Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG TP.HCM năm 2025 - Mã đề 15 — Toán học môn Toán học (Đánh giá Năng lực V-ACT)

Câu 1

Từ một hộp chứa 12 quả cầu, trong đó có 8 quả màu đỏ, 3 quả màu xanh và 1 quả màu vàng, lấy ngẫu nhiên 3 quả. Xác suất để lấy được 3 quả cầu có đúng hai màu bằng

A

$\frac{23}{44}$

B

$\frac{21}{44}$

C

$\frac{81}{220}$

D

$\frac{139}{220}$

Lời giải

Bước $1$ : Tính số phần tử không gian mẫu

Mỗi cách chọn $3$ quả từ $12$ quả là một kết quả.

C_{12}^{3} = 220

Bước $2$ : Tính số trường hợp thuận lợi

Xét các trường hợp gồm $2$ quả đỏ và $1$ quả màu khác; hoặc $2$ quả xanh và $1$ quả màu khác.

C_{8}^{2} C_{3}^{1} + C_{8}^{2} C_{1}^{1} + C_{3}^{2} C_{8}^{1} + C_{3}^{2} C_{1}^{1} = 84 + 28 + 24 + 3 = 139

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Xác suất cần tìm là $\frac{139}{220}$ .

Chọn $D$ ; $A$ , $B$ , $C$ sai vì các giá trị lần lượt tương ứng với $115$ , $105$ , $81$ trường hợp thuận lợi, không phải $139$ .

P = \frac{139}{220}

Đáp án: D — Vì số cách thuận lợi là

139

trên tổng số

220

cách chọn.

Câu 2

Cho hàm số $y = \frac{- 2 x - 3}{x + 1}$ , chọn phát biểu đúng

A

Hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng xác định.

B

Hàm số luôn đồng biến trên $R$ .

C

Hàm số có tập xác định $R ∖ {1}$ .

D

Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng xác định.

Lời giải

Bước 1: Tìm tập xác định

Điều kiện xác định là mẫu số khác $0$ .

x + 1 \neq = 0 ⟹ x \neq = - 1, D = R ∖ {- 1}

Bước 2: Xét tính đơn điệu

Biến đổi hàm số rồi tính đạo hàm trên từng khoảng xác định.

y = - 2 - \frac{1}{x + 1}, y^{'} = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} > 0 (x \neq = - 1)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Hàm số đồng biến trên $(- \infty; - 1)$ và $(- 1; + \infty)$ nên chọn $D$ ; $A$ sai vì ngược tính đơn điệu, $B$ sai vì không xác định tại $x = - 1$ , $C$ sai vì loại $- 1$ chứ không phải $1$ .

Đáp án: D — Vì

y^{'} = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} > 0

trên từng khoảng xác định.

Câu 3

Gọi $φ$ là góc giữa hai vectơ $a = (1; 2; 0)$ và $b = (2; 0; - 1)$ , khi đó $cos φ$ bằng

A

$0$

B

$- \frac{2}{5}$

C

$\frac{2}{5}$

D

$\frac{2}{5}$

Lời giải

Bước 1: Tính tích vô hướng

Nhân các tọa độ tương ứng rồi cộng lại.

1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 0 \cdot (- 1) = 2

Bước 2: Tính độ dài vectơ

Tính độ dài bằng căn bậc hai tổng bình phương các tọa độ.

∥ a ∥ = 1^{2} + 2^{2} + 0^{2} = 5, ∥ b ∥ = 2^{2} + 0^{2} + (- 1)^{2} = 5

Bước 3: Tính cosin góc

Thay tích vô hướng và độ dài vào công thức.

cos φ = \frac{2}{5 \cdot 5} = \frac{2}{5}

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn D: $\frac{2}{5}$ . A, B, C sai vì lần lượt cho tích vô hướng bằng $0$ , đổi dấu thành $- \frac{2}{5}$ , hoặc nhầm mẫu số thành $5$ .

Đáp án: D — Vì

cos φ = \frac{2}{5}

.

Câu 4

Trong hệ tọa độ $O x y z$ , cho điểm $I (2; - 1; - 1)$ và mặt phẳng $(P) : x - 2 y - 2 z + 3 = 0$ . Viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ :

A

$(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y + 2 z - 3 = 0$

B

$(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + y + z - 3 = 0$

C

$(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y + 2 z + 1 = 0$

D

$(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + y + z + 1 = 0$

Lời giải

Bước 1: Tính bán kính

Bán kính bằng khoảng cách từ $I$ đến $(P)$ .

\frac{∣2 - 2 ( - 1 ) - 2 ( - 1 ) + 3∣}{1 ^{2} + ( - 2 ) ^{2} + ( - 2 ) ^{2}} = \frac{9}{3} = 3

Bước 2: Lập phương trình mặt cầu

Mặt cầu có tâm $I (2; - 1; - 1)$ và bán kính $R = 3$ .

(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 9

Bước 3: Đối chiếu phương án

Khai triển phương trình vừa lập:

Phương án $A$ đúng. Các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt sai tâm, sai hằng số, và sai cả tâm lẫn hằng số.

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y + 2 z - 3 = 0

Đáp án:

A

— vì phương trình khai triển đúng là

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y + 2 z - 3 = 0

.

Câu 5

Đặt $a = lo g_{3} 4, b = lo g_{5} 4$ . Hãy biểu diễn $lo g_{12} 80$ theo $a$ và $b$ .

A

$lo g_{12} 80 = \frac{2 a ^{2} - 2 ab}{ab + b}$

B

$lo g_{12} 80 = \frac{a + 2 ab}{ab}$

C

$lo g_{12} 80 = \frac{a + 2 ab}{ab + b}$

D

$lo g_{12} 80 = \frac{2 a ^{2} - 2 ab}{ab}$

Lời giải

Bước 1: Đổi cơ số và thay thế

Phân tích $80 = 5 \cdot 4^{2}$ , $12 = 3 \cdot 4$ , rồi đổi cơ số.

lo g_{12} 80 = \frac{ln 80}{ln 12} = \frac{ln 5 + 2 ln 4}{ln 3 + ln 4} = \frac{\frac{l n 4}{b} + 2 ln 4}{\frac{l n 4}{a} + ln 4} = \frac{a + 2 ab}{ab + b}

Bước 2: Đối chiếu phương án

Kết quả khớp phương án $C$ .

$A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt sai tử số, thiếu $+ b$ ở mẫu, và sai cả tử số lẫn mẫu số.

Đáp án: C — Vì

lo g_{12} 80 = \frac{a + 2 ab}{ab + b}

.

Câu 6

Đội thanh niên tình nguyện của một trường THPT có 13 học sinh gồm 4 học sinh khối 10, 4 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 12. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh đi tình nguyện, hãy tính xác suất để 4 học sinh đó chọn có đủ 3 khối.

A

$\frac{81}{143}$

B

$\frac{406}{715}$

C

$\frac{80}{143}$

D

$\frac{160}{143}$

Lời giải

Bước $1$ : Tính số phần tử không gian mẫu

Chọn $4$ học sinh bất kỳ trong tổng số $13$ học sinh.

n (Ω) = C_{13}^{4} = 715

Bước $2$ : Tính số trường hợp thuận lợi

Xét khối có $2$ học sinh được chọn, rồi chọn mỗi khối còn lại $1$ học sinh.

n (A) = C_{4}^{2} C_{4}^{1} C_{5}^{1} + C_{4}^{1} C_{4}^{2} C_{5}^{1} + C_{4}^{1} C_{4}^{1} C_{5}^{2} = 400

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Xác suất cần tìm là $\frac{80}{143}$ , khớp phương án $C$ . Các phương án $A$ , $B$ sai do không bằng $\frac{400}{715}$ ; $D$ sai vì cho xác suất lớn hơn $1$ .

P (A) = \frac{400}{C _{13}^{4}} = \frac{400}{715} = \frac{80}{143}

Đáp án:

C

— xác suất đúng là

\frac{80}{143}

.

Câu 7

Một cấp số cộng có tổng của $n$ số hạng đầu $S_{n}$ , tính theo công thức $S_{n} = 5 n^{2} + 3 n$ , $(n \in N^{*})$ .

Tìm số hạng đầu $u_{1}$ và công sai $d$ của cấp số cộng đó.

A

$u_{1} = - 8; d = 10$

B

$u_{1} = - 8; d = - 10$

C

$u_{1} = 8; d = 10$

D

$u_{1} = 8; d = - 10$

Lời giải

Bước 1: Lập công thức tổng

Áp dụng công thức tổng của cấp số cộng.

S_{n} = \frac{n}{2} [2 u_{1} + (n - 1) d] = 5 n^{2} + 3 n

Bước 2: Rút gọn và so sánh

Chia hai vế cho $n$ , rồi khai triển theo $n$ .

\frac{1}{2} [2 u_{1} + (n - 1) d] = 5 n + 3 ⟺ (2 u_{1} - d) + n d = 10 n + 6

Bước n: Đối chiếu phương án

So sánh hệ số của $n$ và hệ số tự do: $d = 10$ , $2 u_{1} - d = 6$ , suy ra $u_{1} = 8$ .

Chọn C; A, B, D sai vì lần lượt sai dấu $u_{1}$ , sai cả dấu $u_{1}$ và $d$ , và sai dấu $d$ .

d = 10, 2 u_{1} - d = 6 ⟹ u_{1} = 8

Đáp án: C — Vì

u_{1} = 8

và

d = 10

.

Câu 8

Một cấp số cộng có tổng của $n$ số hạng đầu $S_{n}$ , tính theo công thức $S_{n} = 5 n^{2} + 3 n$ , $(n \in N^{*})$ .

Ta có $lim \frac{S _{n} + 4 n ^{2}}{u _{n} + 2}$ bằng

A

$\frac{5}{10}$

B

$\frac{3}{8}$

C

$\frac{3}{10}$

D

$\frac{5}{8}$

Lời giải

Bước 1: Tìm số hạng tổng quát

Sử dụng công thức $u_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ cho $n \geq 2$ .

Thay $S_{n} = 5 n^{2} + 3 n$ vào để tìm $u_{n}$ theo $n$ .

u_{n} = (5 n^{2} + 3 n) - (5 (n - 1)^{2} + 3 (n - 1)) = 10 n - 2

Bước 2: Rút gọn biểu thức giới hạn

Thay $S_{n}$ và $u_{n}$ vào biểu thức giới hạn $L$ .

Rút gọn các số hạng bậc cao nhất của $n$ .

L = lim \frac{5 n ^{2} + 3 n + 4 n ^{2}}{10 n - 2 + 2} = lim \frac{9 n ^{2}}{10 n} = \frac{3}{10}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Kết quả $L = \frac{3}{10}$ khớp với phương án C.

Các phương án A, B, D sai vì lần lượt tính nhầm bậc của $n$ trong căn, áp dụng sai công thức $u_{n}$ , hoặc tính toán sai hệ số giới hạn.

Đáp án: C — vì sau khi xác định

u_{n} = 10 n - 2

và thay vào biểu thức, ta thu được giới hạn là

\frac{3}{10}

.

Câu 9

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ xác định bởi ${u_{2} + u_{6} = 18 u_{3} + u_{7} = 22$ .

Ta có công sai của cấp số cộng $(u_{n})$ là

A

$d = 2$ .

B

$d = - 2$ .

C

$d = 3$ .

D

$d = - 3$ .

Lời giải

Bước 1: Tìm hai số hạng giữa

Các cặp chỉ số $2, 6$ và $3, 7$ đối xứng lần lượt qua $4$ và $5$ .

u_{2} + u_{6} = 2 u_{4} = 18 \Rightarrow u_{4} = 9, u_{3} + u_{7} = 2 u_{5} = 22 \Rightarrow u_{5} = 11

Bước 2: Tính công sai

Hai số hạng liên tiếp cho công sai bằng hiệu của chúng.

d = u_{5} - u_{4} = 11 - 9 = 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ . Các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt trái dấu hoặc khác giá trị $d = 2$ .

Đáp án:

A

— Vì công sai là

d = u_{5} - u_{4} = 2

.

Câu 10

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ xác định bởi ${u_{2} + u_{6} = 18 u_{3} + u_{7} = 22$ .

Ta có $lim \frac{3 u _{n} + 2}{2 n + 3}$ bằng

A

$\frac{3}{2}$ .

B

$\frac{2}{3}$ .

C

$3$ .

D

$6$ .

Lời giải

Bước 1: Tìm hai số hạng giữa

Hai điều kiện cho phép ghép đối xứng quanh $u_{4}$ và $u_{5}$ .

2 u_{4} = 18 \Rightarrow u_{4} = 9; 2 u_{5} = 22 \Rightarrow u_{5} = 11

Bước 2: Xác định công sai

Hai số hạng liên tiếp xác định công sai và công thức của $u_{n}$ .

d = u_{5} - u_{4} = 2; u_{n} = u_{4} + (n - 4) d = 9 + 2 (n - 4) = 2 n + 1

Bước 3: Tính giới hạn

Thay $u_{n} = 2 n + 1$ vào biểu thức rồi chia cả tử và mẫu cho $n$ .

lim \frac{3 u _{n} + 2}{2 n + 3} = lim \frac{6 n + 5}{2 n + 3} = 3

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ . $A$ , $B$ , $D$ sai vì các giá trị lần lượt là $\frac{3}{2}$ , $\frac{2}{3}$ và $6$ , đều khác $3$ .

lim \frac{3 u _{n} + 2}{2 n + 3} = 3

Đáp án: C — Vì

u_{n} = 2 n + 1

nên giới hạn bằng

3

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG TP.HCM năm 2025 - Mã đề 15 — Toán học

Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tính số phần tử không gian mẫu

Bước 2: Tính số trường hợp thuận lợi

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Tìm tập xác định

Bước 2: Xét tính đơn điệu

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Tính tích vô hướng

Bước 2: Tính độ dài vectơ

Bước 3: Tính cosin góc

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Tính bán kính

Bước 2: Lập phương trình mặt cầu

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Đổi cơ số và thay thế

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Tính số phần tử không gian mẫu

Bước 2: Tính số trường hợp thuận lợi

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Lập công thức tổng

Bước 2: Rút gọn và so sánh

Bước n: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Tìm số hạng tổng quát

Bước 2: Rút gọn biểu thức giới hạn

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tìm hai số hạng giữa

Bước 2: Tính công sai

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tìm hai số hạng giữa

Bước 2: Xác định công sai

Bước 3: Tính giới hạn

Bước 4: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Tính số phần tử không gian mẫu

Bước $2$ : Tính số trường hợp thuận lợi

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Tính số phần tử không gian mẫu

Bước $2$ : Tính số trường hợp thuận lợi

Bước $3$ : Đối chiếu phương án