Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG TP.HCM năm 2025 - Mã đề 27 — Toán học môn Toán học (Đánh giá Năng lực V-ACT)

Câu 1

Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình $x^{3} - 3 x + 1 + m = 0$ có ba nghiệm thực phân biệt.

A

$m \in (- 3; 1)$

B

$m \in (1; 3)$

C

$m \in (- 2; 2)$

D

$m \in (- 1; 3)$

Lời giải

Bước 1: Tìm cực trị của hàm số

Tính đạo hàm $f^{'} (x) = - 3 x^{2} + 3$ . Cho $f^{'} (x) = 0$ suy ra $x = \pm 1$ .

Giá trị cực trị là $f (1) = 1$ và $f (- 1) = - 3$ .

f^{'} (x) = - 3 (x - 1) (x + 1)

Bước 2: Đối chiếu phương án

Phương trình $f (x) = - m$ có ba nghiệm khi $- 3 < - m < 1$ , tương đương $- 1 < m < 3$ .

Phương án D đúng; A, B, C sai vì tính toán sai điểm cực trị hoặc nhầm dấu khi giải bất phương trình.

- 3 < - m < 1

Đáp án: D — điều kiện để đường thẳng

y = - m

cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt là

- 3 < - m < 1

.

Câu 2

Hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A

$(0; 1)$

B

$(1; 2)$

C

$(2; 3)$

D

$(3; + \infty)$

Lời giải

Bước 1: Tính và phân tích đạo hàm

Tính đạo hàm rồi phân tích thành nhân tử.

y^{'} = x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3)

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Với $x > 3$ , cả $x - 1$ và $x - 3$ đều dương nên $y^{'} > 0$ .

Bước 3: Đối chiếu phương án

Khoảng đồng biến trong các lựa chọn là $(3; + \infty)$ , nên chọn phương án $D$ ; các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì không thuộc khoảng đồng biến đã xác định.

Đáp án:

D

— hàm số đồng biến trên khoảng

(3; + \infty)

vì

y^{'} > 0

khi

x > 3

.

Câu 3

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh $a 2$ . Biết $S A$ vuông góc với đáy và $S C = a 5$ . Tính thể tích $V$ của khối chóp đã cho.

A

$V = \frac{2 a ^{3}}{3}$

B

$V = 2 a^{3}$

C

$V = \frac{a ^{3}}{3}$

D

$V = \frac{a ^{3} 3}{3}$

Lời giải

Bước 1: Tính diện tích đáy

Đáy $A B C D$ là hình vuông nên diện tích đáy được tính theo bình phương cạnh.

S_{A B C D} = (a 2)^{2} = 2 a^{2}

Bước 2: Tìm chiều cao

Đường chéo hình vuông: $A C = (a 2) 2 = 2 a$ .

Tam giác $S A C$ vuông tại $A$ , nên áp dụng định lý Pythagore để tìm $S A$ .

S C^{2} = S A^{2} + A C^{2} \Rightarrow (a 5)^{2} = S A^{2} + (2 a)^{2} \Rightarrow S A^{2} = a^{2} \Rightarrow S A = a

Bước 3: Tính thể tích

Sử dụng $S A$ làm chiều cao khối chóp.

V = \frac{1}{3} \cdot 2 a^{2} \cdot a = \frac{2 a ^{3}}{3}

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ ; các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì giá trị lần lượt không trùng với kết quả tính được.

Đáp án: Phương án

A

—

V = \frac{2 a ^{3}}{3}

vì

S_{A B C D} = 2 a^{2}

và

S A = a

.

Câu 4

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho điểm $A (1; - 2; 3)$ và đường thẳng $d$ có phương trình $\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 3}{- 1}$ . Tính đường kính của mặt cầu $(S)$ có tâm $A$ và tiếp xúc với đường thẳng $d$ .

A

$52$

B

$102$

C

$25$

D

$45$

Lời giải

Bước 1: Chọn điểm và vectơ chỉ phương

Từ phương trình tham số của $d$ , chọn $P_{0} (- 1; 2; - 3)$ và lấy $u = (2; 1; - 1)$ .

x = - 1 + 2 t, y = 2 + t, z = - 3 - t

Bước 2: Tính tích có hướng

Ta có $A P_{0} = A - P_{0} = (2; - 4; 6)$ .

A P_{0} \times u = (- 2; 14; 10), ∣ A P_{0} \times u ∣ = 300 = 103, ∣ u ∣ = 6

Bước 3: Tính bán kính và đường kính

Bán kính là khoảng cách từ $A$ đến $d$ ; đường kính bằng $2 R$ .

R = d (A, d) = \frac{10 3}{6} = 52, D = 2 R = 102

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ . Các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì không bằng giá trị đường kính $102$ đã tính.

D = 102

Đáp án: B — đường kính bằng

2 R = 102

.

Câu 5

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh $a$ , mặt bên $S A B$ là tam giác cân tại đỉnh $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $A B$ và $S C$ bằng $\frac{a}{2}$ . Thể tích khối chóp $S . A B C$ bằng:

A

$\frac{a ^{3}}{3 3}$ .

B

$\frac{a ^{3}}{4 3}$ .

C

$\frac{a ^{3}}{6 3}$ .

D

$\frac{a ^{3}}{6}$ .

Lời giải

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ

Chọn $A (0, 0, 0)$ , $B (a, 0, 0)$ , $C (a, a, 0)$ , $D (0, a, 0)$ ; mặt phẳng đáy là $z = 0$ .

Vì $(S A B) : y = 0$ và $S A = S B$ nên $S (\frac{a}{2}, 0, h)$ .

S (x, 0, h), S A = S B \Rightarrow x = \frac{a}{2}

Bước 2: Tìm chiều cao $h$

Với $u = (1, 0, 0)$ , $v = S C = (\frac{a}{2}, a, - h)$ và $A S = (\frac{a}{2}, 0, h)$ .

Áp dụng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

u \times v = (0, h, a), ∣ u \times v ∣ = h^{2} + a^{2}, A S \cdot (u \times v) = ah, d = \frac{ah}{h ^{2} + a ^{2}} = \frac{a}{2} \Rightarrow h = \frac{a}{3}

Bước 3: Tính thể tích

Tam giác $A B C$ vuông cân với $A B = B C = a$ nên $S_{△ A B C} = \frac{a ^{2}}{2}$ .

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a ^{2}}{2} \cdot \frac{a}{3} = \frac{a ^{3}}{6 3}

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn $C$ : $\frac{a ^{3}}{6 3}$ ; các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì không trùng với giá trị thể tích đã tính.

Đáp án: C — vì

V_{S . A B C} = \frac{a ^{3}}{6 3}

.

Câu 6

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 x + 4$ là

A

$2 x^{2} + 4 x + C$

B

$x^{2} + 4 x + C$

C

$x^{2} + C$

D

$2 x^{2} + C$

Lời giải

Bước 1: Xác định hàm số

Hàm số cần tìm nguyên hàm là $f (x) = 2 x + 4$ .

Bước 2: Tính nguyên hàm từng phần

Tính riêng nguyên hàm của từng hạng tử.

\int (2x)\,dx=x^2\n\int 4\,dx=4x

Bước 3: Kết hợp kết quả

Kết hợp các nguyên hàm và thêm hằng số tích phân $C$ .

F (x) = x^{2} + 4 x + C

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án B: $x^{2} + 4 x + C$ ; A và D sai vì hệ số của $x^{2}$ là $1$ , còn C thiếu hạng tử $4 x$ .

Đáp án: B — vì họ nguyên hàm là

F (x) = x^{2} + 4 x + C

.

Câu 7

Một chiếc tàu khoan thăm dò dầu khí trên thềm lục địa có xác suất khoan trúng túi dầu là 0.4. Xác suất để trong 5 lần khoan độc lập, chiếc tàu đó khoan trúng túi dầu ít nhất một lần.

A

$0.07776$

B

$0.84222$

C

$0.15778$

D

$0.92224$

Lời giải

Bước 1: Tính xác suất không trúng

Xác suất một lần không trúng là $1 - p = 0.6$ .

1 - p = 0.6

Bước 2: Tính xác suất không trúng lần nào

Do các lần khoan độc lập, xác suất $5$ lần đều không trúng là $0. 6^{5}$ .

0. 6^{2} = 0.36, 0. 6^{4} = 0.1296, 0. 6^{5} = 0.07776

Bước 3: Tính xác suất cần tìm

Lấy $1$ trừ xác suất không trúng lần nào.

P (\overset{ı}{ˊ} t nh \overset{ˊ}{\overset{a}{ˆ}} t 1 l \overset{ˋ}{\overset{a}{ˆ}} n tr \overset{u}{ˊ} ng) = 1 - 0.07776 = 0.92224

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án D: $0.92224$ ; A, B, C sai vì các giá trị lần lượt không bằng kết quả cần tìm.

Đáp án: D — xác suất ít nhất một lần trúng là

1 - 0. 6^{5} = 0.92224

.

Câu 8

Đặt $a = lo g_{27} 5, b = lo g_{7} 7, c = lo g_{3} 3$ . Khi đó $lo g_{12} 35$ bằng

A

$\frac{3 a c + 3 b}{c + 1}$ .

B

$\frac{2 a c + 3 b}{c + 3}$ .

C

$\frac{3 a + lo g _{3} 7}{1 + lo g _{3} 4}$

D

$\frac{2 a c + 3 b}{c + 2}$ .

Lời giải

Bước 1: Biến đổi biểu thức cần tính

Sử dụng công thức đổi cơ số sang cơ số $3$ .

Ta có $lo g_{12} 35 = \frac{l o g _{3} 35}{l o g _{3} 12}$ .

lo g_{12} 35 = \frac{lo g _{3} 5 + lo g _{3} 7}{lo g _{3} 4 + lo g _{3} 3}

Bước 2: Thay thế các biến $a, b, c$

Thay $lo g_{3} 5 = 3 a$ và $lo g_{3} 7 = b$ (do $b = 1$ ).

Vì $c = 1$ , mẫu số $lo g_{3} 4 + 1 = 2 lo g_{3} 2 + 1$ . Biến đổi để khớp phương án $A$ .

\frac{3 a + b}{1 + 2 lo g _{3} 2} = \frac{3 a + 3 b}{c + 1}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Kết quả rút gọn là $\frac{3 a + 3 b}{c + 1}$ , khớp với phương án A.

Các phương án B, C, D sai vì thực hiện sai công thức đổi cơ số hoặc biến đổi hệ số logarit không chính xác.

Đáp án: A — Kết quả thu được sau khi đổi cơ số

3

và thay thế biến là

\frac{3 a + 3 b}{c + 1}

.

Câu 9

Phương trình $m sin 3 x - m cos 3 x = 2$ vô nghiệm với những giá trị nào của $m$

A

$- 2 < m < 2$

B

$∣ m ∣ \geq 2$

C

$- 2 \leq m \leq 2$

D

$- 2 < m < 2$

Lời giải

Bước 1: Đưa về dạng tích

Viết lại phương trình dưới dạng tích của tham số $m$ với biểu thức lượng giác.

m (sin 3 x - cos 3 x) = 2

Bước 2: Biến đổi lượng giác

Dùng công thức biến đổi hiệu $sin$ và $cos$ về một hàm $sin$ .

sin 3 x - cos 3 x = 2 sin (3 x - \frac{π}{4})

Bước 3: Xét điều kiện có nghiệm

Giá trị tuyệt đối cực đại của vế trái là $∣ m ∣ 2$ . Để phương trình có nghiệm, cần $∣ m ∣ 2 \geq ∣2∣$ .

Suy ra điều kiện có nghiệm là $∣ m ∣ \geq 2$ ; do đó phương trình vô nghiệm khi $∣ m ∣ < 2$ .

∣ m ∣ 2 \geq ∣2∣ \Rightarrow ∣ m ∣ \geq \frac{2}{2} = 2

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn D: $- 2 < m < 2$ . A và C cho khoảng rộng hơn điều kiện vô nghiệm, còn B là điều kiện có nghiệm.

Đáp án: D — phương trình vô nghiệm khi

∣ m ∣ < 2

, tương đương

- 2 < m < 2

.

Câu 10

Một nhóm thợ phải thực hiện kế hoạch sản xuất $3000$ sản phẩm. Trong 8 ngày đầu họ thực hiện đúng mức đề ra, những ngày còn lại họ vượt mức mỗi ngày $10$ sản phẩm nên đã hoàn thành sớm hơn dự định $2$ ngày. Hỏi theo kế hoạch cần sản xuất mỗi ngày bao nhiêu sản phẩm.

A

$100$ sản phẩm

B

$200$ sản phẩm

C

$300$ sản phẩm

D

$400$ sản phẩm

Lời giải

Bước 1: Đặt ẩn và biểu diễn số ngày

Gọi số ngày theo kế hoạch là $n$ và số sản phẩm theo kế hoạch mỗi ngày là $x$ .

Khi đó $n x = 3000$ ; số ngày thực tế là $n - 2$ .

n x = 3000

Bước 2: Lập phương trình sản lượng

$8$ ngày đầu làm được $8 x$ sản phẩm; số ngày còn lại là $n - 10$ .

Mỗi ngày còn lại làm $x + 10$ sản phẩm.

8 x + (n - 10) (x + 10) = 3000 \Rightarrow (n - 2) x + 10 n - 100 = 3000

Bước 3: Giải phương trình tìm $x$

Vì $n x = 3000$ nên $(n - 2) x = 3000 - 2 x$ .

Suy ra $5 n = x + 50$ , rồi $x \cdot \frac{x + 50}{5} = 3000$ .

x^{2} + 50 x - 15000 = 0 \Rightarrow x = \frac{- 50 + 250}{2} = 100

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A: $100$ sản phẩm/ngày.

B, C, D sai vì lần lượt cho các giá trị $200$ , $300$ , $400$ , không phù hợp với kết quả $x = 100$ .

x = 100

Đáp án: A — Theo kế hoạch, mỗi ngày cần sản xuất

100

sản phẩm.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG TP.HCM năm 2025 - Mã đề 27 — Toán học

Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tìm cực trị của hàm số

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Tính và phân tích đạo hàm

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Tính diện tích đáy

Bước 2: Tìm chiều cao

Bước 3: Tính thể tích

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Chọn điểm và vectơ chỉ phương

Bước 2: Tính tích có hướng

Bước 3: Tính bán kính và đường kính

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ

Bước 2: Tìm chiều cao h

Bước 3: Tính thể tích

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Xác định hàm số

Bước 2: Tính nguyên hàm từng phần

Bước 3: Kết hợp kết quả

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Tính xác suất không trúng

Bước 2: Tính xác suất không trúng lần nào

Bước 3: Tính xác suất cần tìm

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Biến đổi biểu thức cần tính

Bước 2: Thay thế các biến a,b,c

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Đưa về dạng tích

Bước 2: Biến đổi lượng giác

Bước 3: Xét điều kiện có nghiệm

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Đặt ẩn và biểu diễn số ngày

Bước 2: Lập phương trình sản lượng

Bước 3: Giải phương trình tìm x

Bước 4: Đối chiếu phương án

Bước 2: Tìm chiều cao $h$

Bước 2: Thay thế các biến $a, b, c$

Bước 3: Giải phương trình tìm $x$