Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG TP.HCM năm 2025 - Mã đề 20 — Toán học môn Toán học (Đánh giá Năng lực V-ACT)

Câu 1

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x) = x (x - 2)$ , $\forall x \in R$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A

$f (0) > f (1)$

B

$f (0) < f (2)$

C

$f (1) < f (2)$

D

$f (2) > f (3)$

Lời giải

Bước 1: Xét dấu đạo hàm

Ta có $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$ .

Suy ra hàm số đồng biến trên $(- \infty; 0)$ và $(2; + \infty)$ , nghịch biến trên $(0; 2)$ .

f^{'} (x) = x (x - 2) {> 0, < 0, x < 0 hoặc x > 2 0 < x < 2

Bước 2: So sánh các giá trị

Vì hàm số nghịch biến trên $[0; 2]$ nên $0 < 1 < 2 \Rightarrow f (0) > f (1) > f (2)$ .

Vì hàm số đồng biến trên $(2; + \infty)$ nên $2 < 3 \Rightarrow f (2) < f (3)$ .

f (0) > f (1) > f (2) < f (3)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $A$ : $f (0) > f (1)$ đúng; $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt trái với $f (0) > f (2)$ , $f (1) > f (2)$ và $f (2) < f (3)$ .

Đáp án: A — Vì hàm số nghịch biến trên

[0; 2]

nên

f (0) > f (1)

.

Câu 2

Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{x - 3}{5 x - 16}$ ?

A

$y = \frac{16}{5}$

B

$x = \frac{1}{5}$

C

$y = \frac{1}{5}$

D

$x = \frac{16}{5}$

Lời giải

Bước 1: Xác định bậc đa thức

Tử số và mẫu số đều là đa thức bậc $1$ .

de g (x - 3) = de g (5 x - 16) = 1

Bước 2: Tính tiệm cận ngang

Khi bậc tử số và mẫu số bằng nhau, tiệm cận ngang là tỉ số hệ số dẫn.

Hệ số dẫn của tử số là $1$ , của mẫu số là $5$ .

y = \frac{1}{5}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án C đúng vì cho đường thẳng $y = \frac{1}{5}$ ; A, B, D sai vì lần lượt cho sai giá trị hoặc là các đường thẳng dạng $x = c$ .

Đáp án: C — vì tiệm cận ngang là

y = \frac{1}{5}

.

Câu 3

Anh Hùng muốn gửi tiết kiệm để sau $3$ năm có $800$ triệu đồng mua xe. Biết lãi suất hàng tháng là $0, 6%$ , tiền lãi sinh ra hàng tháng được nhập vào tiền vốn, số tiền gửi hàng tháng là như nhau. Anh Hùng phải gửi ngân hàng mỗi tháng số tiền gần nhất với số tiền nào sau đây.

A

$19.785.000$ đồng

B

$19.895.000$ đồng

C

$19.975.000$ đồng

D

$19.665.000$ đồng

Lời giải

Bước 1: Đổi dữ kiện

Đặt $A$ là số tiền gửi mỗi tháng.

n = 36, i = 0, 006, F V = 800000000

Bước 2: Lập công thức

Áp dụng công thức giá trị tương lai của niên kim cuối kỳ.

800000000 = A \cdot \frac{( 1 + 0 , 006 ) ^{36} - 1}{0 , 006} \Rightarrow A = 800000000 \cdot \frac{0 , 006}{( 1 , 006 ) ^{36} - 1}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tính được $(1, 006)^{36} \approx 1, 2402$ , nên $A \approx 19.974.900$ đồng.

Chọn C: $19.975.000$ đồng; A, B, D sai vì đều xa giá trị tính được hơn C.

A \approx 800000000 \cdot \frac{0 , 006}{1 , 2402 - 1} \approx 19974900

Đáp án: C —

19.975.000

đồng là phương án gần nhất với số tiền cần gửi mỗi tháng.

Câu 4

Cho $lo g_{b} a = x, lo g_{b} c = y .$ Hãy biểu diễn $lo g_{a^{2}} (3 b^{5} c^{4})$ theo $x$ và $y$ .

A

$\frac{5 + 4 y}{6 x}$

B

$\frac{20 y}{3 x}$

C

$\frac{5 + 3 y ^{4}}{3 x ^{2}}$

D

$2 x + \frac{20 y}{3}$

Lời giải

Bước 1: Đổi căn về lũy thừa

Viết căn bậc ba dưới dạng lũy thừa để thuận tiện tính lôgarit.

3 b^{5} c^{4} = b^{\frac{5}{3}} c^{\frac{4}{3}}

Bước 2: Đổi cơ số và tính

Đổi cơ số về $b$ , rồi thay $lo g_{b} a = x$ và $lo g_{b} c = y$ .

lo g_{a^{2}} (b^{\frac{5}{3}} c^{\frac{4}{3}}) = \frac{\frac{5}{3} + \frac{4}{3} lo g _{b} c}{2 lo g _{b} a} = \frac{\frac{5}{3} + \frac{4}{3} y}{2 x} = \frac{5 + 4 y}{6 x}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $A$ : $\frac{5 + 4 y}{6 x}$ . $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt bỏ qua hạng tử $5$ , biến đổi sai lũy thừa và dùng sai quy tắc đổi cơ số.

Đáp án:

A

— Đổi cơ số về

b

cho kết quả

\frac{5 + 4 y}{6 x}

.

Câu 5

Tính tích các giá trị nguyên của $a$ thỏa mãn $lim_{n \to + \infty} (n^{2} - 8 n - n + a^{2}) = 0$ .

A

$- 4$

B

$- 2$

C

$4$

D

$2$

Lời giải

Bước 1: Khử căn bằng liên hợp

Nhân liên hợp và chia tử, mẫu cho $n$ :

n^{2} - 8 n - n = \frac{- 8 n}{n ^{2} - 8 n + n} = \frac{- 8}{1 - \frac{8}{n} + 1}

Bước 2: Tính giới hạn và tìm $a$

Vì $1 - \frac{8}{n} \to 1$ , điều kiện giới hạn bằng $0$ là:

n \to + \infty lim (n^{2} - 8 n - n + a^{2}) = - 4 + a^{2} = 0 \Rightarrow a^{2} = 4 \Rightarrow a = \pm 2

Bước n: Đối chiếu phương án

Tích các giá trị nguyên của $a$ là $(- 2) \cdot 2 = - 4$ , chọn $A$ ; $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt không phải tích cần tìm.

P = (- 2) \cdot 2 = - 4

Đáp án:

A

— Vì

a = \pm 2

nên tích bằng

- 4

.

Câu 6

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như Hình. Đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận ngang là

A

$x = 2$

B

$x = - 2$

C

$y = 2$

D

$y = - 2$

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng tiệm cận ngang

Quan sát hai phía của đồ thị khi $x \to \pm \infty$ .

x \to \pm \infty

Bước 2: Đọc đường tiến gần

Đồ thị tiến gần đường thẳng $y = 2$ ở cả hai phía.

y = 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $C$ : $y = 2$ là tiệm cận ngang; $A$ và $B$ là các đường thẳng đứng, còn $D$ có tung độ sai.

Đáp án:

C

— Đường tiệm cận ngang của đồ thị là

y = 2

.

Câu 7

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{m x ^{4} + 1}$ có hai đường tiệm cận ngang.

A

$m < 0$

B

$m > 0$

C

$m = 0$

D

$m \neq = 0$

Lời giải

Bước 1: Xét điều kiện tham số

Để đồ thị có hai nhánh tiệm cận ngang, biểu thức dưới căn phải tạo được hai miền xét giới hạn tương ứng.

Điều kiện phù hợp là $m < 0$ .

m x^{4} + 1 \geq 0

Bước 2: Kết luận tham số

Vì vậy, tập giá trị cần tìm của tham số là $m < 0$ .

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A: $m < 0$ ; các phương án B, C, D sai vì lần lượt trái điều kiện, chỉ xét trường hợp đặc biệt, hoặc bao gồm cả giá trị không phù hợp.

Đáp án: A —

m < 0

là điều kiện để đồ thị có hai đường tiệm cận ngang.

Câu 8

Mùa hè năm $2023$ , để chuẩn bị cho bộ “học kì quân đội” dành cho các bạn học sinh, mỗi món ăn buổi trưa được chuẩn bị theo chu trình 45 ngày (nghĩa là sau mỗi ngày là như nhau). Nhưng bắt đầu từ ngày thứ $11$ , do sự điều chỉnh về khẩu phần, lượng tiêu thụ thực phẩm tăng lên $10%$ mỗi ngày (ngày sau tăng $10%$ so với ngày trước đó). Hỏi tiêu thụ lượng thức ăn là bao nhiêu trong bao nhiêu ngày?

A

$24$ .

B

$25$ .

C

$23$ .

D

$26$ .

Lời giải

Bước $1$ : Lập số hạng

Gọi lượng thức ăn ngày thứ $11$ là $A$ . Với $n \geq 11$ , lượng tiêu thụ tạo thành cấp số nhân.

A_{n} = A \cdot 1, 1^{n - 11}

Bước $2$ : Tìm số ngày tăng

Mốc cần đạt là $4 A$ , nên giải phương trình theo số lần tăng.

A \cdot 1, 1^{n - 11} = 4 A \Rightarrow 1, 1^{n - 11} = 4 \Rightarrow n - 11 = \frac{ln 4}{ln 1 , 1} \approx 14, 54

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Số lần tăng phải là số nguyên và đạt mốc lần đầu, nên chọn $15$ lần tăng.

Chọn $D$ vì $n - 11 = 15 \Rightarrow n = 26$ ; $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt cho $24$ , $25$ , $23$ ngày, chưa đạt mốc $4 A$ .

n - 11 = 15 \Rightarrow n = 26

Đáp án:

D

— lượng thức ăn đạt mốc sau

26

ngày.

Câu 9

Trong một kì thi, hai trường $A, B$ có tổng cộng 350 học sinh dự thi. Kết quả hai trường đó có 338 học sinh trúng tuyển. Tính ra thì trường $A$ có 97% và trường $B$ có 96% số học sinh trúng tuyển. Hỏi trường $B$ có bao nhiêu học sinh dự thi.

A

$200$ học sinh

B

$150$ học sinh

C

$250$ học sinh

D

$225$ học sinh

Lời giải

Bước 1: Đặt ẩn số

Gọi số học sinh trường $A$ dự thi là $x$ ; trường $B$ là $350 - x$ .

B = 350 - x

Bước 2: Lập và giải phương trình

Dựa vào tổng số học sinh trúng tuyển, ta có phương trình:

0, 97 x + 0, 96 (350 - x) = 338 \Rightarrow 0, 01 x = 2 \Rightarrow x = 200

Bước 3: Đối chiếu phương án

Số học sinh trường $B$ dự thi là $350 - 200 = 150$ . Chọn phương án $B$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì không thỏa mãn dữ kiện và phương trình trên.

350 - 200 = 150

Đáp án: Phương án

B

— trường

B

có

150

học sinh dự thi.

Câu 10

An, Bình, Cúc vào một cửa hàng mua tập và bút cùng loại. An mua 20 quyển tập, 4 cây bút và 1 hộp đựng bút hết 176000 đồng. Cúc mua 2 cây bút và 1 hộp đựng bút nhưng chỉ trả 36000 đồng do Cúc là khách hàng thân thiết nên được giảm 10% trên tổng số tiền mua. Hỏi nếu Bình mua 2 cây bút và 20 quyển tập thì hết bao nhiêu tiền ?

A

136000 đồng

B

216000 đồng

C

96000 đồng

D

116000 đồng

Lời giải

Bước 1: Đặt ẩn và lập phương trình

Gọi giá một quyển tập, một cây bút và một hộp lần lượt là $t, b, h$ đồng.

20 t + 4 b + h = 176000, 0, 9 (2 b + h) = 36000

Bước 2: Tính tiền Bình

Giá gốc phần hàng của Cúc là $40000$ đồng. Lấy hóa đơn của An trừ phần hàng đó.

2 b + h = \frac{36000}{0 , 9} = 40000, 20 t + 2 b = 176000 - 40000 = 136000

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A: Bình phải trả $136000$ đồng; B, C, D sai vì không khớp kết quả tính được.

Đáp án: A — Bình trả

136000

đồng theo phép trừ hai hóa đơn.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG TP.HCM năm 2025 - Mã đề 20 — Toán học

Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Xét dấu đạo hàm

Bước 2: So sánh các giá trị

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Xác định bậc đa thức

Bước 2: Tính tiệm cận ngang

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Đổi dữ kiện

Bước 2: Lập công thức

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Đổi căn về lũy thừa

Bước 2: Đổi cơ số và tính

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Khử căn bằng liên hợp

Bước 2: Tính giới hạn và tìm a

Bước n: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng tiệm cận ngang

Bước 2: Đọc đường tiến gần

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Xét điều kiện tham số

Bước 2: Kết luận tham số

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Lập số hạng

Bước 2: Tìm số ngày tăng

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Đặt ẩn số

Bước 2: Lập và giải phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Đặt ẩn và lập phương trình

Bước 2: Tính tiền Bình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước 2: Tính giới hạn và tìm $a$

Bước $1$ : Lập số hạng

Bước $2$ : Tìm số ngày tăng

Bước $3$ : Đối chiếu phương án