Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG TP.HCM năm 2025 - Mã đề 26 — Toán học môn Toán học (Đánh giá Năng lực V-ACT)

Câu 1

Một lớp học có tất cả học sinh đều học tiếng Anh hoặc tiếng Pháp. Trong đó, có 25 học sinh học tiếng Anh, 20 học sinh học tiếng Pháp và 8 học sinh học cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Tổng số học sinh của lớp học đó là:

A

37

B

45

C

53

D

41

Lời giải

Bước $1$ : Lập công thức

Tổng số học sinh thuộc ít nhất một nhóm bằng số học tiếng Anh cộng số học tiếng Pháp, rồi trừ số học cả hai.

n (A \cup B) = 25 + 20 - 8

Bước $2$ : Đối chiếu phương án

Tính được $25 + 20 - 8 = 37$ học sinh.

Chọn A. B, C, D sai vì lần lượt không trừ số học cả hai, cộng sai dữ kiện, và tính sai kết quả.

25 + 20 - 8 = 37

Đáp án: A — Tổng số học sinh là

25 + 20 - 8 = 37

.

Câu 2

Cho khối lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có thể tích bằng $1$ . Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $A A^{'}$ và $B B^{'}$ . Đường thẳng $C M$ cắt đường thẳng $C^{'} A^{'}$ tại $P$ , đường thẳng $C N$ cắt đường thẳng $C^{'} B^{'}$ tại $Q$ . Thể tích của khối đa diện lồi $A^{'} M P B^{'} N Q$ bằng:

A

$\frac{1}{3}$

B

$\frac{1}{2}$

C

$\frac{2}{3}$

D

$\frac{1}{4}$

Lời giải

Bước 1: Đặt tọa độ các điểm

Chọn $A (0, 0, 0), B (1, 0, 0), C (0, 1, 0)$ ; suy ra $A^{'} (0, 0, 1), B^{'} (1, 0, 1), C^{'} (0, 1, 1)$ .

Vì $M (0, 0, \frac{1}{2}), N (1, 0, \frac{1}{2})$ , giao điểm cho $P (0, - 1, 1), Q (2, - 1, 1)$ .

M (0, 0, \frac{1}{2}), N (1, 0, \frac{1}{2}), P (0, - 1, 1), Q (2, - 1, 1)

Bước 2: Tính diện tích thiết diện

Đặt $λ = 2 z - 1$ , với $\frac{1}{2} \leq z \leq 1$ . Thiết diện là hình thang có chiều cao $λ$ .

Hai đáy lần lượt có độ dài $1$ và $1 + λ$ .

S (λ) = \frac{λ ( 1 + 1 + λ )}{2} = \frac{λ ( 2 + λ )}{2}

Bước 3: Tính tỉ số thể tích

Thể tích khối đa diện trong hệ tọa độ là $\frac{1}{3}$ , còn thể tích lăng trụ tọa độ là $\frac{1}{2}$ .

Do đó tỉ số cần tìm là $\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}$ ; lăng trụ ban đầu có thể tích $1$ .

\frac{V _{A^{'} M P B^{'} N Q}}{V _{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}} = \frac{\frac{1}{2} \int _{0}^{1} \frac{λ ( 2 + λ )}{2} d λ}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ : $\frac{2}{3}$ . Các phương án $A, B, D$ sai vì lần lượt thiếu hệ số quy đổi từ thể tích tọa độ $\frac{1}{2}$ , tính sai tỉ số, và chọn nhầm hệ số.

Đáp án: C — Thể tích khối đa diện bằng

\frac{2}{3}

thể tích lăng trụ.

Câu 3

Cho hàm số $f (x) = (4 x^{2} - 2 x) (5 x - 3)$ . Tính $f^{'} (3)$

A

$414$ .

B

$412$ .

C

$413$ .

D

$415$ .

Lời giải

Bước $1$ : Xác định các đạo hàm

Đặt $u = 4 x^{2} - 2 x$ , $v = 5 x - 3$ .

u^{'} = 8 x - 2, v^{'} = 5

Bước $2$ : Áp dụng quy tắc tích

Tính đạo hàm rồi thay $x = 3$ .

f^{'} (x) = (8 x - 2) (5 x - 3) + 5 (4 x^{2} - 2 x), f^{'} (3) = 22 \cdot 12 + 5 \cdot 30 = 414

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Chọn phương án A vì $f^{'} (3) = 414$ ; B, C, D sai vì lần lượt cho kết quả $412$ , $413$ , $415$ .

Đáp án: A — Vì

f^{'} (3) = 414

.

Câu 4

Trong không gian $O x y z$ , phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu $(S) : (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 81$ tại điểm $P (- 5; - 4; 6)$ là:

A

$7 x + 8 y + 67 = 0$

B

$4 x + 2 y - 9 z + 82 = 0$

C

$x - 4 z + 29 = 0$

D

$2 x + 2 y - z + 24 = 0$

Lời giải

Bước 1: Tìm véc-tơ pháp tuyến

Véc-tơ $I P$ là pháp tuyến của mặt phẳng tiếp xúc.

I P = (- 5 - 1; - 4 - 2; 6 - 3) = (- 6; - 6; 3) \sim (2; 2; - 1)

Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng

Mặt phẳng đi qua $P (- 5; - 4; 6)$ và có pháp tuyến $(2; 2; - 1)$ .

2 (x + 5) + 2 (y + 4) - (z - 6) = 0 ⟺ 2 x + 2 y - z + 24 = 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $D$ ; $A$ , $B$ , $C$ sai vì các véc-tơ pháp tuyến lần lượt là $(7; 8; 0)$ , $(4; 2; - 9)$ , $(1; 0; - 4)$ , không cùng phương với $(2; 2; - 1)$ .

Đáp án:

D

— phương trình mặt phẳng tiếp xúc là

2 x + 2 y - z + 24 = 0

.

Câu 5

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = 7^{x}$ .

A

$\int 7^{x} d x = 7^{x} ln 7 + C$

B

$\int 7^{x} d x = \frac{7 ^{x}}{l n 7} + C$

C

$\int 7^{x} d x = 7^{x + 1} + C$

D

$\int 7^{x} d x = \frac{7 ^{x + 1}}{x + 1} + C$

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng công thức

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số mũ với cơ số $a = 7$ .

\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C

Bước 2: Thay cơ số

Thay $a = 7$ vào công thức.

\int 7^{x} d x = \frac{7 ^{x}}{ln 7} + C

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án đúng là B. A sai vì nhân với $ln 7$ thay vì chia; C sai vì thiếu $ln 7$ ; D sai vì áp dụng sai công thức nguyên hàm lũy thừa.

\int 7^{x} d x = \frac{7 ^{x}}{ln 7} + C

Đáp án: B — Vì

\int 7^{x} d x = \frac{7 ^{x}}{l n 7} + C

.

Câu 6

Đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1 + x ^{2} + 1}{x - 2}$ có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?

A

$3$

B

$1$

C

$2$

D

$0$

Lời giải

Bước 1: Xét hai hướng vô cực

Tiệm cận ngang được tìm từ giới hạn của hàm số khi $x \to + \infty$ và $x \to - \infty$ .

x \to + \infty lim f (x), x \to - \infty lim f (x)

Bước 2: Tính các giới hạn

Dùng $x^{2} + 1 \sim x$ ở phía dương và $x^{2} + 1 \sim - x$ ở phía âm.

x \to + \infty lim \frac{2 x - 1 + x ^{2} + 1}{x - 2} = 3, x \to - \infty lim \frac{2 x - 1 + x ^{2} + 1}{x - 2} = 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Hai giới hạn hữu hạn nên đồ thị có các tiệm cận ngang $y = 3$ và $y = 1$ .

Chọn C; A, B, D sai vì lần lượt đếm thừa, bỏ một tiệm cận và bỏ cả hai tiệm cận.

y = 3, y = 1 \Rightarrow 2 đư ờng tiệm cận ngang

Đáp án: C — Đồ thị có hai tiệm cận ngang

y = 3

và

y = 1

.

Câu 7

Chị Hân hàng tháng gửi vào ngân hàng 1.500.000 đồng, với lãi suất 0,8% một tháng. Sau 1 năm chị Hân rút ra và dùng số tiền đó để mua vàng thì số chỉ vàng mua được ít nhất là bao nhiêu? Biết giá vàng tại thời điểm mua là 3.648.000 đồng/chỉ.

A

4 chỉ

B

3 chỉ

C

5 chỉ

D

6 chỉ

Lời giải

Bước $1$ : Tính số tiền sau $12$ tháng

Mỗi khoản gửi sinh lãi trong thời gian khác nhau nên dùng công thức tổng cấp số nhân.

S = 1.500.000 \cdot \frac{( 1 + 0 , 008 ) ^{12} - 1}{0 , 008} \approx 18.812.400 đ \overset{ˋ}{\overset{o}{ˆ}} ng

Bước $2$ : Đổi tiền thành số chỉ vàng

Số chỉ vàng mua được là thương giữa tổng tiền và giá một chỉ.

\frac{18.812.400}{3.648.000} \approx 5, 16 chỉ \Rightarrow 5 chỉ nguy \overset{e}{ˆ} n

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Chọn $5$ chỉ.

A, B, D sai vì lần lượt cho ít hơn số chỉ mua được hoặc vượt quá số tiền hiện có.

5 chỉ \Rightarrow C

Đáp án: C — Số tiền mua được khoảng

5, 16

chỉ, nên mua được

5

chỉ nguyên.

Câu 8

Nếu $a > 0, b > 0$ thỏa mãn $lo g_{4} a = lo g_{6} b = lo g_{9} (a + b)$ thì $\frac{a}{b}$ bằng:

A

$\frac{5 - 1}{2}$

B

$\frac{5 + 1}{2}$

C

$\frac{3 - 1}{2}$

D

$\frac{3 + 1}{2}$

Lời giải

Bước 1: Đặt giá trị chung

Đặt giá trị chung của ba logarit là $t$ .

a = 4^{t}, b = 6^{t}, a + b = 9^{t}

Bước 2: Tạo phương trình phụ

Chia đẳng thức $4^{t} + 6^{t} = 9^{t}$ cho $9^{t}$ .

(\frac{4}{9})^{t} + (\frac{2}{3})^{t} = 1

Bước 3: Tính tỉ số

Đặt $x = (\frac{2}{3})^{t} > 0$ rồi giải phương trình nhận được.

x^{2} + x = 1 ⟹ x = \frac{5 - 1}{2}, \frac{a}{b} = (\frac{4}{6})^{t} = (\frac{2}{3})^{t} = x

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn $A$ vì $\frac{a}{b} = \frac{5 - 1}{2}$ ; $B$ sai vì không thỏa phương trình, còn $C$ , $D$ sai vì dùng $3$ thay cho $5$ .

Đáp án:

A

— vì

\frac{a}{b} = \frac{5 - 1}{2}

Câu 9

Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , $B C = 24$ , $A B = 12$ . Tính $cos C$

A

$3$

B

$\frac{3}{2}$

C

$2$

D

$\frac{1}{2}$

Lời giải

Bước $1$ : Tính cạnh $A C$

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông.

Suy ra $A C = 123$ .

A C = B C^{2} - A B^{2} = 2 4^{2} - 1 2^{2} = 123

Bước $2$ : Tính $cos C$

Với góc $C$ , cạnh kề là $A C$ và cạnh huyền là $B C$ .

cos C = \frac{A C}{B C} = \frac{12 3}{24} = \frac{3}{2}

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ . Các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt thiếu mẫu số, dùng sai căn thức và thiếu tử số $3$ .

Đáp án:

B

— Vì

cos C = \frac{A C}{B C} = \frac{3}{2}

.

Câu 10

Trường Hạnh Phúc có $1000$ học sinh thì có $200$ học sinh tham gia câu lạc bộ âm nhạc, trong số học sinh đó có $85%$ học sinh biết chơi đàn guitar. Ngoài ra, có $10%$ học sinh không tham gia câu lạc bộ âm nhạc cũng biết chơi đàn guitar. Chọn ngẫu nhiên $1$ học sinh của trường. Xác suất chọn được học sinh không tham gia câu lạc bộ âm nhạc là

A

$0, 6$

B

$0, 1$

C

$0, 8$

D

$1, 1$

Lời giải

Bước 1: Tính số học sinh không tham gia

Lấy tổng số học sinh trừ số học sinh tham gia câu lạc bộ.

1000 - 200 = 800

Bước 2: Tính xác suất

Số trường hợp thuận lợi là $800$ , tổng số trường hợp là $1000$ .

\frac{800}{1000} = 0, 8

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án C vì xác suất bằng $0, 8$ ; A, B, D sai vì lần lượt cho kết quả $0, 6$ , $0, 1$ và $1, 1$ .

Đáp án: C — Số học sinh không tham gia là

800

, nên xác suất bằng

\frac{800}{1000} = 0, 8

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG TP.HCM năm 2025 - Mã đề 26 — Toán học

Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Lập công thức

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Đặt tọa độ các điểm

Bước 2: Tính diện tích thiết diện

Bước 3: Tính tỉ số thể tích

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định các đạo hàm

Bước 2: Áp dụng quy tắc tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Tìm véc-tơ pháp tuyến

Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng công thức

Bước 2: Thay cơ số

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Xét hai hướng vô cực

Bước 2: Tính các giới hạn

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Tính số tiền sau 12 tháng

Bước 2: Đổi tiền thành số chỉ vàng

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Đặt giá trị chung

Bước 2: Tạo phương trình phụ

Bước 3: Tính tỉ số

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tính cạnh AC

Bước 2: Tính cosC

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tính số học sinh không tham gia

Bước 2: Tính xác suất

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Lập công thức

Bước $2$ : Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Xác định các đạo hàm

Bước $2$ : Áp dụng quy tắc tích

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Tính số tiền sau $12$ tháng

Bước $2$ : Đổi tiền thành số chỉ vàng

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Tính cạnh $A C$

Bước $2$ : Tính $cos C$

Bước $3$ : Đối chiếu phương án