Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG TP.HCM năm 2025 - Mã đề 09 — Toán học môn Toán học (Đánh giá Năng lực V-ACT)

Câu 1

Biết hàm số $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ đạt cực trị tại điểm $x = 1, f (x) = - 3$ và đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $2$ . Phương trình $f (x) = 2$ có bao nhiêu nghiệm?

A

$0$

B

$2$

C

$1$

D

$3$

Lời giải

Bước 1: Lập điều kiện

Cắt trục tung tại tung độ $2$ nên $c = 2$ ; cực trị tại $x = 1$ nên $f^{'} (1) = 0$ .

c = 2, f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b, f^{'} (1) = 3 + 2 a + b = 0, f (1) = 1 + a + b + 2 = - 3

Bước 2: Tìm hệ số

Từ hai điều kiện trên, giải hệ theo $a, b$ .

a + b = - 6, 3 + 2 a + b = 0 \Rightarrow a = 3, b = - 9, c = 2

Bước 3: Đếm nghiệm

Thay các hệ số vào $f (x) = 2$ , rồi xét phương trình sau phân tích nhân tử.

x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 2 = 2 \Leftrightarrow x (x^{2} + 3 x - 9) = 0, Δ = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9) = 45 > 0

Bước 4: Đối chiếu phương án

Có $1$ nghiệm từ $x = 0$ và $2$ nghiệm từ phương trình bậc hai, tổng cộng $3$ nghiệm; chọn $D$ . Các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt cho số nghiệm khác $3$ .

1 + 2 = 3

Đáp án:

D

— Phương trình có

1 + 2 = 3

nghiệm thực.

Câu 2

Cho tập hợp $S = {1; 2; 3; 4; 5; 6}$ . Số các số tự nhiên có $3$ chữ số đôi một khác nhau thuộc tập hợp $S$ và chia hết cho $3$ có thể lập được là:

A

$48$

B

$18$

C

$36$

D

$24$

Lời giải

Bước 1: Chọn bộ chữ số

Phân nhóm theo số dư khi chia cho $3$ ; bộ hợp lệ phải gồm mỗi nhóm một chữ số.

Các trường hợp chọn ba chữ số cùng một nhóm đều không thể vì mỗi nhóm chỉ có $2$ phần tử.

S_{0} = {3, 6}, S_{1} = {1, 4}, S_{2} = {2, 5}, 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

Bước 2: Sắp xếp chữ số

Mỗi bộ gồm $3$ chữ số khác nhau tạo được $3!$ số có ba chữ số.

8 \cdot 3! = 8 \cdot 6 = 48

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A. B, C, D sai vì đều khác kết quả đếm $48$ .

Đáp án: A.

48

— Có

8

bộ chữ số hợp lệ, mỗi bộ sắp xếp được

3!

cách.

Câu 3

Cho khối lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có thể tích bằng $1$ . Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $A A^{'}$ và $B B^{'}$ . Đường thẳng $C M$ cắt đường thẳng $C^{'} A^{'}$ tại $P$ , đường thẳng $C N$ cắt đường thẳng $C^{'} B^{'}$ tại $Q$ . Thể tích của khối đa diện lồi $A^{'} M P B^{'} N Q$ bằng:

A

$\frac{1}{3}$

B

$\frac{1}{2}$

C

$\frac{2}{3}$

D

$\frac{1}{4}$

Lời giải

Bước 1: Dựng mô hình tọa độ

Chọn $A (0, 0, 0)$ , $B (1, 0, 0)$ , $C (0, 1, 0)$ ; mặt trên có $z = 1$ .

Suy ra $M (0, 0, \frac{1}{2})$ , $N (1, 0, \frac{1}{2})$ , $P (0, - 1, 1)$ , $Q (2, - 1, 1)$ .

V_{l \overset{a}{˘} ng trụ} = \frac{1}{2}

Bước 2: Tính diện tích mặt cắt

Đặt $λ = 2 z - 1$ , với $0 \leq λ \leq 1$ . Mặt trên là hình thang $A^{'} P Q B^{'}$ có diện tích $\frac{3}{2}$ và chiều cao $1$ .

Mặt cắt ở mức $λ$ là tổng Minkowski của hình trên với đoạn $M N$ , nên diện tích bằng $\frac{3}{2} λ^{2} + λ (1 - λ)$ .

S (λ) = \frac{3}{2} λ^{2} + λ (1 - λ) = λ + \frac{1}{2} λ^{2}

Bước 3: Tính thể tích và đối chiếu

Vì $d z = \frac{1}{2} d λ$ , thể tích khối đa diện trong mô hình tọa độ là $\frac{1}{3}$ . Do thể tích lăng trụ mô hình bằng $\frac{1}{2}$ , tỉ số thể tích cần tìm là $\frac{2}{3}$ .

Phương án đúng là $C$ ; $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt cho các giá trị $\frac{1}{3}$ , $\frac{1}{2}$ và $\frac{1}{4}$ .

V = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (λ + \frac{1}{2} λ^{2}) d λ = \frac{1}{3}, \frac{V}{V _{l \overset{a}{˘} ng trụ}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}

Đáp án:

C

— Thể tích khối đa diện bằng

\frac{2}{3}

thể tích lăng trụ, nên bằng

\frac{2}{3}

.

Câu 4

Cho 4 điểm $A (3; - 2; - 2); B (3; 2; 0); C (0; 2; 1); D (- 1; 1; 2)$ . Mặt cầu tâm $A$ và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD) có phương trình là

A

$(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} + (z + 2)^{2} = 14$

B

$(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} + (z + 2)^{2} = 14$

C

$(x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 14$

D

$(x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 14$

Lời giải

Bước 1: Lập mặt phẳng $(B C D)$

Chọn $B C$ và $B D$ , rồi lấy tích có hướng để tìm pháp tuyến.

B C = (- 3, 0, 1), B D = (- 4, - 1, 2), n = B C \times B D = (1, 2, 3), (B C D) : x + 2 y + 3 z - 7 = 0

Bước 2: Tính bán kính tiếp xúc

Khoảng cách từ tâm $A$ đến $(B C D)$ chính là bán kính mặt cầu.

R = d (A, (B C D)) = \frac{∣3 + 2 ( - 2 ) + 3 ( - 2 ) - 7∣}{1 ^{2} + 2 ^{2} + 3 ^{2}} = \frac{14}{14} = 14

Bước 3: Viết phương trình mặt cầu

Thay tâm $A (3; - 2; - 2)$ và bán kính $R = 14$ vào dạng phương trình tương ứng.

(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} + (z + 2)^{2} = 14

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A vì đúng tâm $A (3; - 2; - 2)$ và đúng bán kính $R = 14$ ; B sai do dùng $14$ , còn C, D sai dấu tọa độ tâm.

Đáp án: A — Phương trình có tâm

A (3; - 2; - 2)

và bán kính

R = 14

.

Câu 5

Đồ thị bên dưới là tốc độ của một chiếc xe đua trên đoạn đường đua bằng phẳng dài $3 km$ , tốc độ nhỏ nhất là

Hình minh họa

A

$3 km/h$

B

$160 km/h$

C

$130 km/h$

D

$70 km/h$

Lời giải

Bước 1: Xác định điểm thấp nhất

Quan sát đường biểu diễn và tìm vị trí thấp nhất.

Đối chiếu vị trí đó với trục tung để đọc tốc độ.

v_{m i n} = 70 km/h

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn phương án D: $70 km/h$ , vì đúng với giá trị cực tiểu đọc từ đồ thị.

A, B, C sai vì lần lượt không đúng giá trị cực tiểu, là tốc độ cực đại hoặc lớn hơn giá trị cần tìm.

Đáp án: D.

70 km/h

— đây là giá trị cực tiểu của tốc độ trên đồ thị.

Câu 6

Một lớp có $40$ học sinh, trong đó có $20$ học sinh nam và $20$ học sinh nữ. Số cách chọn một ban cán sự lớp $4$ người, trong đó có ít nhất một học sinh nữ là

A

$C_{40}^{4}$

B

$C_{20}^{2} + C_{20}^{2}$

C

$C_{3}^{20} + C_{1}^{20}$

D

$C_{40}^{4} - C_{20}^{4}$

Lời giải

Bước $1$ : Tính tổng số cách

Không xét giới tính, chọn $4$ học sinh từ $40$ học sinh.

C_{40}^{4}

Bước $2$ : Loại trường hợp đối

Trường hợp không có học sinh nữ là chọn cả $4$ người nam từ $20$ người nam.

C_{40}^{4} - C_{20}^{4}

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Chọn đúng yêu cầu được $C_{40}^{4} - C_{20}^{4}$ , nên chọn phương án $D$ ; $A$ chưa loại trường hợp toàn nam, còn $B$ và $C$ không biểu diễn đúng số cách cần tìm.

Đáp án: Đáp án

D

— dùng tổng số cách trừ trường hợp cả

4

học sinh đều là nam.

Câu 7

Cho $f (x)$ có bảng biến thiên như sau:

Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[- 3; 3]$ là

A

$- 23$

B

$23$

C

Không có giá trị lớn nhất

D

$3$

Lời giải

Bước 1: Đọc các giá trị cần xét

Từ bảng biến thiên, trên đoạn $[- 3; 3]$ , ta thấy giá trị lớn nhất chính là

23

Đáp án:

B

— Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là

23

.

Câu 8

Cho $f (x)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào?

A

$(- \infty; - 3)$ và $(3; + \infty)$

B

$(- 3; 0)$ và $(0; 3)$

C

$(- \infty; + \infty)$

D

$(- 3; 3)$

Lời giải

Bước 1: Đọc chiều biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, xác định các khoảng có mũi tên đi lên, tương ứng với $f^{'} (x) > 0$ .

f^{'} (x) > 0

Bước 2: Ghi các khoảng đồng biến

Bảng biến thiên cho thấy hàm số đồng biến trên hai khoảng bên ngoài các điểm $- 3$ và $3$ .

(- \infty; - 3) \cup (3; + \infty)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ . Các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt chọn khoảng nghịch biến, gộp cả miền xác định, hoặc gộp qua các điểm đổi chiều.

Đáp án: Phương án

A

:

(- \infty; - 3)

và

(3; + \infty)

— đây là các khoảng có chiều biến thiên đi lên.

Câu 9

Cho $f (x)$ có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số có cực đại tại điểm nào?

A

$x = 0$

B

$x = - 3$

C

$x = 23$

D

$x = 3$

Lời giải

Bước 1: Xét chiều biến thiên

Theo bảng biến thiên, hàm số đồng biến trước $x = - 3$ và nghịch biến sau đó.

f đ \overset{ˋ}{\overset{o}{ˆ}} ng bi \overset{ˊ}{\overset{e}{ˆ}} n tr \overset{e}{ˆ} n (- \infty; - 3), f nghịch bi \overset{ˊ}{\overset{e}{ˆ}} n tr \overset{e}{ˆ} n (- 3; 0)

Bước 2: Xác định cực đại

Tại $x = - 3$ , hàm số đổi từ đồng biến sang nghịch biến nên đạt cực đại.

x_{C Đ} = - 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án B: $x = - 3$ . A, C, D sai vì $x = 0$ là điểm không xác định, $x = 3$ là cực tiểu, còn $x = 23$ không thuộc mốc xét.

Đáp án:

x = - 3

— hàm số chuyển từ đồng biến sang nghịch biến.

Câu 10

Cho một cấp số cộng có dạng như sau: $u_{n} = - 2 n + 1$ .

Tìm công sai của cấp số cộng trên

A

$- 1$

B

$0$

C

$- 2$

D

$3$

Lời giải

Bước 1: Tính hai số hạng đầu

Thay $n = 1$ và $n = 2$ vào công thức đã cho.

u_{1} = - 2 \cdot 1 + 1 = - 1, u_{2} = - 2 \cdot 2 + 1 = - 3

Bước 2: Tính công sai

Lấy số hạng sau trừ số hạng trước.

d = u_{2} - u_{1} = - 3 - (- 1) = - 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án C vì $d = - 2$ ; A, B, D sai vì lần lượt cho $- 1$ , $0$ , $3$ .

Đáp án: C — công sai là

d = - 2

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG TP.HCM năm 2025 - Mã đề 09 — Toán học

Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Lập điều kiện

Bước 2: Tìm hệ số

Bước 3: Đếm nghiệm

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Chọn bộ chữ số

Bước 2: Sắp xếp chữ số

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Dựng mô hình tọa độ

Bước 2: Tính diện tích mặt cắt

Bước 3: Tính thể tích và đối chiếu

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Lập mặt phẳng (BCD)

Bước 2: Tính bán kính tiếp xúc

Bước 3: Viết phương trình mặt cầu

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Xác định điểm thấp nhất

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Tính tổng số cách

Bước 2: Loại trường hợp đối

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Đọc các giá trị cần xét

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Đọc chiều biến thiên

Bước 2: Ghi các khoảng đồng biến

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Xét chiều biến thiên

Bước 2: Xác định cực đại

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tính hai số hạng đầu

Bước 2: Tính công sai

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước 1: Lập mặt phẳng $(B C D)$

Bước $1$ : Tính tổng số cách

Bước $2$ : Loại trường hợp đối

Bước $3$ : Đối chiếu phương án