Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG TP.HCM năm 2025 - Mã đề 24 — Toán học môn Toán học (Đánh giá Năng lực V-ACT)

Câu 1

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $R$ , có bảng xét dấu đạo hàm như sau. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

Hình minh họa

A

$3$

B

$4$

C

$5$

D

Không đủ dữ kiện để xác định số điểm cực trị.

Lời giải

Bước 1: Xác định các điểm đổi dấu

Quan sát bảng xét dấu, đếm số lần $f^{'} (x)$ thay đổi dấu khi đi qua các nghiệm của đạo hàm.

Mỗi lần $f^{'} (x)$ chuyển từ dấu $+$ sang dấu $-$ hoặc ngược lại tương ứng với một điểm cực trị.

Bước 2: Đối chiếu phương án

Đếm tổng số lần đổi dấu trên bảng xét dấu của $f^{'} (x)$ để kết luận số điểm cực trị.

Phương án C đúng vì $f^{'} (x)$ đổi dấu tại $5$ điểm, trong khi các phương án B, C, D sai vì lần lượt đếm nhầm số nghiệm, bỏ sót điểm đổi dấu và phán đoán thiếu dữ kiện.

5

Đáp án: C

Câu 2

Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = lo g (- x^{2} + 6 x) + \frac{1}{x ^{2} + 6 x + 10}$

A

$[0; 6)$

B

$(0; 6) \cap (- \infty; - 1)$

C

$(0; 6)$

D

$[0; 6) \cap (- \infty; - 1)$

Lời giải

Bước 1: Điều kiện của logarit

Điều kiện để $lo g (- x^{2} + 6 x)$ có nghĩa là $- x^{2} + 6 x > 0$ .

- x^{2} + 6 x > 0 ⟺ x^{2} - 6 x < 0 ⟺ 0 < x < 6

Bước 2: Điều kiện của mẫu số

Mẫu số cần $x^{2} + 6 x + 10 > 0$ .

Δ = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = - 4 ⟹ x^{2} + 6 x + 10 > 0, \forall x \in R

Bước 3: Giao các điều kiện

Tập xác định là giao của các điều kiện trên.

D = (0; 6)

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ . Các phương án $A$ sai vì chứa $0$ , còn $B$ và $D$ sai vì giao với $(- \infty; - 1)$ không phù hợp điều kiện logarit.

Đáp án:

C

— vì tập xác định là

D = (0; 6)

.

Câu 3

Một lớp có $40$ học sinh, trong đó có $24$ học sinh giỏi Toán, $18$ học sinh giỏi Văn và $10$ học sinh không giỏi môn nào trong hai môn Toán và Văn. Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh giỏi cả hai môn Toán và Văn?

A

$12$

B

$10$

C

$11$

D

$13$

Lời giải

Bước 1: Tính số giỏi ít nhất một môn

Số học sinh giỏi ít nhất một môn là tổng số học sinh trừ số không giỏi môn nào.

n (A \cup B) = 40 - 10 = 30

Bước 2: Tính số giỏi cả hai môn

Áp dụng công thức cộng trừ tập hợp để loại phần bị đếm hai lần.

n (A \cap B) = 24 + 18 - 30 = 12

Bước 3: Đối chiếu phương án

$A$ đúng vì kết quả tính được là $12$ . Các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt cho $10$ , $11$ , $13$ , đều khác $12$ .

12

Đáp án:

A

— Có

12

học sinh giỏi cả hai môn.

Câu 4

Biết $lo g_{2} 3 = a$ , $lo g_{2} 5 = b$ . Tính $lo g_{5} 360$ theo $a$ và $b$ .

A

$b (2 a + b + 3)$

B

$\frac{3 a + b + 2}{b}$

C

$\frac{2 a + b + 3}{b}$

D

$b (3 a + b + 2)$

Lời giải

Bước 1: Phân tích số $360$

Phân tích $360$ thành các thừa số nguyên tố.

360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5

Bước 2: Tính $lo g_{2} 360$

Dùng tính chất logarit và thay $lo g_{2} 3 = a$ , $lo g_{2} 5 = b$ .

lo g_{2} 360 = 3 + 2 lo g_{2} 3 + lo g_{2} 5 = 3 + 2 a + b

Bước 3: Đổi cơ số

Đổi $lo g_{5} 360$ sang cơ số $2$ .

lo g_{5} 360 = \frac{lo g _{2} 360}{lo g _{2} 5} = \frac{2 a + b + 3}{b}

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn $C$ . Các phương án $A$ và $D$ nhân thêm $b$ , còn $B$ dùng sai tử số.

Đáp án:

C

— Vì

lo g_{5} 360 = \frac{2 a + b + 3}{b}

.

Câu 5

Cho đồ thị hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x) = x^{2} + 4 x + 5$ . Tìm khoảng đồng biến của đồ thị hàm số

A

$R$

B

$(- 1; 10)$

C

$(0; 10)$

D

$(- 10; 0)$

Lời giải

Bước 1: Lập điều kiện đồng biến

Hàm số đồng biến khi đạo hàm dương.

f^{'} (x) > 0

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Hoàn thành bình phương biểu thức đạo hàm.

x^{2} + 4 x + 5 = (x + 2)^{2} + 1 > 0, \forall x \in R

Bước 3: Đối chiếu phương án

Vì $f^{'} (x) > 0$ với mọi $x \in R$ nên hàm số đồng biến trên $R$ . Chọn A; B, C, D sai vì chỉ là các khoảng con của $R$ .

Đáp án: A.

R

— vì

f^{'} (x) > 0

với mọi

x \in R

.

Câu 6

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho hai vector $a = (0; 1; 3)$ và $b = (- 2; 3; 1)$ . Nếu $2 x + 3 a = 4 b$ thì tọa độ của vector $x$ là:

A

$x = (- 4; \frac{9}{2}; - \frac{5}{2})$

B

$x = (4; \frac{9}{2}; - \frac{5}{2})$

C

$x = (4; \frac{9}{2}; \frac{5}{2})$

D

$x = (- 4; - \frac{9}{2}; \frac{5}{2})$

Lời giải

Bước 1: Biến đổi phương trình

Chuyển $3 a$ sang vế phải để cô lập $2 x$ .

2 x = 4 b - 3 a

Bước 2: Tính các vectơ

Tính $4 b$ , $3 a$ rồi lấy hiệu.

4 b = (- 8; 12; 4), 3 a = (0; 3; 9), 4 b - 3 a = (- 8; 9; - 5)

Bước 3: Tìm tọa độ $x$

Chia các tọa độ của $(- 8; 9; - 5)$ cho $2$ .

x = \frac{( - 8 ; 9 ; - 5 )}{2} = (- 4; \frac{9}{2}; - \frac{5}{2})

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A. B, C, D sai vì lần lượt sai dấu tọa độ thứ nhất; sai dấu tọa độ thứ nhất và thứ ba; sai dấu nhiều tọa độ.

Đáp án: A — vì

x = (- 4; \frac{9}{2}; - \frac{5}{2})

.

Câu 7

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x) = x (x - 2)$ , $\forall x \in R$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A

$f (0) > f (1)$

B

$f (0) < f (2)$

C

$f (1) < f (2)$

D

$f (2) > f (3)$

Lời giải

Bước 1: Phân tích đạo hàm

Phân tích đạo hàm thành tích hai nhân tử bậc nhất.

f^{'} (x) = x (x - 2)

Bước 2: Xét dấu và biến thiên

Các nghiệm của $f^{'} (x)$ là $0$ và $2$ ; xét dấu trên ba khoảng.

x f^{'} (x) (- \infty, 0) + (0, 2) - (2, + \infty) +

Bước 3: Đối chiếu phương án

Theo các quan hệ trên, $A$ đúng; $B, C, D$ lần lượt sai vì tương ứng với $f (0) > f (2)$ , $f (1) > f (2)$ và $f (2) < f (3)$ .

f (0) > f (1), f (1) > f (2), f (2) < f (3)

Đáp án:

A

—

f

nghịch biến trên

(0, 2)

và đồng biến trên

(2, + \infty)

, nên

f (0) > f (1)

.

Câu 8

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của c để tồn tại các số thực a>1, b>1 thỏa mãn $lo g_{9} a = lo g_{12} b = lo g_{16} \frac{5 b - a}{c}$ ?

A

5

B

2

C

3

D

4

Lời giải

Bước 1: Đặt giá trị logarithm chung

Đặt giá trị chung là $t$ . Vì $a > 1$ , $b > 1$ nên $t > 0$ .

a = 9^{t}, b = 1 2^{t}, \frac{5 b - a}{c} = 1 6^{t}, t > 0

Bước 2: Biểu diễn $c$ theo $t$

Thay $a = 9^{t}$ , $b = 1 2^{t}$ vào hệ thức thứ ba.

Đặt $u = (\frac{3}{4})^{t}$ thì $(\frac{9}{16})^{t} = u^{2}$ .

c = \frac{5 \cdot 1 2 ^{t} - 9 ^{t}}{1 6 ^{t}} = 5 (\frac{3}{4})^{t} - (\frac{9}{16})^{t} = 5 u - u^{2}

Bước 3: Xét khoảng giá trị của $c$

Do $t > 0$ nên $0 < u < 1$ . Hàm $f (u) = 5 u - u^{2}$ tăng trên $(0, 1)$ và nhận mọi giá trị trong $(0, 4)$ .

f^{'} (u) = 5 - 2 u > 0, f ((0, 1)) = (0, 4), c \in {1, 2, 3}

Bước 4: Đối chiếu phương án

Có $3$ giá trị nguyên dương của $c$ , nên chọn $C$ ; $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt cho $5$ , $2$ , $4$ giá trị.

Đáp án:

C

— Có đúng

3

giá trị nguyên dương của

c

, là

1

,

2

,

3

.

Câu 9

Trong một cuộc bầu cử vào chức thị trường , ứng cử viên X nhận nhiều hơn 1/3 số phiếu bầu so với ứng cử viên Y , và ứng cử viên Y lại nhận được ít hơn 1/4 số phiếu bầu so với ứng cử viên Z. Biết ứng cử viên Z nhận được 24.000 phiếu bầu , hỏi ứng cử viên X nhận được bao nhiêu phiếu bầu ?

A

18000

B

22000

C

24000

D

26000

Lời giải

Bước 1: Lập quan hệ số phiếu

Gọi số phiếu của $X, Y, Z$ lần lượt là $x, y, z$ .

y = (1 - \frac{1}{4}) z = \frac{3}{4} z, x = (1 + \frac{1}{3}) y = \frac{4}{3} y

Bước 2: Tính số phiếu của X

Thay $z = 24.000$ vào các quan hệ đã lập.

y = \frac{3}{4} \cdot 24.000 = 18.000, x = \frac{4}{3} \cdot 18.000 = 24.000

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ . $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt là $Y$ , không thỏa $x = \frac{4}{3} y$ , và cũng không thỏa $x = \frac{4}{3} y$ .

x = 24.000

Đáp án: C — vì

X

nhận được

24.000

phiếu.

Câu 10

Một cây bèo trôi theo dòng nước và một người bơi ngược dòng nước cùng xuất phát vào một thời điểm tại một mốc cầu. Người bơi ngược dòng nước được $20$ phút thì quay lại bơi xuôi dòng và gặp cây bờ sau $4$ km. Bằng lập luận hãy tính vận tốc dòng nước biết rằng vận tốc bơi của người không thay đổi.

A

$4$ km/h

B

$6$ km/h

C

$5$ km/h

D

$7$ km/h

Lời giải

Bước 1: Tính khoảng cách khi quay đầu

Gọi vận tốc dòng nước là $u$ , vận tốc bơi đối với nước là $v$ . Trong $\frac{1}{3} giờ$ đầu, khoảng cách giữa người và bèo tăng với vận tốc tương đối $v$ .

Δ s = v \cdot \frac{1}{3} = \frac{v}{3}

Bước 2: Tính thời gian bơi xuôi

Khi quay lại, người và bèo tiến lại gần nhau với vận tốc tương đối vẫn là $v$ .

t_{2} = \frac{Δ s}{v} = \frac{1}{3} h

Bước 3: Tính vận tốc dòng nước

Bèo trôi trong tổng thời gian $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} h$ và đi được $4 km$ .

4 = u \cdot \frac{2}{3} \Rightarrow u = 6 km/h

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án B. A, C, D sai vì với thời gian $\frac{2}{3} h$ , chúng lần lượt cho quãng đường $\frac{8}{3} km$ , $\frac{10}{3} km$ và $\frac{14}{3} km$ , không bằng $4 km$ .

Đáp án: B — Vận tốc dòng nước là

6 km/h

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG TP.HCM năm 2025 - Mã đề 24 — Toán học

Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Xác định các điểm đổi dấu

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Điều kiện của logarit

Bước 2: Điều kiện của mẫu số

Bước 3: Giao các điều kiện

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Tính số giỏi ít nhất một môn

Bước 2: Tính số giỏi cả hai môn

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Phân tích số 360

Bước 2: Tính log2​360

Bước 3: Đổi cơ số

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Lập điều kiện đồng biến

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Biến đổi phương trình

Bước 2: Tính các vectơ

Bước 3: Tìm tọa độ x

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Phân tích đạo hàm

Bước 2: Xét dấu và biến thiên

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Đặt giá trị logarithm chung

Bước 2: Biểu diễn c theo t

Bước 3: Xét khoảng giá trị của c

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Lập quan hệ số phiếu

Bước 2: Tính số phiếu của X

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tính khoảng cách khi quay đầu

Bước 2: Tính thời gian bơi xuôi

Bước 3: Tính vận tốc dòng nước

Bước 4: Đối chiếu phương án

Bước 1: Phân tích số $360$

Bước 2: Tính $lo g_{2} 360$

Bước 3: Tìm tọa độ $x$

Bước 2: Biểu diễn $c$ theo $t$

Bước 3: Xét khoảng giá trị của $c$