Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG TP.HCM năm 2025 - Mã đề 11 — Toán học môn Toán học (Đánh giá Năng lực V-ACT)

Câu 1

Nếu $\int_{0}^{7} f (x), d x = 25$ và $\int_{0}^{4} 3 f (x), d x = 12$ thì $\int_{4}^{7} [f (x) - 4], d x$ bằng

A

$21$

B

$13$

C

$17$

D

$9$

Lời giải

Bước 1: Tính tích phân trên $[0; 4]$

Đưa hệ số $3$ ra ngoài tích phân để tìm $\int_{0}^{4} f (x) d x$ .

3 \int_{0}^{4} f (x) d x = 12 \Rightarrow \int_{0}^{4} f (x) d x = 4

Bước 2: Tính tích phân cần tìm

Tính phần $f (x)$ trên $[4; 7]$ , rồi trừ tích phân của hằng số $4$ .

\int_{4}^{7} f (x) d x = 25 - 4 = 21; \int_{4}^{7} [f (x) - 4] d x = 21 - 4 (7 - 4) = 9

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án $D$ đúng vì kết quả bằng $9$ ; $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt quên phần hằng số, trừ sai $8$ , và trừ sai $4$ .

9

Đáp án:

D

— Vì

\int_{4}^{7} [f (x) - 4]

,dx=9$.

Câu 2

Cho phương trình $- x^{2} + m x = 2 x - 1$ với $m$ là tham số thực. Tập hợp tất cả giá trị của $m$ để phương trình trên vô nghiệm là:

A

$(\frac{1}{2}; + \infty)$

B

$(\frac{1}{2}; 2)$

C

$(- \infty; \frac{1}{2})$

D

$(- \infty; 2)$

Lời giải

Bước 1: Đặt điều kiện và bình phương

Vì căn thức không âm, cần $2 x - 1 \geq 0$ ; trên miền này, bình phương hai vế là tương đương.

2 x - 1 \geq 0 ⟺ x \geq \frac{1}{2}, - x^{2} + m x = (2 x - 1)^{2}

Bước 2: Biểu diễn tham số

Rút gọn phương trình bình phương và giải theo $m$ .

5 x^{2} - (m + 4) x + 1 = 0 ⟺ m = 5 x + \frac{1}{x} - 4, x \geq \frac{1}{2}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Đặt $f (x) = 5 x + \frac{1}{x} - 4$ . Với $x \geq \frac{1}{2}$ , hàm số tăng và nhận giá trị từ $\frac{1}{2}$ trở lên.

Vì vậy phương trình có nghiệm khi $m \geq \frac{1}{2}$ , vô nghiệm khi $m < \frac{1}{2}$ . Chọn C: $(- \infty; \frac{1}{2})$ ; A, B, D sai vì lần lượt chọn $m > \frac{1}{2}$ , chỉ lấy một khoảng hữu hạn bên phải, và chứa các $m \geq \frac{1}{2}$ có nghiệm.

f^{'} (x) = 5 - \frac{1}{x ^{2}} \geq 1, f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}, {f (x) ∣ x \geq \frac{1}{2}} = [\frac{1}{2}; + \infty)

Đáp án: C — phương trình vô nghiệm đúng khi

m < \frac{1}{2}

.

Câu 3

Cho lăng trụ đứng $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ với $A B C$ là tam giác vuông cân tại $C$ có $A B = a$ , mặt bên $A B B^{'} A^{'}$ là hình vuông. Mặt phẳng qua trung điểm $I$ của $A B$ và vuông góc với $A B^{'}$ cắt khối lăng trụ thành 2 phần. Thể tích mỗi phần là:

A

$V_{1} = \frac{a ^{3}}{48} V_{2} = \frac{11 a ^{3}}{24}$

B

$V_{1} = \frac{a ^{3}}{24} V_{2} = \frac{11 a ^{3}}{48}$

C

$V_{1} = \frac{a ^{3}}{48} V_{2} = \frac{11 a ^{3}}{48}$

D

$V_{1} = \frac{a ^{3}}{24} V_{2} = \frac{5 a ^{3}}{24}$

Lời giải

Bước $1$ : Lập hệ tọa độ

Đặt $C (0, 0, 0)$ , $A (ℓ, 0, 0)$ , $B (0, ℓ, 0)$ với $ℓ = \frac{a}{2}$ , và $A^{'} (ℓ, 0, a)$ , $B^{'} (0, ℓ, a)$ .

Trung điểm $I (\frac{ℓ}{2}, \frac{ℓ}{2}, 0)$ ; mặt phẳng cần tìm có phương trình $y - x + 2 z = 0$ .

A B^{'} = (- ℓ, ℓ, a), - ℓ (x - \frac{ℓ}{2}) + ℓ (y - \frac{ℓ}{2}) + a z = 0 ⟺ y - x + 2 z = 0

Bước $2$ : Tính phần thể tích nhỏ

Ở độ cao $z$ , phần bị tách nhỏ có diện tích $\frac{( ℓ - 2 z ) ^{2}}{4}$ khi $0 \leq z \leq \frac{a}{2}$ ; sau đó diện tích bằng $0$ .

Tích phân diện tích này cho thể tích phần nhỏ.

V_{1} = \int_{0}^{a /2} \frac{( ℓ - 2 z ) ^{2}}{4} d z = \int_{0}^{a /2} \frac{( a /2 - z ) ^{2}}{2} d z = \frac{a ^{3}}{48}

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Thể tích toàn khối là $V = \frac{a ^{2}}{4} \cdot a = \frac{a ^{3}}{4}$ , nên $V_{2} = V - V_{1} = \frac{11 a ^{3}}{48}$ .

Chọn C; A, B, D sai vì lần lượt có một hoặc cả hai thể tích không đúng kết quả tính được.

V_{2} = \frac{a ^{3}}{4} - \frac{a ^{3}}{48} = \frac{11 a ^{3}}{48}

Đáp án: C — Hai thể tích là

\frac{a ^{3}}{48}

và

\frac{11 a ^{3}}{48}

.

Câu 4

Cho hàm số $f (x) = x x^{2} + 1$ . Giá trị của $f^{'} (- 2)$ là:

A

$\frac{3 2}{2}$

B

$\frac{9 5}{5}$

C

$\frac{2}{2}$

D

$\frac{3}{2}$

Lời giải

Bước $1$ : Tính đạo hàm

Áp dụng quy tắc đạo hàm tích.

f^{'} (x) = x^{2} + 1 + x \cdot \frac{x}{x ^{2} + 1} = \frac{2 x ^{2} + 1}{x ^{2} + 1}

Bước $2$ : Thay giá trị cần tính

Thay $x = - 2$ vào biểu thức đạo hàm.

f^{'} (- 2) = \frac{2 \cdot ( - 2 ) ^{2} + 1}{( - 2 ) ^{2} + 1} = \frac{9}{5} = \frac{9 5}{5}

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Chọn phương án B. A, C, D sai vì lần lượt tính sai mẫu căn, bỏ hệ số $9$ , và rút gọn sai kết quả.

Đáp án: B — Vì

f^{'} (- 2) = \frac{9 5}{5}

.

Câu 5

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như Hình. Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

A

$- 1$

B

$1$

C

$2$

D

$- 2$

Lời giải

Bước 1: Xác định điểm cực tiểu trên đồ thị

Quan sát đồ thị hàm số, tìm vị trí điểm thấp nhất của đường cong trong một khoảng xác định.

Điểm cực tiểu là điểm có tọa độ $(1; - 2)$ trên hệ trục tọa độ.

Bước 2: Đối chiếu phương án

Điểm cực tiểu của hàm số là $x = 1$ , tương ứng với phương án B.

Các phương án A, C, D sai vì lần lượt chọn nhầm giá trị cực đại $x = - 1$ , giá trị tung độ $y = - 2$ hoặc giá trị $x = - 2$ không phải cực trị.

x = 1

Đáp án: B — Giá trị

x = 1

là hoành độ điểm thấp nhất của đồ thị, nơi hàm số đổi chiều từ nghịch biến sang đồng biến.

Câu 6

Tập xác định của hàm số $y = (x^{2} - 5 x + 6)^{3}$ là

A

$(0, + \infty)$

B

$(- \infty, 2) \cup (3, + \infty)$

C

$R ∖ 2, 3$

D

$R$

Lời giải

Bước 1: Đặt điều kiện cơ số

Vì $3$ là số vô tỉ, cơ số phải dương.

3 \in / Q \Rightarrow x^{2} - 5 x + 6 > 0

Bước 2: Giải bất phương trình

Phân tích tam thức và xét dấu theo hai nghiệm $2$ , $3$ .

(x - 2) (x - 3) > 0 ⟺ x < 2 hoặc x > 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tập xác định là $(- \infty, 2) \cup (3, + \infty)$ , nên chọn $B$ .

$A$ sai vì loại mất miền $x < 2$ và chứa đoạn $(2, 3)$ ; $C$ , $D$ sai vì vẫn chứa đoạn $(2, 3)$ .

Đáp án:

B

— Vì điều kiện xác định là

x^{2} - 5 x + 6 > 0

, suy ra

x < 2

hoặc

x > 3

.

Câu 7

Cho hàm số $f (x) = 2 x^{3} - 3 (m + 1) x^{2} + 6 m x + 1$ , với $m$ là tham số thực.

Với $m = 3$ , giá trị lớn nhất của hàm số $y = f (x)$ trên đoạn $[0; 3]$ là:

A

5

B

9

C

11

D

17

Lời giải

Bước 1: Lập hàm số và tìm điểm tới hạn

Thay $m = 3$ , rồi giải phương trình $f^{'} (x) = 0$ .

f (x) = 2 x^{3} - 12 x^{2} + 18 x + 1; f^{'} (x) = 6 x^{2} - 24 x + 18 = 6 (x - 1) (x - 3) \Rightarrow x = 1, x = 3

Bước 2: Tính các giá trị cần xét

So sánh giá trị tại $x = 0$ , $x = 1$ và $x = 3$ .

f (0) = 1, f (1) = 2 - 12 + 18 + 1 = 9, f (3) = 54 - 108 + 54 + 1 = 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Giá trị lớn nhất là $9$ , tương ứng phương án $B$ .

$A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt không đúng với kết quả tính được.

Đáp án:

B

— Giá trị lớn nhất của hàm số trên

[0; 3]

là

9

.

Câu 8

Cho hàm số $f (x) = 2 x^{3} - 3 (m + 1) x^{2} + 6 m x + 1$ , với $m$ là tham số thực.

Hàm số $y = f (x)$ nghịch biến trên khoảng $(1; 3)$ khi và chỉ khi

A

$m \leq 1$ .

B

$m \geq 1$ .

C

$m \leq 3$ .

D

$m \geq 3$ .

Lời giải

Bước $1$ : Tính đạo hàm

Tính đạo hàm và phân tích thành nhân tử để xét dấu.

f^{'} (x) = 6 x^{2} - 6 (m + 1) x + 6 m = 6 (x - 1) (x - m)

Bước $2$ : Xét dấu trên khoảng

Trên $(1; 3)$ , ta có $x - 1 > 0$ ; do đó cần $x - m \leq 0$ với mọi $x \in (1; 3)$ .

f^{'} (x) \leq 0 \forall x \in (1; 3) ⟺ x - m \leq 0 \forall x \in (1; 3) ⟺ m \geq 3

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Điều kiện thu được là $m \geq 3$ , nên chọn phương án $D$ . Các phương án $A$ , $C$ sai vì ngược chiều điều kiện; $B$ sai vì $m \geq 1$ chưa đủ.

Đáp án:

D

— Vì

f^{'} (x) = 6 (x - 1) (x - m) \leq 0

trên

(1; 3)

khi và chỉ khi

m \geq 3

.

Câu 9

Cho hàm số $f (x) = 2 x^{3} - 3 (m + 1) x^{2} + 6 m x + 1$ , với $m$ là tham số thực.

Đường thẳng $y = 1$ cắt đồ thị hàm số $y = f (x)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn $2$ khi và chỉ khi

A

$m > 3$ .

B

$m < 3$ .

C

$m > 9$ .

D

$m < 9$ .

Lời giải

Bước $1$ : Lập phương trình giao điểm

Giao điểm với $y = 1$ thỏa mãn $f (x) = 1$ .

Phân tích được một nghiệm $x = 0$ , không phù hợp vì cần $x > 2$ .

f (x) = 1 \Leftrightarrow x [2 x^{2} - 3 (m + 1) x + 6 m] = 0

Bước $2$ : Xét hai nghiệm lớn hơn $2$

Đặt $t = x - 2$ , khi đó điều kiện cần là phương trình bậc hai có hai nghiệm dương phân biệt.

Với tổng, tích và biệt thức, ta được hệ điều kiện tương ứng.

2 x^{2} - 3 (m + 1) x + 6 m = 0 \Leftrightarrow 2 t^{2} + (5 - 3 m) t + 2 = 0; \frac{3 m - 5}{2} > 0, 1 > 0, (5 - 3 m)^{2} - 16 > 0

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Từ $m > \frac{5}{3}$ , điều kiện biệt thức cho $3 m - 5 > 4$ , suy ra $m > 3$ .

Chọn A; B, C, D sai vì lần lượt đảo chiều, đặt điều kiện mạnh hơn và chọn điều kiện yếu hơn.

m > \frac{5}{3}, (3 m - 5)^{2} > 16 \Rightarrow 3 m - 5 > 4 \Rightarrow m > 3

Đáp án: A — Điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều lớn hơn

2

là

m > 3

.

Câu 10

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ thỏa mãn ${u_{1} + u_{4} = 8 u_{3} - u_{2} = 2$

Tính tổng $10$ số hạng đầu của cấp số cộng trên.

A

$100$

B

$110$

C

$10$

D

$90$

Lời giải

Bước 1: Tìm công sai

Theo công thức hiệu hai số hạng liên tiếp, $d = u_{3} - u_{2} = 2$ .

d = 2

Bước 2: Tìm số hạng đầu

Dùng $u_{4} = u_{1} + 3 d$ và điều kiện đã cho.

u_{1} + u_{4} = u_{1} + (u_{1} + 3 d) = 8 \Rightarrow 2 u_{1} + 6 = 8 \Rightarrow u_{1} = 1

Bước 3: Tính tổng $10$ số hạng

Áp dụng công thức tổng cấp số cộng với $n = 10$ .

S_{10} = \frac{10}{2} (2 \cdot 1 + 9 \cdot 2) = 5 \cdot 20 = 100

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn A vì $S_{10} = 100$ ; B, C, D sai vì lần lượt cho $110$ , $10$ , $90$ , đều khác $100$ .

Đáp án: A — Vì tổng

10

số hạng đầu là

S_{10} = 100

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG TP.HCM năm 2025 - Mã đề 11 — Toán học

Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tính tích phân trên [0;4]

Bước 2: Tính tích phân cần tìm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Đặt điều kiện và bình phương

Bước 2: Biểu diễn tham số

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Lập hệ tọa độ

Bước 2: Tính phần thể tích nhỏ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Bước 2: Thay giá trị cần tính

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Xác định điểm cực tiểu trên đồ thị

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Đặt điều kiện cơ số

Bước 2: Giải bất phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Lập hàm số và tìm điểm tới hạn

Bước 2: Tính các giá trị cần xét

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Bước 2: Xét dấu trên khoảng

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình giao điểm

Bước 2: Xét hai nghiệm lớn hơn 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tìm công sai

Bước 2: Tìm số hạng đầu

Bước 3: Tính tổng 10 số hạng

Bước 4: Đối chiếu phương án

Bước 1: Tính tích phân trên $[0; 4]$

Bước $1$ : Lập hệ tọa độ

Bước $2$ : Tính phần thể tích nhỏ

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Tính đạo hàm

Bước $2$ : Thay giá trị cần tính

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Tính đạo hàm

Bước $2$ : Xét dấu trên khoảng

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Lập phương trình giao điểm

Bước $2$ : Xét hai nghiệm lớn hơn $2$

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước 3: Tính tổng $10$ số hạng