Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG TP.HCM năm 2025 - Mã đề 03 — Toán học môn Toán học (Đánh giá Năng lực V-ACT)

Câu 1

Tìm tập xác định của hàm số $y = ln (2 x^{2} - \frac{1}{x})$ .

A

$D = (1; + \infty)$

B

$D = (- \frac{1}{2}, 0) \cup (1, + \infty)$ ;

C

$D = (- \infty; 0) \cup (1; + \infty)$

D

$D = (- \infty; 0) \cup [1; + \infty)$

Lời giải

Bước 1: Lập điều kiện

Đặt $f (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{x}$ . Điều kiện xác định là $f (x) > 1$ .

2 x^{2} - \frac{1}{x} > 1, x \neq = 0

Bước 2: Giải bất phương trình

Phân tích tử số rồi xét dấu phân thức.

\frac{2 x ^{3} - x - 1}{x} > 0 ⟺ \frac{( x - 1 ) ( 2 x ^{2} + 2 x + 1 )}{x} > 0; 2 x^{2} + 2 x + 1 > 0

Bước 3: Kết luận miền nghiệm

Vì $2 x^{2} + 2 x + 1 > 0$ với mọi $x$ , phân thức dương khi $x < 0$ hoặc $x > 1$ .

D = (- \infty; 0) \cup (1; + \infty)

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn C. A sai vì bỏ miền $x < 0$ ; B sai vì ghi lẫn nhiều tập hợp, không xác định một đáp án duy nhất; D sai vì nhận cả $x = 1$ .

Đáp án: C — Tập xác định là

D = (- \infty; 0) \cup (1; + \infty)

.

Câu 2

Một nhóm thợ phải thực hiện kế hoạch sản xuất $3000$ sản phẩm. Trong 8 ngày đầu họ thực hiện đúng mức đề ra, những ngày còn lại họ vượt mức mỗi ngày $10$ sản phẩm nên đã hoàn thành sớm hơn dự định $2$ ngày. Hỏi theo kế hoạch cần sản xuất mỗi ngày bao nhiêu sản phẩm.

A

$100$ sản phẩm

B

$200$ sản phẩm

C

$300$ sản phẩm

D

$400$ sản phẩm

Lời giải

Bước 1: Biểu diễn số ngày kế hoạch

Gọi $x$ là số sản phẩm kế hoạch mỗi ngày và $N$ là số ngày theo kế hoạch.

N = \frac{3000}{x}

Bước 2: Lập phương trình thực tế

Số ngày làm vượt mức là $N - 10$ ; tổng sản phẩm thực tế vẫn bằng $3000$ .

8 x + (N - 10) (x + 10) = 3000; 8 x + (\frac{3000}{x} - 10) (x + 10) = 3000

Bước 3: Giải phương trình

Rút gọn và loại nghiệm âm.

x^{2} + 50 x - 15000 = 0; Δ = 5 0^{2} + 4 \cdot 15000 = 62500 = 25 0^{2}; x = \frac{- 50 + 250}{2} = 100

Bước 4: Đối chiếu phương án

Đáp án đúng là A, tương ứng $100$ sản phẩm/ngày; B, C, D sai vì không phải nghiệm dương của phương trình.

Đáp án: A —

100

sản phẩm/ngày là nghiệm dương phù hợp.

Câu 3

Cho hình lăng trụ đứng $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy $A B C$ là tam giác đều cạnh $a$ , $∠ A C B = 6 0^{\circ}$ , cạnh $B C = a$ , đường chéo $A B^{'}$ tạo với mặt phẳng $(A B C)$ một góc $3 0^{\circ}$ . Thể tích khối lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ là:

A

$\frac{a ^{3}}{4}$

B

$\frac{a ^{2} 3}{3}$

C

$a^{2} 3$

D

$\frac{3 a ^{2} 3}{2}$

Lời giải

Bước 1: Xác định diện tích đáy

Đáy $A B C$ là tam giác đều cạnh $a$ nên diện tích đáy là $S_{△ A B C}$ .

S_{△ A B C} = \frac{a ^{2} 3}{4}

Bước 2: Tìm chiều cao

Xét tam giác vuông $A B B^{'}$ tại $B$ . Góc giữa $A B^{'}$ và $(A B C)$ là $∠ B A B^{'} = 3 0^{\circ}$ .

tan 3 0^{\circ} = \frac{B B ^{'}}{A B} = \frac{h}{a} \Rightarrow h = a tan 3 0^{\circ} = \frac{a}{3}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Thể tích khối lăng trụ được tính bởi $V = S_{△ A B C} \cdot h$ .

V = \frac{a ^{2} 3}{4} \cdot \frac{a}{3} = \frac{a ^{3}}{4}

Đáp án: A — Vì

V = \frac{a ^{3}}{4}

, còn B, C, D không đúng với kết quả tính được.

Câu 4

Trong không gian cho hệ trục tọa độ $O x y z$ , cho ba điểm $A (1; - 2; 3)$ ; $B (- 1; 2; 5)$ ; $C (0; 0; 1)$ . Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $A B C$

A

$G (0; 0; 3)$

B

$G (0; 0; 9)$

C

$G (- 1; 0; 3)$

D

$G (0; 0; 1)$

Lời giải

Bước 1: Xác định tọa độ các điểm

Các điểm đã cho là $A (1; - 2; 3)$ , $B (- 1; 2; 5)$ và $C (0; 0; 1)$ .

Bước 2: Tính tổng tọa độ

Tính tổng tọa độ theo từng trục.

x_{A} + x_{B} + x_{C} = 1 + (- 1) + 0 = 0; y_{A} + y_{B} + y_{C} = - 2 + 2 + 0 = 0; z_{A} + z_{B} + z_{C} = 3 + 5 + 1 = 9

Bước 3: Tính tọa độ trọng tâm

Chia các tổng tọa độ cho $3$ để được tọa độ điểm $G$ .

G (\frac{0}{3}; \frac{0}{3}; \frac{9}{3}) = G (0; 0; 3)

Bước 4: Đối chiếu phương án

Phương án $A$ đúng vì $G (0; 0; 3)$ ; các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì không trùng với kết quả tính được.

Đáp án: A — Trọng tâm là

G (0; 0; 3)

theo công thức tọa độ.

Câu 5

Với $x, y$ là các số thực dương, kết quả khi rút gọn biểu thức $P = \frac{x ln y}{ln y ^{x}}$ bằng

A

$P = 1$ .

B

$P = x$ .

C

$P = y$ .

D

$P = 2$ .

Lời giải

Bước $1$ : Biến đổi mẫu số

Áp dụng công thức lôgarit của lũy thừa cho mẫu số.

ln (y^{x}) = x ln y

Bước $2$ : Đối chiếu phương án

Với $y \neq = 1$ , rút gọn được $P = 1$ . Chọn $A$ ; $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt cho kết quả $x$ , $y$ , $2$ thay vì $1$ .

P = \frac{x ln y}{x ln y} = 1

Đáp án: A — Vì

ln (y^{x}) = x ln y

nên

P = 1

.

Câu 6

Cho đa giác đều có 2018 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật có 4 đỉnh là các đỉnh của đa giác đã cho?

A

$C_{1009}^{4}$

B

$C_{2018}^{2}$

C

$C_{1009}^{2}$

D

$C_{2018}^{4}$

Lời giải

Bước 1: Đếm số đường kính

Số cặp đỉnh đối diện, tức số đường kính qua các đỉnh, là:

\frac{2018}{2} = 1009

Bước 2: Chọn hai đường kính

Mỗi hình chữ nhật tương ứng với việc chọn $2$ đường kính khác nhau trong $1009$ đường kính.

C_{1009}^{2}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án C đúng; các phương án A, B, D sai vì không biểu diễn việc chọn $2$ đường kính trong $1009$ đường kính.

Đáp án: C — Mỗi hình chữ nhật được xác định bởi việc chọn

2

đường kính khác nhau trong

1009

đường kính.

Câu 7

Trong không gian với hệ tọa độ $(O x y z)$ , cho năm điểm tạo thành một hình chóp có đáy là tứ giác với $A (0; 0; 3)$ , $B (2; - 1; 0)$ , $C (3; 2; 4)$ , $D (1; 3; 5)$ , $E (4; 2; 1)$ .

Giá trị tích có hướng $[A B, A D]$ bằng bao nhiêu?

A

$(- 7; 7; - 7)$

B

$(7; - 7; 7)$

C

$(1; - 1; 1)$

D

$(- 1; 1; - 1)$

Lời giải

Bước 1: Tính vectơ $A B$

Lấy tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu.

A B = B - A = (2 - 0; - 1 - 0; 0 - 3) = (2; - 1; - 3)

Bước 2: Tính vectơ $A D$

Lấy tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu.

A D = D - A = (1 - 0; 3 - 0; 5 - 3) = (1; 3; 2)

Bước 3: Tính tích có hướng

Áp dụng công thức tích có hướng cho hai vectơ vừa tính.

[A B, A D] = ((- 1) \times 2 - (- 3) \times 3; (- 3) \times 1 - 2 \times 2; 2 \times 3 - (- 1) \times 1) = (7; - 7; 7)

Bước 4: Đối chiếu phương án

Kết quả là $(7; - 7; 7)$ nên chọn phương án $B$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì không trùng với kết quả tính được.

Đáp án:

B

— vì

[A B, A D] = (7; - 7; 7)

.

Câu 8

Trong không gian với hệ tọa độ $(O x y z)$ , cho năm điểm tạo thành một hình chóp có đáy là tứ giác với $A (0; 0; 3)$ , $B (2; - 1; 0)$ , $C (3; 2; 4)$ , $D (1; 3; 5)$ , $E (4; 2; 1)$ .

Nhận định nào sau đây đúng?

A

$A B = A C = A D$

B

$A B = A C = A E$

C

$A B = A E = A D$

D

$A B = A E$

Lời giải

Bước 1: Tính $A B$

Áp dụng công thức khoảng cách trong không gian:

A B = (2 - 0)^{2} + (- 1 - 0)^{2} + (0 - 3)^{2} = 4 + 1 + 9 = 14

Bước 2: Tính $A C$ và $A D$

Tính tương tự khoảng cách từ $A$ đến $C$ và $D$ :

A C A D = (3 - 0)^{2} + (2 - 0)^{2} + (4 - 3)^{2} = 9 + 4 + 1 = 14, = (1 - 0)^{2} + (3 - 0)^{2} + (5 - 3)^{2} = 1 + 9 + 4 = 14 .

Bước 3: Tính $A E$

Khoảng cách từ $A$ đến $E$ là:

A E = (4 - 0)^{2} + (2 - 0)^{2} + (1 - 3)^{2} = 16 + 4 + 4 = 24

Bước 4: Đối chiếu phương án

Có $A B = A C = A D = 14$ , còn $A E = 24$ nên khác các khoảng cách trên. Chọn phương án $A$ ; các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì đều chứa đẳng thức với $A E$ hoặc không đúng với kết quả tính được.

Đáp án: A — vì

A B = A C = A D = 14

, còn

A E = 24

.

Câu 9

Trong không gian với hệ tọa độ $(O x y z)$ , cho năm điểm tạo thành một hình chóp có đáy là tứ giác với $A (0; 0; 3)$ , $B (2; - 1; 0)$ , $C (3; 2; 4)$ , $D (1; 3; 5)$ , $E (4; 2; 1)$ .

Đỉnh của hình chóp tương ứng với $5$ điểm trên là

A

Điểm $C$

B

Điểm $A$

C

Điểm $B$

D

Điểm $D$

Lời giải

Bước 1: Xét tính đồng phẳng của $A, B, C, D$

Tính các vectơ: $A B = (2; - 1; - 3), A C = (3; 2; 1), A D = (1; 3; 2)$ .

Tính tích hỗn tạp $[A B, A C] \cdot A D = 2 (4 - 3) - (- 1) (6 - 1) - 3 (9 - 2) = 2 + 5 - 21 = - 14 \neq = 0$ .

[A B, A C] \cdot A D = - 14

Bước 2: Kiểm tra điểm $E$ với mặt phẳng $(A B C D)$

Vì $A, B, C, D$ không đồng phẳng, ta kiểm tra $E$ có nằm trên mặt phẳng $(B C D)$ không.

Tính $B C = (1; 3; 4), B D = (- 1; 4; 5), B E = (2; 3; 1)$ . Tích hỗn tạp $[B C, B D] \cdot B E = 1 (4 - 15) - 3 (- 1 - 10) + 4 (- 3 - 8) = - 11 + 33 - 44 = - 22 \neq = 0$ .

[B C, B D] \cdot B E = - 22

Bước 3: Đối chiếu phương án

Xét $4$ điểm $B, C, D, E$ : $B C = (1; 3; 4), B D = (- 1; 4; 5), B E = (2; 3; 1)$ . Tích hỗn tạp là $- 22 \neq = 0$ .

Xét $4$ điểm $A, B, C, E$ : $A B = (2; - 1; - 3), A C = (3; 2; 1), A E = (4; 2; - 2)$ . $[A B, A C] = (5; - 11; 7)$ . Tích vô hướng với $A E$ là $20 - 22 - 14 = - 16 \neq = 0$ .

Xét $4$ điểm $A, C, D, E$ : $A C = (3; 2; 1), A D = (1; 3; 2), A E = (4; 2; - 2)$ . $[A C, A D] = (1; - 5; 7)$ . Tích vô hướng với $A E$ là $4 - 10 - 14 = - 20 \neq = 0$ .

Xét $4$ điểm $A, B, D, E$ : $A B = (2; - 1; - 3), A D = (1; 3; 2), A E = (4; 2; - 2)$ . $[A B, A D] = (7; - 7; 7)$ . Tích vô hướng với $A E$ là $28 - 14 - 14 = 0$ .

Vậy $A, B, D, E$ đồng phẳng, đỉnh là $C$ .

Đáp án: A — Vì

4

điểm

A, B, D, E

đồng phẳng nên

C

là đỉnh của hình chóp, các phương án còn lại sai do các bộ

4

điểm tương ứng không đồng phẳng.

Câu 10

Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ , cho ba điểm $A (- 1; 2), B (2; - 2), C (3; 1)$ .

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm $A, B$ :

A

${x = 3 t - 1 y = - 4 t + 2, t \in R$

B

${x = 3 t - 1 y = - 4 t - 2, t \in R$

C

${x = t + 3 y = - 2 t + 4, t \in R$

D

${x = 3 t + 1 y = 4 t + 2, t \in R$

Lời giải

Bước 1: Tính vectơ chỉ phương

Tính hiệu tọa độ của $B$ và $A$ để được $A B$ .

A B = B - A = (2 - (- 1); - 2 - 2) = (3; - 4)

Bước 2: Viết phương trình tham số

Dùng điểm $A (- 1; 2)$ và vectơ $A B = (3; - 4)$ .

{x = - 1 + 3 t y = 2 - 4 t, t \in R \Leftrightarrow {x = 3 t - 1 y = - 4 t + 2, t \in R

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ . Các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt không đi qua $A$ , có vectơ chỉ phương không phù hợp và sai dấu hệ số.

Đáp án: Đáp án

A

— vì đường thẳng đi qua

A

và có vectơ chỉ phương

A B = (3; - 4)

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG TP.HCM năm 2025 - Mã đề 03 — Toán học

Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Lập điều kiện

Bước 2: Giải bất phương trình

Bước 3: Kết luận miền nghiệm

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Biểu diễn số ngày kế hoạch

Bước 2: Lập phương trình thực tế

Bước 3: Giải phương trình

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định diện tích đáy

Bước 2: Tìm chiều cao

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Xác định tọa độ các điểm

Bước 2: Tính tổng tọa độ

Bước 3: Tính tọa độ trọng tâm

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Biến đổi mẫu số

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Đếm số đường kính

Bước 2: Chọn hai đường kính

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Tính vectơ AB

Bước 2: Tính vectơ AD

Bước 3: Tính tích có hướng

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Tính AB

Bước 2: Tính AC và AD

Bước 3: Tính AE

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Xét tính đồng phẳng của A,B,C,D

Bước 2: Kiểm tra điểm E với mặt phẳng (ABCD)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tính vectơ chỉ phương

Bước 2: Viết phương trình tham số

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Biến đổi mẫu số

Bước $2$ : Đối chiếu phương án

Bước 1: Tính vectơ $A B$

Bước 2: Tính vectơ $A D$

Bước 1: Tính $A B$

Bước 2: Tính $A C$ và $A D$

Bước 3: Tính $A E$

Bước 1: Xét tính đồng phẳng của $A, B, C, D$

Bước 2: Kiểm tra điểm $E$ với mặt phẳng $(A B C D)$