Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG TP.HCM năm 2025 - Mã đề 13 — Toán học môn Toán học (Đánh giá Năng lực V-ACT)

Câu 1

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = x^{3} + (m + 2) x^{2} + (m^{2} - m - 3) x - m^{2}$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt?

A

1

B

2

C

4

D

3

Lời giải

Bước 1: Lập biệt thức

Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình $P (x) = 0$ .

Tính biệt thức của phương trình bậc ba:

Δ = (m + 2)^{2} (m^{2} - m - 3)^{2} - 4 (m^{2} - m - 3)^{3} + 4 m^{2} (m + 2)^{3} - 27 m^{4} - 18 m^{2} (m + 2) (m^{2} - m - 3)

Bước 2: Phân tích và xét dấu

Phân tích được $Δ = - 3 (m + 1) (m - 3) (m^{4} + 2 m^{3} + 9 m^{2} + 8 m + 16)$ .

Vì $m^{4} + 2 m^{3} + 9 m^{2} + 8 m + 16 = m^{2} (m + 1)^{2} + 8 (m^{2} + m + 2) > 0$ , nên $Δ > 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 3$ .

m \in Z \Rightarrow m \in {0, 1, 2} \Rightarrow s \overset{ˊ}{\overset{o}{ˆ}} gi \overset{a}{ˊ} trị = 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $D$ vì có đúng $3$ giá trị nguyên là $m = 0, 1, 2$ .

Các phương án $A, B, C$ sai vì lần lượt cho thiếu một, thiếu hai hoặc thừa một giá trị.

Đáp án: D — Vì điều kiện

Δ > 0

tương đương

- 1 < m < 3

, có đúng

3

giá trị nguyên

m = 0, 1, 2

.

Câu 2

Số giá trị nguyên của tham số $m$ phương trình $12 - 3 x^{2} - x = m$ có nghiệm là

A

$2$

B

$3$

C

$6$

D

$7$

Lời giải

Bước 1: Tìm miền xác định

Điều kiện căn thức xác định là $12 - 3 x^{2} \geq 0$ .

12 - 3 x^{2} \geq 0 ⟺ - 2 \leq x \leq 2

Bước 2: Tìm khoảng giá trị

Đặt $f (x) = 12 - 3 x^{2} - x$ . Xét các đầu mút và điểm cực trị trong $[- 2, 2]$ .

f^{'} (x) = - \frac{3 x}{12 - 3 x ^{2}} - 1 = 0 ⟺ x = - 1; f (- 2) = 2, f (- 1) = 4, f (2) = - 2 ⟹ f ([- 2, 2]) = [- 2, 4]

Bước 3: Đối chiếu phương án

Các giá trị nguyên của $m$ là $- 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4$ , nên có $7$ giá trị. Chọn phương án $D$ ; $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt đếm thiếu $5$ , $4$ , $1$ giá trị.

# {- 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4} = 7

Đáp án: D — Vì tập giá trị của hàm số là

[- 2, 4]

, chứa đúng

7

số nguyên.

Câu 3

Biết rằng $x \to + \infty lim (a x^{2} + b x + 1 - x) = 2$ . Giá trị của $P = ab$ là:

A

$P = 4$ .

B

$P = 2$ .

C

$P = 1$ .

D

$P = - 1$ .

Lời giải

Bước 1: Tìm hệ số $a$

Để giới hạn hữu hạn, phần tăng theo $x$ phải triệt tiêu.

x \to + \infty lim (a x^{2} + b x + 1 - x) hữu hạn \Rightarrow a - 1 = 0 \Rightarrow a = 1

Bước 2: Tìm hệ số $b$

Thay $a = 1$ , nhân liên hợp rồi so sánh với giới hạn đã cho.

x \to + \infty lim \frac{b x + 1}{x ^{2} + b x + 1 + x} = \frac{b}{2} = 2 \Rightarrow b = 4

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ : $P = ab = 4$ . Các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt cho $P = 2$ , $P = 1$ , $P = - 1$ , trái với kết quả.

P = ab = 1 \cdot 4 = 4

Đáp án: A — Vì

a = 1

,

b = 4

nên

P = ab = 4

.

Câu 4

Với mọi giá trị của $a > 0, α \neq = 1$ , đồ thị hàm số $y = a^{x - 2}$ luôn đi qua điểm cố định $A$ và đồ thị hàm số $y = lo g_{α} (4 - x)$ luôn đi qua điểm cố định $B$ . Tính độ dài đoạn thẳng $A B$ .

A

$1$

B

$2$

C

$\frac{1}{2}$

D

$2$

Lời giải

Bước 1: Tìm điểm cố định $A$

Cho $x - 2 = 0$ để giá trị hàm không phụ thuộc vào $a$ .

x = 2 \Rightarrow y = a^{0} = 1 \Rightarrow A (2; 1)

Bước 2: Tìm điểm cố định $B$

Cho đối số logarit bằng $1$ để giá trị hàm không phụ thuộc vào $α$ .

4 - x = 1 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow y = lo g_{α} 1 = 0 \Rightarrow B (3; 0)

Bước 3: Tính $A B$

Áp dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm.

A B = (3 - 2)^{2} + (0 - 1)^{2} = 2

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án B vì $A B = 2$ ; A, C, D sai vì lần lượt cho $1$ , $\frac{1}{2}$ và $2$ .

B : 2

Đáp án: B — Vì

A (2; 1)

,

B (3; 0)

nên

A B = 2

.

Câu 5

Cho hàm số $f (x) = {x^{2} + m x \frac{x + 3 - 2}{x - 1} khi x \leq 1 khi x > 1$ . Tìm $m$ để hàm số đã cho liên tục tại $x = 1$ .

A

$- \frac{3}{4}$

B

$0$

C

$2$

D

$\frac{1}{3}$

Lời giải

Bước 1: Tính giá trị tại điểm và giới hạn trái

Tính giá trị hàm số tại $x = 1$ và giới hạn bên trái bằng cách thay trực tiếp vào nhánh $x \leq 1$ .

f (1) = x \to 1^{-} lim (x^{2} + m x) = 1 + m

Bước 2: Tính giới hạn phải

Sử dụng phương pháp nhân liên hợp để khử dạng $\frac{0}{0}$ khi $x \to 1^{+}$ .

x \to 1^{+} lim \frac{( x + 3 - 2 ) ( x + 3 + 2 )}{( x - 1 ) ( x + 3 + 2 )} = x \to 1^{+} lim \frac{x - 1}{( x - 1 ) ( x + 3 + 2 )} = \frac{1}{4}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Giải phương trình $1 + m = \frac{1}{4}$ ta được $m = - \frac{3}{4}$ . Vậy chọn phương án A.

m = \frac{1}{4} - 1 = - \frac{3}{4}

Đáp án: A — vì phương trình

1 + m = \frac{1}{4}

cho ra kết quả

m = - \frac{3}{4}

, các phương án B, C, D sai do tính toán sai giới hạn hoặc nhầm lẫn dấu khi giải phương trình.

Câu 6

Gọi $M$ là giao điểm của trục tung với đồ thị hàm số $(C) : y = x^{2} + x + 1$ . Tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ có phương trình là

A

$y = - \frac{1}{2} x + 1$

B

$y = - x + 1$

C

$y = x + 1$

D

$y = \frac{1}{2} x + 1$

Lời giải

Bước 1: Tìm tọa độ tiếp điểm

Giao với trục tung có $x = 0$ , nên $y = 1 = 1$ .

M (0; 1)

Bước 2: Tính hệ số góc

Tính đạo hàm rồi thay $x = 0$ để được hệ số góc tiếp tuyến.

y^{'} = \frac{2 x + 1}{2 x ^{2} + x + 1} \Rightarrow f^{'} (0) = \frac{1}{2}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương trình tiếp tuyến là $y - 1 = \frac{1}{2} (x - 0)$ , tức $y = \frac{1}{2} x + 1$ .

Chọn phương án $D$ ; $A$ , $B$ , $C$ sai vì có hệ số góc lần lượt là $- \frac{1}{2}$ , $- 1$ , $1$ .

y - 1 = \frac{1}{2} x \Rightarrow y = \frac{1}{2} x + 1

Đáp án:

D

— tiếp tuyến có hệ số góc

\frac{1}{2}

và đi qua

M (0; 1)

.

Câu 7

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị hàm số như sau:

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là

A

$GT L N = 3$ và $GT N N = 0$

B

$GT L N = 3$ và $GT N N = - 3$

C

Không có $GT L N$ và $GT N N$

D

Không có $GT L N$ và $GT N N = - 3$

Lời giải

Bước 1: Xét tính bị chặn

Quan sát đồ thị, các nhánh hàm số tiến ra vô cực nên hàm số không bị chặn trên và không bị chặn dưới.

Vì vậy, các giá trị $3$ và $- 3$ tại điểm cực trị không phải $GT L N$ hoặc $GT N N$ .

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ : hàm số không có $GT L N$ và $GT N N$ .

Các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì đều khẳng định tồn tại ít nhất một giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.

Đáp án: C — Đồ thị không bị chặn trên và không bị chặn dưới nên hàm số không có

GT L N

và

GT N N

.

Câu 8

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị hàm số như sau:

Hàm số nghịch biến trên khoảng

A

$(- \infty; - 1)$

B

$(- 1; 3)$

C

$(- \infty; + \infty)$

D

$(- 3; + \infty)$

Lời giải

Bước 1: Đọc chiều biến thiên

Quan sát đồ thị: hàm số giảm khi $x$ chạy từ $- 1$ đến $3$ .

x \in (- 1; 3)

Bước 2: Xác định khoảng nghịch biến

Vì đồ thị đi xuống trên đoạn này nên hàm số nghịch biến trên $(- 1; 3)$ .

f nghịch bi \overset{ˊ}{\overset{e}{ˆ}} n tr \overset{e}{ˆ} n (- 1; 3)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ . $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt chứa đoạn hàm số đồng biến hoặc không phải khoảng nghịch biến hoàn toàn.

Đáp án:

B

— Hàm số nghịch biến trên khoảng

(- 1; 3)

.

Câu 9

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị hàm số như sau:

Số nghiệm của đường thẳng $y = 3$ và đồ thị hàm số $f (x)$ là

A

$1$

B

$2$

C

Chưa xác định được do thiếu đồ thị

D

$4$

Lời giải

Bước 1: Xác định cách đếm

Số nghiệm cần tìm là số giao điểm của đường thẳng $y = 3$ với đồ thị.

Công thức đếm là số nghiệm của $f (x) = 3$ .

N = # {x ∣ f (x) = 3}

Bước 2: Kiểm tra dữ liệu đồ thị

Hình đồ thị không được cung cấp nên không thể đếm các giao điểm.

Vì vậy, chưa đủ dữ kiện để xác định một trong bốn phương án.

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chưa thể chọn A, B, C hoặc D vì số giao điểm phụ thuộc vào đồ thị bị thiếu.

Đáp án: Chưa xác định được — cần cung cấp đồ thị để đếm số giao điểm với

y = 3

.

Câu 10

Tam giác $A B C$ có. Các cạnh $a, b, c$ liên hệ với nhau bởi đẳng thức $b (b^{2} - a^{2}) = c (a^{2} - c^{2})$ .

Nhận định nào sau đây đúng?

A

$b^{2} + c^{2} - a^{2} = b c$

B

$b^{2} + c^{2} - a^{2} = 2 b c$

C

$b^{2} + c^{2} + a^{2} = b c$

D

$b^{2} + c^{2} - 2 a^{2} = b c$

Lời giải

Bước 1: Khai triển và gom nhóm

Khai triển quan hệ đã cho, rồi chuyển các hạng tử chứa lập phương về một vế.

b^{3} - a^{2} b = a^{2} c - c^{3} ⟹ b^{3} + c^{3} = a^{2} (b + c)

Bước 2: Phân tích lập phương

Dùng công thức tổng hai lập phương và rút gọn vì $b + c \neq = 0$ .

b^{3} + c^{3} = (b + c) (b^{2} - b c + c^{2}) = a^{2} (b + c) ⟹ a^{2} = b^{2} - b c + c^{2}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Suy ra $b^{2} + c^{2} - a^{2} = b c$ . Phương án $A$ đúng; $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt thừa hệ số $2$ , sai dấu trước $a^{2}$ , và sai hệ số trước $a^{2}$ .

b^{2} + c^{2} - a^{2} = b c

Đáp án:

A

— vì

a^{2} = b^{2} - b c + c^{2}

nên

b^{2} + c^{2} - a^{2} = b c

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG TP.HCM năm 2025 - Mã đề 13 — Toán học

Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Lập biệt thức

Bước 2: Phân tích và xét dấu

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Tìm miền xác định

Bước 2: Tìm khoảng giá trị

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Tìm hệ số a

Bước 2: Tìm hệ số b

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Tìm điểm cố định A

Bước 2: Tìm điểm cố định B

Bước 3: Tính AB

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Tính giá trị tại điểm và giới hạn trái

Bước 2: Tính giới hạn phải

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Tìm tọa độ tiếp điểm

Bước 2: Tính hệ số góc

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Xét tính bị chặn

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Đọc chiều biến thiên

Bước 2: Xác định khoảng nghịch biến

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Xác định cách đếm

Bước 2: Kiểm tra dữ liệu đồ thị

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Khai triển và gom nhóm

Bước 2: Phân tích lập phương

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước 1: Tìm hệ số $a$

Bước 2: Tìm hệ số $b$

Bước 1: Tìm điểm cố định $A$

Bước 2: Tìm điểm cố định $B$

Bước 3: Tính $A B$