Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG TP.HCM năm 2025 - Mã đề 05 — Toán học môn Toán học (Đánh giá Năng lực V-ACT)

Câu 1

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = x^{3} - 3 (m + 2) x^{2} + 3 (m^{2} + 4 m) x + 1$ nghịch biến trên khoảng $(0; 1)$ ?

A

$1$

B

$4$

C

$3$

D

$2$

Lời giải

Bước 1: Tính và phân tích đạo hàm

Đạo hàm cần xét dấu là $y^{'} (x)$ .

y^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 (m + 2) x + 3 (m^{2} + 4 m) = 3 (x - m) (x - m - 4)

Bước 2: Lập điều kiện nghịch biến

Vì hệ số dương, $y^{'} (x) \leq 0$ khi $m \leq x \leq m + 4$ .

Để đúng với mọi $x \in (0; 1)$ , cần $m \leq 0$ và $m + 4 \geq 1$ .

m \leq 0 v \overset{a}{ˋ} m \geq - 3 ⟺ - 3 \leq m \leq 0

Bước 3: Đếm giá trị nguyên

Các giá trị nguyên là $m \in {- 3; - 2; - 1; 0}$ .

C = 4

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn B. B, C, D sai vì chỉ có $4$ giá trị nguyên, không phải lần lượt $1$ , $3$ , hay $2$ .

Đáp án: B — Có

4

giá trị nguyên

m \in {- 3; - 2; - 1; 0}

.

Câu 2

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của c để tồn tại các số thực a>1, b>1 thỏa mãn $lo g_{9} a = lo g_{12} b = lo g_{16} \frac{5 b - a}{c}$ ?

A

5

B

2

C

3

D

4

Lời giải

Bước $1$ : Đặt ẩn logarit chung

Đặt $t = lo g_{9} a = lo g_{12} b = lo g_{16} \frac{5 b - a}{c}$ . Khi đó $a = 9^{t}$ , $b = 1 2^{t}$ và $t > 0$ .

c = \frac{5 \cdot 1 2 ^{t} - 9 ^{t}}{1 6 ^{t}} = 5 (\frac{3}{4})^{t} - (\frac{9}{16})^{t}

Bước $2$ : Xét miền giá trị của $c$

Đặt $u = (\frac{3}{4})^{t}$ ; do $t > 0$ nên $0 < u < 1$ và $(\frac{9}{16})^{t} = u^{2}$ .

Hàm $5 u - u^{2}$ tăng trên $(0, 1)$ , nên $0 < c < 4$ .

c = 5 u - u^{2}, 0 < u < 1 ⟹ 0 < c < 4

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Các giá trị nguyên dương thỏa mãn là $c \in {1, 2, 3}$ , có $3$ giá trị.

Chọn $C$ ; $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt đếm thừa một giá trị, thiếu một giá trị và đếm thừa hai giá trị.

# {c} = 3

Đáp án: C — Vì

0 < c < 4

nên có đúng

3

giá trị nguyên dương của

c

.

Câu 3

Giả sử số lượng của một quần thể nấm $X$ tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hóa bằng hàm số $P (t) = 120 e^{0.15 t}$ , trong đó thời gian $t$ được tính bằng giờ. Tại thời điểm ban đầu $t = 0$ , tốc độ tăng trưởng của quần thể nấm $X$ là

A

18 tế bào/giờ.

B

120 tế bào/giờ.

C

15 tế bào/giờ.

D

102 tế bào/giờ.

Lời giải

Bước 1: Xác định hàm số

Hàm số cần tính đạo hàm là $P (t) = 120 e^{0.15 t}$ .

P (t) = 120 e^{0.15 t}

Bước 2: Tính đạo hàm

Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm mũ.

P^{'} (t) = 120 \cdot 0.15 e^{0.15 t} = 18 e^{0.15 t}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Thay $t = 0$ vào biểu thức đạo hàm để tính tốc độ tăng trưởng ban đầu.

Chọn phương án A; B, C, D sai vì không phải giá trị của $P^{'} (0)$ .

P^{'} (0) = 18 e^{0.15 \cdot 0} = 18 e^{0} = 18

Đáp án: A — tốc độ tăng trưởng tại

t = 0

là

P^{'} (0) = 18

tế bào/giờ.

Câu 4

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{- x + 3}{x - 1}$ tại điểm có hoành độ $x = 0$ là:

A

$y = - 2 x + 3$

B

$y = - 2 x - 3$

C

$y = 2 x - 3$

D

$y = 2 x + 3$

Lời giải

Bước 1: Tính điểm và hệ số góc

Tính tung độ tiếp điểm và đạo hàm tại $x_{0} = 0$ .

f (0) = \frac{3}{- 1} = - 3, f^{'} (x) = \frac{( - 1 ) ( x - 1 ) - ( - x + 3 )}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{- 2}{( x - 1 ) ^{2}}, f^{'} (0) = - 2

Bước 2: Lập phương trình tiếp tuyến

Thay $x_{0} = 0$ , $f (0) = - 3$ và $f^{'} (0) = - 2$ vào công thức.

y = - 2 (x - 0) - 3 = - 2 x - 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $B$ . Các phương án $A, C, D$ sai lần lượt vì sai tung độ gốc, sai hệ số góc, và sai cả hai dấu.

Đáp án: B — Tiếp tuyến có hệ số góc

- 2

và tung độ gốc

- 3

.

Câu 5

Lớp $10 A$ có $45$ học sinh chuẩn bị cho hội diễn văn nghệ chào mừng ngày nhà giáo Việt Nam $20/11$ . Trong danh sách đăng kí tham gia tiết mục nhảy Flashmob và tiết mục hát, có $35$ học sinh tham gia tiết mục nhảy Flashmob, $10$ học sinh tham gia cả hai tiết mục. Có bao nhiêu học sinh trong lớp tham gia tiết mục hát? Biết rằng lớp $10 A$ có bạn Sơn, Mai, Ninh, Việt bị khuyết tật hòa nhập nên không tham gia tiết mục nào.

A

$15$

B

$17$

C

$18$

D

$16$

Lời giải

Bước 1: Tính số học sinh tham gia

Có $4$ học sinh không tham gia tiết mục nào.

45 - 4 = 41

Bước 2: Lập công thức hợp

Gọi số học sinh hát là $x$ .

35 + x - 10 = 41

Bước 3: Tìm số học sinh hát

Giải phương trình để tìm $x$ .

x = 41 - 35 + 10 = 16

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án D. A, B, C sai vì lần lượt cho $15$ , $17$ , $18$ , đều không bằng kết quả $16$ .

Đáp án: D — Có

16

học sinh tham gia tiết mục hát.

Câu 6

Tập xác định của hàm số $y = \frac{1}{4 ^{x} - 2} + ln (2 x^{2} - 4)$ là

A

$(2; + \infty)$

B

$R ∖ {\frac{1}{2}}$

C

$\emptyset$

D

$(\frac{1}{2}; + \infty)$

Lời giải

Bước 1: Điều kiện mẫu thức

Căn ở mẫu xác định và khác $0$ khi biểu thức dưới căn dương.

4^{x} - 2 > 0 ⟺ 4^{x} > 2 ⟺ x > \frac{1}{2}

Bước 2: Điều kiện logarit

Đối số của logarit phải dương.

2 x^{2} - 4 > 0 ⟺ x^{2} > 2 ⟺ x < - 2 hoặc x > 2

Bước 3: Giao các điều kiện

Lấy giao hai miền điều kiện để được tập xác định.

D = (\frac{1}{2}; + \infty) \cap [(- \infty; - 2) \cup (2; + \infty)] = (2; + \infty)

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn $A$ . $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt không xét đúng điều kiện logarit, kết luận miền rỗng và chỉ xét điều kiện mẫu thức.

Đáp án: A — Tập xác định là

(2; + \infty)

.

Câu 7

Cho hàm số $f (x) = \frac{2 x + m - 1}{x + 1}$ .

Với $m = 0$ , nhận định nào sau đây là sai?

A

Hàm số đồng biến trên đoạn $[- 10; - 2]$ .

B

Hàm số đồng biến trên $[1; + \infty)$ .

C

Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định.

D

Hàm số đồng biến trên $(- \infty; 0]$ .

Lời giải

Bước 1: Xác định hàm số

Thay $m = 0$ và tìm miền xác định.

f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 1} = 2 - \frac{3}{x + 1}, D = R ∖ {- 1}

Bước 2: Xét chiều biến thiên

Đạo hàm dương trên từng khoảng xác định nên hàm số đồng biến tại đó.

f^{'} (x) = \frac{3}{( x + 1 ) ^{2}} > 0 (x \neq = - 1) \Rightarrow f đ \overset{ˋ}{\overset{o}{ˆ}} ng bi \overset{ˊ}{\overset{e}{ˆ}} n tr \overset{e}{ˆ} n (- \infty; - 1) v \overset{a}{ˋ} (- 1; + \infty)

Bước 3: Đối chiếu phương án

$A$ , $B$ , $C$ đúng vì lần lượt nằm trong một khoảng xác định hoặc là các khoảng xác định; $D$ sai vì $(- \infty; 0]$ chứa $- 1$ , nơi hàm số không xác định.

Đáp án: D —

(- \infty; 0]

chứa điểm

x = - 1

, tại đó hàm số không xác định.

Câu 8

Cho hàm số $f (x) = \frac{2 x + m - 1}{x + 1}$ .

Tìm $m$ để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định:

A

$m > 3$ .

B

$m \geq 3$ .

C

$m < 0$ .

D

$m \leq 0$ .

Lời giải

Bước $1$ : Biến đổi hàm số

Tách hàm số về dạng thuận tiện để tính đạo hàm.

f (x) = \frac{2 x + m - 1}{x + 1} = 2 + \frac{m - 3}{x + 1}, D = R ∖ {- 1}

Bước $2$ : Xét dấu đạo hàm

Vì mẫu số bình phương luôn dương trên tập xác định, dấu của đạo hàm phụ thuộc vào $3 - m$ .

f^{'} (x) = - \frac{m - 3}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{3 - m}{( x + 1 ) ^{2}}; f^{'} (x) < 0 ⟺ 3 - m < 0 ⟺ m > 3

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Phương án đúng là $A$ vì điều kiện thu được là $m > 3$ ; $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt gồm thêm trường hợp $m = 3$ , trái điều kiện và trái điều kiện.

Đáp án: A — Hàm số nghịch biến khi và chỉ khi

m > 3

.

Câu 9

Cho hàm số $f (x) = \frac{2 x + m - 1}{x + 1}$ .

Tìm tất cả giá trị của $m$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = \frac{2 x + m - 1}{x + 1}$ trên đoạn $[1; 2]$ bằng $1$ .

A

$m = 1$ .

B

$m = - 2$ .

C

$m = 2$ .

D

Không có giá trị $m$ .

Lời giải

Bước 1: Biến đổi hàm số

Tách hàm số để xét nhanh đạo hàm.

f (x) = 2 + \frac{m - 3}{x + 1}, f^{'} (x) = \frac{3 - m}{( x + 1 ) ^{2}}

Bước 2: Xét tính đơn điệu

Trên $[1; 2]$ , ta có $(x + 1)^{2} > 0$ , nên dấu của $f^{'} (x)$ phụ thuộc vào $3 - m$ .

m < 3 \Rightarrow f t \overset{a}{˘} ng; m = 3 \Rightarrow f kh \overset{o}{ˆ} ng đ ổi; m > 3 \Rightarrow f giảm

Bước 3: Giải điều kiện giá trị nhỏ nhất

Xét từng trường hợp đơn điệu và đặt giá trị nhỏ nhất bằng $1$ .

[1; 2] min f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{m + 1}{2}, 2, \frac{m + 3}{3}, m < 3 m = 3 m > 3 = 1 \Rightarrow m = 1 hoặc m = 0; m = 0 \neq > 3

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ . $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt cho giá trị nhỏ nhất khác $1$ , không thỏa điều kiện, và phủ nhận nghiệm $m = 1$ .

m = 1

Đáp án: A — Với

m = 1

, hàm số tăng trên

[1; 2]

và đạt giá trị nhỏ nhất

f (1) = 1

.

Câu 10

Một công ty tuyển nhân viên vào làm việc và đưa ra hai phương án lựa chọn về lương như sau:

Phương án 1: Lương tháng khởi điểm là 5 triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng tăng thêm 500 nghìn đồng.

Phương án 2: Lương tháng khởi điểm là 5 triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng tăng thêm 5%.

Nếu nhân viên lựa chọn phương án 1 thì tháng thứ 8 sẽ nhận được số tiền bằng (đơn vị triệu đồng):

A

18

B

7,2

C

6

D

7,5

Lời giải

Bước 1: Xác định quý

Tháng thứ $8$ thuộc quý thứ $⌈ \frac{8}{3} ⌉ = 3$ .

⌈ \frac{8}{3} ⌉ = 3

Bước 2: Tính lương tháng thứ $8$

Đến quý thứ $3$ , lương đã tăng $3 - 1 = 2$ lần, mỗi lần $0, 5$ triệu đồng.

5 + (3 - 1) \cdot 0, 5 = 6

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án đúng là $C$ : $6$ triệu đồng. $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt tính tổng tiền, dùng mức tăng phần trăm, và cộng thêm một lần tăng.

Đáp án:

C

— Lương tháng thứ

8

là

6

triệu đồng.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG TP.HCM năm 2025 - Mã đề 05 — Toán học

Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tính và phân tích đạo hàm

Bước 2: Lập điều kiện nghịch biến

Bước 3: Đếm giá trị nguyên

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Đặt ẩn logarit chung

Bước 2: Xét miền giá trị của c

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định hàm số

Bước 2: Tính đạo hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Tính điểm và hệ số góc

Bước 2: Lập phương trình tiếp tuyến

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Tính số học sinh tham gia

Bước 2: Lập công thức hợp

Bước 3: Tìm số học sinh hát

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Điều kiện mẫu thức

Bước 2: Điều kiện logarit

Bước 3: Giao các điều kiện

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Xác định hàm số

Bước 2: Xét chiều biến thiên

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Biến đổi hàm số

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Biến đổi hàm số

Bước 2: Xét tính đơn điệu

Bước 3: Giải điều kiện giá trị nhỏ nhất

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Xác định quý

Bước 2: Tính lương tháng thứ 8

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Đặt ẩn logarit chung

Bước $2$ : Xét miền giá trị của $c$

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Biến đổi hàm số

Bước $2$ : Xét dấu đạo hàm

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước 2: Tính lương tháng thứ $8$