Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG TP.HCM năm 2025 - Mã đề 04 — Toán học môn Toán học (Đánh giá Năng lực V-ACT)

Câu 1

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $y = m x - m - 1$ cắt đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + x$ tại ba điểm A, B, C phân biệt sao cho $A B = B C$ .

A

$m \in (- \frac{5}{4}; + \infty)$

B

$m \in (- \infty; 0] \cup (4; + \infty)$

C

$m \in (- 2; + \infty)$

D

$m \in R$

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình giao điểm

Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình hiệu hai hàm số bằng $0$ .

x^{3} - 3 x^{2} + (1 - m) x + m + 1 = 0 ⟺ (x - 1) [(x - 1)^{2} - (m + 2)] = 0

Bước 2: Dùng điều kiện cách đều

Gọi ba hoành độ theo thứ tự là $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ . Điều kiện $A B = B C$ yêu cầu chúng lập cấp số cộng.

Phương trình đã phân tích cho nghiệm giữa là $1$ , nên hai nghiệm còn lại phải đối xứng qua $1$ .

x_{1} = 1 - m + 2, x_{2} = 1, x_{3} = 1 + m + 2

Bước 3: Điều kiện ba điểm phân biệt

Ba nghiệm thực và phân biệt khi căn thức xác định, đồng thời khác $0$ .

m + 2 > 0 ⟺ m > - 2

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn $C$ . Các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt loại một phần khoảng $(- 2; + \infty)$ , vừa thêm vừa thiếu giá trị, và nhận cả $m \leq - 2$ .

Đáp án: C — điều kiện ba nghiệm thực phân biệt và cách đều là

m > - 2

.

Câu 2

Một hộp đựng 11 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 11. Chọn ngẫu nhiên 4 tấm thẻ từ hộp đó. Gọi P là xác suất để tổng các số ghi trên 4 tấm thẻ ấy là một số lẻ. Khi đó P bằng:

A

$\frac{1}{12}$

B

$\frac{16}{33}$

C

$\frac{10}{33}$

D

$\frac{2}{11}$

Lời giải

Bước $1$ : Xét tính chẵn lẻ

Có $6$ số lẻ và $5$ số chẵn. Tổng bốn số lẻ khi chọn $1$ hoặc $3$ số lẻ.

C_{6}^{1} C_{5}^{3} + C_{6}^{3} C_{5}^{1} = 60 + 100 = 160

Bước $2$ : Tính xác suất

Tổng số cách chọn $4$ thẻ là $C_{11}^{4}$ .

P = \frac{C _{6}^{1} C _{5}^{3} + C _{6}^{3} C _{5}^{1}}{C _{11}^{4}} = \frac{160}{330} = \frac{16}{33}

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ . Các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt cho $\frac{1}{12}$ , $\frac{10}{33}$ và $\frac{2}{11}$ .

Đáp án: B — Vì

P = \frac{16}{33}

.

Câu 3

Tìm giới hạn sau: $x \to 2 lim \frac{4 - x ^{2}}{x + 2}$

A

$4$

B

$2$

C

$- 2$

D

$0$

Lời giải

Bước 1: Kiểm tra điều kiện

Tại $x = 2$ , mẫu số bằng $2 + 2 = 4 \neq = 0$ , nên được thế trực tiếp.

Bước 2: Tính giới hạn

Thế $x = 2$ vào biểu thức đã cho.

x \to 2 lim \frac{4 - x ^{2}}{x + 2} = \frac{4 - 2 ^{2}}{2 + 2} = 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $D$ vì kết quả là $0$ ; $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt cho $4$ , $2$ , và $- 2$ .

Đáp án: D — Thế trực tiếp

x = 2

cho kết quả

0

.

Câu 4

Đạo hàm của hàm số $f (x) = ln (ln x)$ là:

A

$\frac{1}{2 x l n x l n ( l n x )}$

B

$\frac{1}{2 l n x l n ( l n x )}$

C

$\frac{1}{x l n x l n ( l n x )}$

D

$\frac{1}{l n x l n ( l n x )}$

Lời giải

Bước $1$ : Đặt hàm trung gian

Đặt $u = ln (ln x)$ , khi đó $f (x) = u$ .

u = ln (ln x), f (x) = u

Bước $2$ : Tính đạo hàm bên trong

Dùng quy tắc dây chuyền để tính đạo hàm của $u$ .

u^{'} = \frac{1}{ln x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x ln x}

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Áp dụng $f^{'} (x) = \frac{u ^{'}}{2 u}$ để được kết quả.

Phương án $A$ đúng; $B$ , $C$ , $D$ lần lượt thiếu $x$ , thiếu hệ số $\frac{1}{2}$ , và thiếu cả hai yếu tố đó.

f^{'} (x) = \frac{1}{2 ln ( ln x )} \cdot \frac{1}{x ln x} = \frac{1}{2 x ln x ln ( ln x )}

Đáp án:

A

— Vì

f^{'} (x) = \frac{1}{2 x l n x l n ( l n x )}

.

Câu 5

Cho $a > b > c > 1$ . Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

A

$a^{x} + c^{x} = b^{x}$

B

$a^{x} + b^{x} = c^{x}$

C

$a^{x} + b^{x} + c^{x} = 1$

D

$b^{x} + c^{x} = a^{x}$

Lời giải

Bước 1: Xét phương án A

Nếu $x > 0$ , $a^{x} > b^{x}$ nên $a^{x} + c^{x} = b^{x}$ không thể đúng.

Nếu $x < 0$ , $c^{x} > b^{x}$ ; còn $x = 0$ cho $2 \neq = 1$ .

a^{x} > b^{x} (x > 0), c^{x} > b^{x} (x < 0), a^{0} + c^{0} = 2 \neq = 1

Bước 2: Kiểm tra các phương án còn lại

Dùng tính liên tục: mỗi hàm dưới đây nhận giá trị lớn hơn $1$ tại $x = 0$ và tiến tới $0$ ở một đầu vô cực.

Vì vậy, mỗi phương trình tương ứng đều có nghiệm.

h_{B} (x) h_{C} (x) h_{D} (x) = (\frac{a}{c})^{x} + (\frac{b}{c})^{x}, = a^{x} + b^{x} + c^{x}, = (\frac{b}{a})^{x} + (\frac{c}{a})^{x}, h_{B} (0) h_{C} (0) h_{D} (0) = 2 > 1, = 3 > 1, = 2 > 1, x \to - \infty lim h_{B} (x) x \to - \infty lim h_{C} (x) x \to + \infty lim h_{D} (x) = 0 < 1, = 0 < 1, = 0 < 1.

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $A$ vì phương trình này sai với cả $x > 0$ , $x < 0$ và $x = 0$ .

$B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt đều có nghiệm theo định lý giá trị trung gian.

Đáp án:

A

— phương trình vô nghiệm vì không thể xảy ra với mọi trường hợp của

x

.

Câu 6

Có tất cả bao nhiêu đường thẳng cắt đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 3}{x - 1}$ tại hai điểm phân biệt mà hai giao điểm đó có hoành độ và tung độ là các số nguyên?

A

$1$

B

$2$

C

$6$

D

$12$

Lời giải

Bước 1: Tìm các điểm nguyên

Với $x, y \in Z$ , cần có $x - 1$ là ước khác $0$ của $5$ .

y = 2 + \frac{5}{x - 1}, x - 1 \in {- 5, - 1, 1, 5} ⟹ (x, y) \in {(- 4, 1), (0, - 3), (2, 7), (6, 3)}

Bước 2: Đếm các đường thẳng

Chọn hai điểm bất kỳ trong bốn điểm trên, ta được một đường thẳng duy nhất.

C_{4}^{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án C; các phương án $A, B, D$ sai vì lần lượt cho $1, 2, 12$ thay vì $6$ .

Đáp án: C — Có

4

điểm nguyên nên số đường thẳng là

C_{4}^{2} = 6

.

Câu 7

Cho hàm số $y = f (x)$ là hàm số bậc hai có đồ thị như hình vẽ.

Tích phân $\int_{0}^{1} f (x) d x + \int_{3}^{5} f (x) d x$ bằng

A

$5$

B

$10$

C

$8$

D

$6$

Lời giải

Bước 1: Xác định hàm số

Dùng dạng đỉnh với đỉnh $(2, - 1)$ , rồi thay $f (0) = 3$ để tìm $a$ .

f (x) = a (x - 2)^{2} - 1, f (0) = 3 \Rightarrow 4 a - 1 = 3 \Rightarrow a = 1, f (x) = (x - 2)^{2} - 1 = x^{2} - 4 x + 3

Bước 2: Tính tổng tích phân

Sử dụng nguyên hàm $\frac{x ^{3}}{3} - 2 x^{2} + 3 x$ .

\int_{0}^{1} f (x) d x + \int_{3}^{5} f (x) d x = [\frac{x ^{3}}{3} - 2 x^{2} + 3 x]_{0}^{1} + [\frac{x ^{3}}{3} - 2 x^{2} + 3 x]_{3}^{5} = \frac{4}{3} + \frac{20}{3} = 8

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án C: $8$ ; A, B, D sai vì lần lượt cho $5$ , $10$ , $6$ , đều khác giá trị tích phân.

Đáp án: C — Tổng hai tích phân bằng

8

.

Câu 8

Cho hàm số $y = f (x)$ là hàm số bậc hai có đồ thị như hình vẽ.

Nếu $m$ là tham số, tích phân $\int_{0}^{2} (4 x^{3} + m) d x = 4$ thì

A

$m = 4$

B

$m = - 4$

C

$m = - 6$

D

$m = 6$

Lời giải

Bước 1: Tìm nguyên hàm

Nguyên hàm của biểu thức dưới dấu tích phân là $x^{4} + m x$ .

\int_{0}^{2} (4 x^{3} + m) d x = [x^{4} + m x]_{0}^{2}

Bước 2: Lập và giải phương trình

Thay cận vào điều kiện đã cho rồi giải phương trình theo $m$ .

16 + 2 m = 4 ⟹ 2 m = - 12 ⟹ m = - 6

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $C$ vì $m = - 6$ ; $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt cho giá trị tích phân $24$ , $12$ , $28$ thay vì $4$ .

m = - 6 ⟹ C

Đáp án:

C

— Vì

16 + 2 m = 4

nên

m = - 6

.

Câu 9

Cho hàm số $y = f (x)$ là hàm số bậc hai có đồ thị như hình vẽ.

Tích phân $\int_{1}^{2} (π x^{5} + e x^{2} + 1) d x = mπ + n e + p$ . Giá trị của $2 m - 3 n + p$ bằng bao nhiêu biết $m, n, p$ là các số thực?

A

$1$

B

$7$

C

$21$

D

$15$

Lời giải

Bước $1$ : Tách tích phân

Tách theo tính tuyến tính của tích phân.

\int_{1}^{2} (π x^{5} + e x^{2} + 1) d x = π \int_{1}^{2} x^{5} d x + e \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} 1 d x

Bước $2$ : Tính từng phần

Tính các nguyên hàm và thay cận.

\frac{π}{6} (2^{6} - 1) + \frac{e}{3} (2^{3} - 1) + (2 - 1) = \frac{21}{2} π + \frac{7}{3} e + 1

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Suy ra $m = \frac{21}{2}$ , $n = \frac{7}{3}$ , $p = 1$ và tính giá trị cần tìm.

$D$ đúng; $A$ , $B$ , $C$ sai vì các giá trị $1$ , $7$ , $21$ đều khác $15$ .

2 m - 3 n + p = 2 \cdot \frac{21}{2} - 3 \cdot \frac{7}{3} + 1 = 15

Đáp án:

D

— Vì

2 m - 3 n + p = 15

.

Câu 10

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ xác định bởi ${u_{1} + u_{5} - u_{3} = 10 u_{1} + u_{6} = 17$ .

Công sai của cấp số cộng trên là bao nhiêu?

A

$3$

B

$- 1$

C

$- 3$

D

$4$

Lời giải

Bước 1: Biểu diễn các số hạng

Dùng $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ để biến đổi hai điều kiện.

u_{1} + u_{5} - u_{3} = u_{1} + 2 d = 10, u_{1} + u_{6} = 2 u_{1} + 5 d = 17

Bước 2: Khử $u_{1}$ và tìm $d$

Nhân phương trình đầu với $2$ , rồi trừ phương trình thứ hai.

{2 u_{1} + 4 d = 20 2 u_{1} + 5 d = 17 \Rightarrow d = 17 - 20 = - 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Công sai là $d = - 3$ .

Chọn $C$ ; $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt cho $d = 3$ , $d = - 1$ , $d = 4$ .

d = - 3

Đáp án:

C

— Vì hệ phương trình tương đương cho công sai

d = - 3

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG TP.HCM năm 2025 - Mã đề 04 — Toán học

Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình giao điểm

Bước 2: Dùng điều kiện cách đều

Bước 3: Điều kiện ba điểm phân biệt

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Xét tính chẵn lẻ

Bước 2: Tính xác suất

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Kiểm tra điều kiện

Bước 2: Tính giới hạn

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Đặt hàm trung gian

Bước 2: Tính đạo hàm bên trong

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Xét phương án A

Bước 2: Kiểm tra các phương án còn lại

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Tìm các điểm nguyên

Bước 2: Đếm các đường thẳng

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Xác định hàm số

Bước 2: Tính tổng tích phân

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Tìm nguyên hàm

Bước 2: Lập và giải phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tách tích phân

Bước 2: Tính từng phần

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Biểu diễn các số hạng

Bước 2: Khử u1​ và tìm d

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Xét tính chẵn lẻ

Bước $2$ : Tính xác suất

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Đặt hàm trung gian

Bước $2$ : Tính đạo hàm bên trong

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Tách tích phân

Bước $2$ : Tính từng phần

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước 2: Khử $u_{1}$ và tìm $d$