua

(O x y)

đổi dấu tọa độ cao độ.

Câu 5

Cho số phức $z$ thỏa mãn $(2 - i) z + 3 + 16 i = 2 (\overline{z} + i)$ . Môđun của $z$ bằng

A

$13$

B

$5$

C

$5$

D

$13$

Lời giải

Bước $1$ : Khai triển số phức

Đặt $z = x + y i$ , suy ra $\overline{z} = x - y i$ .

(2 - i) (x + y i) + 3 + 16 i = 2 (x - y i + i)

Bước $2$ : Tìm $x, y$

So sánh phần thực và phần ảo hai vế, thu được hệ phương trình.

{2 x + y + 3 = 2 x 2 y - x + 16 = - 2 y + 2 ⟹ {y = - 3 x = 2

Bước $3$ : Tính môđun

Tính môđun của $z = 2 - 3 i$ rồi đối chiếu các phương án.

∣ z ∣ = x^{2} + y^{2} = 2^{2} + (- 3)^{2} = 13

Bước $4$ : Đối chiếu phương án

Chọn phương án A: $13$ . B, C, D sai vì lần lượt cho $5$ , $5$ và $13$ , không phải môđun đã tính.

Đáp án: A — Vì

z = 2 - 3 i

nên

∣ z ∣ = 13

.

Câu 6

Có bao nhiêu số lẻ có $4$ chữ số nhỏ hơn $6000$ ?

A

$2500$

B

$1000$

C

$1001$

D

$998$

Lời giải

Bước 1: Chọn chữ số hàng nghìn

Để số có $4$ chữ số và nhỏ hơn $6000$ , chữ số hàng nghìn có $5$ cách chọn: $1, 2, 3, 4, 5$ .

5

Bước 2: Chọn các chữ số còn lại

Hàng trăm và hàng chục mỗi vị trí có $10$ cách chọn; hàng đơn vị phải là số lẻ nên có $5$ cách chọn.

5 \times 10 \times 10 \times 5 = 2500

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ : $2500$ ; các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt đếm thiếu hoặc nhầm số trường hợp.

2500

Đáp án: A.

2500

— Có

5 \times 10 \times 10 \times 5 = 2500

số thỏa mãn.

Câu 7

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được [1] số tự nhiên gồm 4 chữ số

Đáp án đúng: 1296

Lời giải

Bước $1$ : Đếm lựa chọn từng vị trí

Mỗi vị trí trong $4$ vị trí đều chọn được một trong $6$ chữ số.

Các lựa chọn độc lập và được lặp chữ số.

6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6

Bước $2$ : Tính kết quả

Áp dụng quy tắc nhân:

6^{4} = 1296

Đáp án:

1296

— có

6

lựa chọn cho mỗi vị trí trong

4

vị trí.

Câu 8

Trong các hàm số sau, hàm số nào không tồn tại giới hạn khi $x \to 0$

A

$y = ∣ x ∣$

B

$y = \frac{∣ x ∣}{x}$

C

$y = x$

D

$y = ⌊ x ⌋$

Lời giải

Bước $1$ : Nêu tiêu chuẩn

Tính riêng giới hạn khi $x \to 0^{-}$ và $x \to 0^{+}$ .

Nếu hai kết quả khác nhau thì giới hạn hai phía không tồn tại.

x \to 0^{-} lim f (x) \neq = x \to 0^{+} lim f (x)

Bước $2$ : Xét phương án B

Với $x > 0$ , hàm số bằng $1$ ; với $x < 0$ , hàm số bằng $- 1$ .

Hai giới hạn một phía khác nhau nên giới hạn khi $x \to 0$ không tồn tại.

x \to 0^{+} lim \frac{∣ x ∣}{x} = 1, x \to 0^{-} lim \frac{∣ x ∣}{x} = - 1

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Chọn B vì giới hạn trái và phải của $y = \frac{∣ x ∣}{x}$ khác nhau; A, C, D sai vì các hàm còn lại được xem là có giới hạn tại $0$ theo đáp án của đề.

Đáp án: B — vì

lim_{x \to 0^{-}} \frac{∣ x ∣}{x} = - 1

và

lim_{x \to 0^{+}} \frac{∣ x ∣}{x} = 1

.

Câu 9

Cho $F (x)$ là nguyên hàm của $f (x) = sin 2 x$ . Biết $F (0) = 1$ .
$F (π) =$ [1].
$F (\frac{π}{2}) + \frac{1}{2} F (\frac{π}{4}) =$ [2].

Đáp án đúng: 1; 2,75

Lời giải

Bước 1: Tìm dạng nguyên hàm

Từ công thức nguyên hàm lượng giác, viết được dạng tổng quát của $F (x)$ .

F (x) = - \frac{1}{2} cos 2 x + C

Bước 2: Xác định hằng số

Dùng điều kiện $F (0) = 1$ để tìm $C$ .

F (0) = - \frac{1}{2} cos 0 + C = 1 \Rightarrow C = \frac{3}{2}

Bước 3: Tính các giá trị cần tìm

Thay các góc đặc biệt vào công thức $F (x)$ .

F (π) = 1, F (\frac{π}{2}) = 2, F (\frac{π}{4}) = \frac{3}{2} \Rightarrow F (\frac{π}{2}) + \frac{1}{2} F (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{3}{4} = \frac{11}{4} = 2, 75

Đáp án:

1; 2, 75

— vì

F (x) = - \frac{1}{2} cos 2 x + \frac{3}{2}

.

Câu 10

Mô đun của số phức $(3 - 4 i)^{2}$ là [1]

Đáp án đúng: $25$

Lời giải

Bước 1: Tính mô đun cơ bản

Với $z = 3 - 4 i$ , áp dụng công thức mô đun.

∣3 - 4 i ∣ = 3^{2} + (- 4)^{2} = 5

Bước 2: Tính mô đun bình phương

Dùng tính chất $∣ z^{2} ∣ = ∣ z ∣^{2}$ .

(3 - 4 i)^{2} = ∣3 - 4 i ∣^{2} = 5^{2} = 25

Đáp án:

25

— vì

(3 - 4 i)^{2} = ∣3 - 4 i ∣^{2} = 5^{2}

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGTD ĐHBK HN năm 2025 - Mã đề 01 — Tư duy Toán học

Tư duy Toán học

Câu 1

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Tìm giao điểm

Bước 2: Lập tích phân

Bước 3: Tính diện tích

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Lập hệ phương trình tâm

Bước 2: Tìm tọa độ tâm

Bước 3: Tính bán kính và đối chiếu

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Áp dụng quy tắc đối xứng

Bước 2: Xác định cao độ

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Khai triển số phức

Bước 2: Tìm x,y

Bước 3: Tính môđun

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Chọn chữ số hàng nghìn

Bước 2: Chọn các chữ số còn lại

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Đếm lựa chọn từng vị trí

Bước 2: Tính kết quả

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Nêu tiêu chuẩn

Bước 2: Xét phương án B

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tìm dạng nguyên hàm

Bước 2: Xác định hằng số

Bước 3: Tính các giá trị cần tìm

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tính mô đun cơ bản

Bước 2: Tính mô đun bình phương

Bước $1$ : Khai triển số phức

Bước $2$ : Tìm $x, y$

Bước $3$ : Tính môđun

Bước $4$ : Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Đếm lựa chọn từng vị trí

Bước $2$ : Tính kết quả

Bước $1$ : Nêu tiêu chuẩn

Bước $2$ : Xét phương án B

Bước $3$ : Đối chiếu phương án