Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG TP.HCM năm 2025 - Mã đề 17 — Toán học môn Toán học (Đánh giá Năng lực V-ACT)

Câu 1

Một công ty bảo hiểm tại TP.HCM thống kê có 59% số người mua bảo hiểm sức khỏe là phụ nữ và có 40% số người mua bảo hiểm sức khỏe là phụ nữ trên 48 tuổi. Xác suất người mua bảo hiểm sức khỏe là phụ nữ và người đó trên 48 tuổi bằng

A

$0, 236$

B

$0, 632$

C

$0, 362$

D

$0, 263$

Lời giải

Bước 1: Xác định biến cố

Gọi $W$ là biến cố người mua bảo hiểm là phụ nữ và $A$ là biến cố người đó trên $48$ tuổi.

Cần tính xác suất đồng thời xảy ra $W$ và $A$ .

Bước 2: Áp dụng công thức

Áp dụng định nghĩa xác suất giao nhau.

P (W \cap A) = P (W) \cdot P (A ∣ W) = 0, 59 \times 0, 40 = 0, 236

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A: $0, 236$ .

B, C, D sai vì các giá trị lần lượt không trùng với kết quả $0, 236$ .

Đáp án: A — vì

P (W \cap A) = P (W) \cdot P (A ∣ W) = 0, 236

.

Câu 2

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , đường thẳng nào đi qua hai điểm $A (3; 1; - 6)$ và $B (5; 3; - 2)$ có phương trình là

A

$⎩ ⎨ ⎧ x = 6 + t y = 4 + t z = 2 t$ .

B

$⎩ ⎨ ⎧ x = 5 + 2 t y = 3 + 2 t z = - 2 - 4 t$ .

C

$⎩ ⎨ ⎧ x = 3 + t y = 1 + t z = - 6 - 2 t$ .

D

$⎩ ⎨ ⎧ x = 2 + t y = 5 + 2 t z = 6 - 2 t$ .

Lời giải

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương

Tính vectơ nối hai điểm $A$ , $B$ .

A B = (5 - 3; 3 - 1; - 2 - (- 6)) = (2; 2; 4) = 2 (1; 1; 2)

Bước 2: Lập phương trình

Dùng điểm $A$ và vectơ chỉ phương $(1; 1; 2)$ .

⎩ ⎨ ⎧ x = 3 + t y = 1 + t z = - 6 + 2 t

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án $A$ dùng vectơ $(1; 1; 2)$ và điểm $(6; 4; 0)$ ; với $t = - 3$ được $A$ , với $t = - 1$ được $B$ .

$B$ , $C$ , $D$ lần lượt không chứa đồng thời hai điểm $A$ , $B$ hoặc có vectơ chỉ phương không cùng phương với $A B$ .

A: (6 + t; 4 + t; 2 t) t = - 3 (3; 1; - 6), t = - 1 (5; 3; - 2)

Đáp án: A — đường thẳng đi qua cả

A

,

B

và có vectơ chỉ phương cùng phương với

A B

.

Câu 3

$lim n (n^{2} + 1 - n^{2} - 3)$ bằng số nào sau đây?

A

$1$

B

$\frac{3}{5}$

C

$2$

D

$- \frac{2}{3}$

Lời giải

Bước 1: Nhân liên hợp

Nhân cả tử và mẫu với tổng hai căn để khử hiệu căn.

n (n^{2} + 1 - n^{2} - 3) = \frac{4 n}{n ^{2} + 1 + n ^{2} - 3}

Bước 2: Đưa về giới hạn cơ bản

Vì $n \to + \infty$ nên chia mẫu cho $n$ .

n \to + \infty lim \frac{4 n}{n ^{2} + 1 + n ^{2} - 3} = n \to + \infty lim \frac{4}{1 + \frac{1}{n ^{2}} + 1 - \frac{3}{n ^{2}}} = \frac{4}{1 + 1} = 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án $C$ đúng; $A$ , $B$ , $D$ sai vì không bằng kết quả giới hạn $2$ .

Đáp án:

C

— giới hạn bằng

2

sau khi nhân liên hợp và chia mẫu cho

n

.

Câu 4

Cho hàm số $f (x) = 2 x^{2} - 2 x + 1$ . Đạo hàm của hàm số tại $x = 1$ là:

A

$f^{'} (1) = 1$ .

B

$f^{'} (1) = 2$ .

C

$f^{'} (1) = - 1$ .

D

$f^{'} (1) = \frac{1}{2}$ .

Lời giải

Bước 1: Xác định hàm trong căn

Đặt $u (x) = 2 x^{2} - 2 x + 1$ .

u^{'} (x) = 4 x - 2

Bước 2: Tính đạo hàm tại điểm xét

Áp dụng công thức đạo hàm căn thức rồi thay $x = 1$ .

f^{'} (1) = \frac{4 \cdot 1 - 2}{2 2 \cdot 1 ^{2} - 2 \cdot 1 + 1} = 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $A$ . $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt nhân đôi kết quả, đổi sai dấu và chia thêm $2$ .

Đáp án: A — Vì

f^{'} (1) = 1

.

Câu 5

Trong không gian $O x y z$ , cho đường thẳng $⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + 2 t y = - 2 + t z = 3 - t$ . Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ có tọa độ là?

A

$(1; - 2; 3)$

B

$(2; 0; 0)$

C

$(2; 1; - 1)$

D

$(2; 1; 1)$

Lời giải

Bước 1: Lấy hệ số của tham số

Các hệ số của $t$ lần lượt trong $x$ , $y$ , $z$ là $2$ , $1$ , $- 1$ .

u = (2; 1; - 1)

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn $C$ . $A$ là tọa độ một điểm, $B$ thiếu hệ số của $y, z$ , còn $D$ sai dấu ở hệ số của $z$ .

Đáp án:

C

— Một vectơ chỉ phương là

u = (2; 1; - 1)

, gồm các hệ số của

t

.

Câu 6

Trước kỳ thi học kỳ 2 của lớp 11 tại trường FIVE, giáo viên Toán lớp FIVA giao cho học sinh đề cương ôn tập gồm 2n bài toán, n là số nguyên dương lớn hơn 1. Đề thi học kỳ của lớp FIVA sẽ gồm 3 bài toán được chọn ngẫu nhiên trong số 2n bài toán đó. Một học sinh muốn không phải thi lại, sẽ phải làm được ít nhất 2 trong số 3 bài toán đó. Học sinh TWO chỉ giải chính xác được đúng 1 nửa số bài trong đề cương trước khi đi thi, nửa còn lại học sinh đó không thể giải được. Tính xác suất để TWO phải thi lại là?

A

$\frac{2}{3}$

B

$\frac{1}{2}$

C

$\frac{3}{4}$

D

$\frac{1}{4}$

Lời giải

Bước $1$ : Đếm số cách chọn

Tổng số cách chọn $3$ bài từ $2 n$ bài là $C_{2 n}^{3}$ .

C_{2 n}^{3}

Bước $2$ : Đếm trường hợp thi lại

Thi lại khi chọn đúng $0$ hoặc $1$ bài mà học sinh giải được.

\frac{C _{n}^{0} C _{n}^{3} + C _{n}^{1} C _{n}^{2}}{C _{2 n}^{3}} = \frac{1}{2}

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Chọn B; A, C, D sai vì lần lượt cho kết quả $\frac{2}{3}$ , $\frac{3}{4}$ và $\frac{1}{4}$ , không đúng với xác suất đã tính.

\frac{C _{n}^{0} C _{n}^{3} + C _{n}^{1} C _{n}^{2}}{C _{2 n}^{3}} = \frac{1}{2}

Đáp án: B — Xác suất phải thi lại là

\frac{1}{2}

vì chỉ cần làm đúng

0

hoặc

1

trong

3

bài.

Câu 7

Cho tập hợp $A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}$ . Hỏi từ tập $A$ có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho một trong 3 chữ số đầu tiên phải bằng 1.

A

$2802$

B

$65$

C

$2520$

D

$2280$

Lời giải

Bước $1$ : Chia trường hợp theo vị trí của $1$

Xét $1$ ở vị trí thứ $1$ , thứ $2$ hoặc thứ $3$ .

Các số tương ứng lần lượt có số lượng là $A_{7}^{4}$ , $6 A_{6}^{3}$ và $6 \cdot 6 \cdot A_{5}^{2}$ .

N_{1} = A_{7}^{4} = 840, N_{2} = 6 A_{6}^{3} = 720, N_{3} = 6 \cdot 6 \cdot A_{5}^{2} = 720

Bước $2$ : Cộng các trường hợp

Ba trường hợp đôi một không giao nhau nên áp dụng quy tắc cộng.

N = N_{1} + N_{2} + N_{3} = 840 + 720 + 720 = 2280

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Chọn phương án $D$ . Các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt cho $2802$ , $65$ , $2520$ , đều không bằng kết quả đúng $2280$ .

Đáp án: D — Có

2280

số được lập theo đúng điều kiện.

Câu 8

Cho hàm số $f (x) = ln (1 - \frac{1}{x ^{2}})$ . Biết rằng $f (2) + f (3) + \dots + f (2018) = ln a - ln b + ln c - ln d$ với $a, b, c, d$ là các số nguyên dương, trong đó $a, c, d$ là các số nguyên tố và $a < b < c < d$ . Tính $P = a + b + c + d$ .

A

$1986$

B

$1698$

C

$1689$

D

$1968$

Lời giải

Bước 1: Phân tích logarit

Với $k \geq 2$ , tách biểu thức thành các logarit đơn để tạo tổng liên tiếp.

f (k) = ln (k - 1) + ln (k + 1) - 2 ln k

Bước 2: Rút gọn tổng

Các thừa số liên tiếp triệt tiêu, chỉ còn các thừa số ở biên.

k = 2 \sum 2018 f (k) = ln \frac{2017 ! \cdot \frac{2019 !}{2}}{( 2018 ! ) ^{2}} = ln \frac{2019}{4036}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phân tích $2019 = 3 \cdot 673$ và $4036 = 2^{2} \cdot 1009$ , nên $a = 3$ , $b = 4$ , $c = 673$ , $d = 1009$ ; do đó $P = 1689$ .

Chọn C. A, B, D sai vì không bằng tổng $3 + 4 + 673 + 1009$ .

ln \frac{2019}{4036} = ln 3 - ln 4 + ln 673 - ln 1009, P = 3 + 4 + 673 + 1009 = 1689

Đáp án: C — Vì

P = 3 + 4 + 673 + 1009 = 1689

.

Câu 9

Cho hàm số $f (x) = {\frac{x ^{2} - 4}{x - 2}, x \neq = 2 m + 1, x = 2$ với $m$ là tham số thực. Giá trị của $m$ để hàm số liên tục tại $x_{0} = 2$ là:

A

$m = 3$

B

$m = 2$

C

$m = 4$

D

$m = 1$

Lời giải

Bước 1: Tính giới hạn

Phân tích tử số và rút gọn với $x \neq = 2$ .

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = x \to 2 lim (x + 2) = 4

Bước 2: Dùng điều kiện liên tục

Điều kiện liên tục tại $x = 2$ là giới hạn bằng giá trị hàm tại điểm.

m + 1 = 4 \Rightarrow m = 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A: $m = 3$ . B, C, D sai vì lần lượt cho $m = 2$ , $m = 4$ , $m = 1$ , đều không thỏa điều kiện liên tục.

Đáp án: A — vì điều kiện liên tục cho

m + 1 = 4

, nên

m = 3

.

Câu 10

Cho hai vòi nước cùng lúc chảy vào một bể cạn. Nếu chảy riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 4 giờ.

Khi nước đầy bể, người ta khóa vòi thứ hai lại, đồng thời mở vòi thứ ba cho nước chảy ra thì sau 6 giờ bể cạn nước.

Khi nước trong bể đã cạn, mở cả ba vòi thì sau 24 giờ bể lại đầy nước.

Hỏi nếu chỉ dùng vòi thứ nhất thì sau bao lâu đầy bể nước?

A

$9$ giờ

B

$7$ giờ

C

$10$ giờ

D

Vòi $1$ làm đầy bể sau $0, 8$ giờ.

Lời giải

Bước 1: Thiết lập phương trình năng suất

Gọi $x$ là thời gian vòi $1$ chảy đầy bể ( $x > 0$ ).

Tổng năng suất ba vòi là $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 4} - \frac{1}{6} = \frac{1}{24}$ .

\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 4} = \frac{1}{24} + \frac{1}{6} = \frac{5}{24}

Bước 2: Giải phương trình

Biến đổi thành phương trình bậc hai: $5 x^{2} - 28 x - 96 = 0$ .

Giải phương trình tìm được nghiệm $x = 8$ (loại nghiệm âm).

5 x^{2} - 28 x - 96 = 0 \Rightarrow x = 8

Bước 3: Đối chiếu phương án

Kết quả $x = 8$ giờ không có trong các phương án A, B, C, D.

Các phương án A, B, C, D sai vì tính toán không khớp với nghiệm của phương trình năng suất.

Đáp án:

8

giờ — phương trình năng suất

\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 4} = \frac{5}{24}

cho nghiệm

x = 8

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG TP.HCM năm 2025 - Mã đề 17 — Toán học

Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Xác định biến cố

Bước 2: Áp dụng công thức

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương

Bước 2: Lập phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Nhân liên hợp

Bước 2: Đưa về giới hạn cơ bản

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Xác định hàm trong căn

Bước 2: Tính đạo hàm tại điểm xét

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Lấy hệ số của tham số

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Đếm số cách chọn

Bước 2: Đếm trường hợp thi lại

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Chia trường hợp theo vị trí của 1

Bước 2: Cộng các trường hợp

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Phân tích logarit

Bước 2: Rút gọn tổng

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tính giới hạn

Bước 2: Dùng điều kiện liên tục

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Thiết lập phương trình năng suất

Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Đếm số cách chọn

Bước $2$ : Đếm trường hợp thi lại

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Chia trường hợp theo vị trí của $1$

Bước $2$ : Cộng các trường hợp

Bước $3$ : Đối chiếu phương án