Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG TP.HCM năm 2025 - Mã đề 02 — Toán học môn Toán học (Đánh giá Năng lực V-ACT)

Câu 1

Cho hàm số bậc ba $y = f (x)$ có đồ thị $(C)$ như hình vẽ, đường thẳng $d$ có phương trình $y = x - 1$ . Biết phương trình $f (x) = 0$ có ba nghiệm $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ . Giá trị của $x_{1} x_{3}$ bằng

A

$- 2$

B

$- \frac{5}{2}$

C

$- \frac{7}{3}$

D

$- 3$

Lời giải

Bước 1: Đọc hai nghiệm ngoài cùng

Từ đồ thị, ba giao điểm của $(C)$ với trục $O x$ có hoành độ $- 1$ , $1$ , $2$ .

Suy ra $x_{1} = - 1$ và $x_{3} = 2$ .

x_{1} = - 1, x_{2} = 1, x_{3} = 2

Bước 2: Tính tích cần tìm

Nhân hai nghiệm ngoài cùng theo yêu cầu.

x_{1} x_{3} = (- 1) \cdot 2 = - 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A.

B, C, D sai vì lần lượt cho kết quả $- \frac{5}{2}$ , $- \frac{7}{3}$ và $- 3$ , không bằng $x_{1} x_{3}$ .

Đáp án: A — Vì

x_{1} = - 1

,

x_{3} = 2

nên

x_{1} x_{3} = - 2

.

Câu 2

Đặt $a = lo g_{27} 5, b = lo g_{7} 7, c = lo g_{3} 3$ . Khi đó $lo g_{12} 35$ bằng

A

$\frac{3 a c + 3 b}{c + 1}$ .

B

$\frac{2 a c + 3 b}{c + 3}$ .

C

$\frac{l n 35}{l n 12}$

D

$\frac{2 a c + 3 b}{c + 2}$ .

Lời giải

Bước $1$ : Tính các giá trị đã cho

Dùng tính chất $lo g_{x} x = 1$ .

b = lo g_{7} 7 = 1, c = lo g_{3} 3 = 1

Bước $2$ : Đổi cơ số biểu thức

Áp dụng công thức đổi cơ số và tính gần đúng.

lo g_{12} 35 = \frac{ln 35}{ln 12} \approx 1.4307

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Không phương án nào bằng kết quả trên; các phương án $A$ , $B$ , $C$ , $D$ lần lượt cho giá trị xấp xỉ $2.2324$ , $0.9941$ , $1.4883$ , $1.3255$ .

lo g_{12} 35 = \frac{ln 35}{ln 12}

Đáp án: Không có phương án — kết quả đúng là

lo g_{12} 35 = \frac{l n 35}{l n 12} \approx 1.4307

.

Câu 3

Cho khối lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ . Gọi $E, F$ lần lượt là trung điểm của $A A^{'}, C C^{'}$ . Mặt phẳng (BEF) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tỉ số thể tích của hai phần đó là:

A

1:3

B

1:1

C

1:2

D

2:3

Lời giải

Bước 1: Lập hệ tọa độ

Chọn $A = (0, 0, 0)$ , $B = (1, 0, 0)$ , $C = (0, 1, 0)$ , $A^{'} = (0, 0, 1)$ .

E = (0, 0, \frac{1}{2}), F = (0, 1, \frac{1}{2}), (B E F) : x + 2 z = 1

Bước 2: Tính hai thể tích

Phần dưới mặt phẳng có $0 \leq z \leq \frac{1}{2}$ , $0 \leq x \leq 1 - 2 z$ , $0 \leq y \leq 1 - x$ .

Thể tích toàn khối là $\frac{1}{2}$ theo hệ tọa độ đã chọn.

V_{1} = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \int_{0}^{1 - 2 z} (1 - x) d x d z = \frac{1}{6}, V_{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tỉ số hai phần là $V_{1} : V_{2} = \frac{1}{6} : \frac{1}{3} = 1 : 2$ .

Phương án $C$ đúng; $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt cho $1 : 3$ , $1 : 1$ , $2 : 3$ , đều khác $1 : 2$ .

V_{1} : V_{2} = \frac{1}{6} : \frac{1}{3} = 1 : 2

Đáp án: C — Tỉ số thể tích hai phần là

1 : 2

.

Câu 4

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho ba vectơ $a = 2 i + 3 j - 5 k, b = - 3 j + 4 k, c = - i - 2 j$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A

$a = (2; 3; - 5), b = (- 3; 4; 0), c = (- 1; - 2; 0)$

B

$a = (2; 3; - 5), b = (- 3; 4; 0), c = (0; - 2; 0)$

C

$a = (2; 3; - 5), b = (0; - 3; 4), c = (- 1; - 2; 0)$

D

$a = (2; 3; - 5), b = (1; - 3; 4), c = (- 1; - 2; 1)$

Lời giải

Bước 1: Đọc tọa độ từng vectơ

Lấy lần lượt hệ số của $i, j, k$ .

a = (2; 3; - 5), b = (0; - 3; 4), c = (- 1; - 2; 0)

Bước 2: Kiểm tra các thành phần

Vectơ $b$ không có thành phần $i$ ; vectơ $c$ không có thành phần $k$ .

b_{1} = 0, c_{3} = 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn C vì khớp đúng cả ba bộ tọa độ. A, B, D sai vì lần lượt đặt sai tọa độ $b,$ đặt sai tọa độ $c,$ và thêm sai các thành phần của $b, c$ .

C

Đáp án: C —

a = (2; 3; - 5), b = (0; - 3; 4), c = (- 1; - 2; 0)

.

Câu 5

Có $6$ thị trấn $A, B, C, D, E$ và $F$ được kết nối với nhau bởi một số tuyến đường. Độ dài tính bằng kilômét của các tuyến đường kết nối giữa các thị trấn được cho kèm theo bảng sau. Tổng số tuyến đường kết nối các thị trấn với nhau là:

A

$8$

B

$6$

C

$10$

D

$9$

Lời giải

Bước $1$ : Kiểm tra bảng dữ kiện

Đề chưa cung cấp bảng độ dài nên chưa biết những cặp thị trấn nào được nối.

Bước $2$ : Công thức đếm đường

Khi có bảng, đếm các ô khác $0$ rồi chia $2$ nếu mỗi đường xuất hiện ở hai chiều.

S \overset{ˊ}{\overset{o}{ˆ}} tuy \overset{ˊ}{\overset{e}{ˆ}} n đư ờng = \frac{S o ˆ ˊ o ˆ kh a ˊ c 0}{2}

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Chưa thể chọn phương án đúng vì bảng độ dài bị thiếu; các phương án $A$ , $B$ , $C$ , $D$ đều chưa đủ căn cứ đối chiếu.

Đáp án: Chưa thể xác định — cần bổ sung bảng độ dài giữa các thị trấn.

Câu 6

Cho tập $A = {2; 5}$ . Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 10 chữ số sao cho không có chữ số $2$ nào đứng cạnh nhau?

A

$144$ số

B

$143$ số

C

$1024$ số

D

$512$ số

Lời giải

Bước 1: Chia theo số chữ số $2$

Gọi $k$ là số chữ số $2$ ; các chữ số còn lại đều là $5$ .

Do không có hai chữ số $2$ kề nhau nên $0 \leq k \leq 5$ .

N = k = 0 \sum 5 C_{11 - k}^{k}

Bước 2: Tính tổng số cách

Áp dụng công thức chọn vị trí không liên tiếp:

N = C_{11}^{0} + C_{10}^{1} + C_{9}^{2} + C_{8}^{3} + C_{7}^{4} + C_{6}^{5} = 1 + 10 + 36 + 56 + 35 + 6 = 144

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ . $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt lệch kết quả, đếm toàn bộ dãy tùy ý, và chỉ tính một phần trường hợp.

Đáp án: A — Có

144

số thỏa mãn điều kiện.

Câu 7

Cho hai số thực dương $x, y$ thỏa mãn $lo g_{9} x = lo g_{6} y = lo g_{4} (2 x + y)$ .

Nếu đặt $t = lo g_{9} x$ thì mệnh đề nào dưới đây đúng?

A

$2 x + y = 4^{t}$

B

$2 x + y = t^{4}$

C

$y = 4^{t}$

D

$y = t^{4}$

Lời giải

Bước 1: Xác định giá trị chung

Theo cách đặt, giá trị chung của ba logarit là $t$ .

t = lo g_{9} x = lo g_{6} y = lo g_{4} (2 x + y)

Bước 2: Đổi sang lũy thừa

Áp dụng $lo g_{a} b = t ⟺ b = a^{t}$ cho từng logarit.

x = 9^{t}, y = 6^{t}, 2 x + y = 4^{t}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Vì $2 x + y = 4^{t}$ , chọn $A$ . $B, C, D$ sai vì lần lượt thay tổng bằng $t^{4}$ , thay $y$ bằng $4^{t}$ , và thay $y$ bằng $t^{4}$ .

2 x + y = 4^{t}

Đáp án:

A

— vì

2 x + y = 4^{t}

.

Câu 8

Cho hai số thực dương $x, y$ thỏa mãn $lo g_{9} x = lo g_{6} y = lo g_{4} (2 x + y)$ .

Giá trị của biểu thức $\frac{x}{y}$ bằng

A

$2$

B

$\frac{1}{2}$

C

$lo g_{2} \frac{3}{2}$

D

$lo g_{\frac{3}{2}} 2$

Lời giải

Bước 1: Đặt giá trị chung

Gọi giá trị chung là $t$ .

x = 9^{t}, y = 6^{t}, 2 x + y = 4^{t}

Bước 2: Giải phương trình phụ

Chia hai vế cho $4^{t}$ và đặt $r = (\frac{3}{2})^{t} > 0$ .

2 (\frac{9}{4})^{t} + (\frac{6}{4})^{t} = 1 ⟹ 2 r^{2} + r = 1 ⟹ (2 r - 1) (r + 1) = 0 ⟹ r = \frac{1}{2}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Ta có $\frac{x}{y} = (\frac{9}{6})^{t} = (\frac{3}{2})^{t} = r = \frac{1}{2}$ , chọn $B$ .

$A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt cho $2$ , $lo g_{2} \frac{3}{2}$ và $lo g_{\frac{3}{2}} 2$ , đều khác $\frac{1}{2}$ .

\frac{x}{y} = (\frac{9}{6})^{t} = (\frac{3}{2})^{t} = \frac{1}{2}

Đáp án: B — Vì

\frac{x}{y} = \frac{1}{2}

.

Câu 9

Cho tam giác $A B C$ cân tại $A$ , có $A B = 6, cm$ , $B A C = 12 0^{\circ}$ . Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $B C$ .

Diện tích tam giác $A B C$ bằng

A

$93 (cm^{2})$

B

$33 (cm^{2})$

C

$183 (cm^{2})$

D

$63 (cm^{2})$

Lời giải

Bước 1: Xác định hai cạnh

Vì tam giác $A B C$ cân tại $A$ nên $A C = A B = 6 cm$ .

A C = A B = 6 cm

Bước 2: Tính diện tích

Áp dụng công thức diện tích với hai cạnh $A B$ , $A C$ và góc xen giữa $B A C$ .

S_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot sin 12 0^{\circ} = 18 \cdot \frac{3}{2} = 93 cm^{2}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ : $93 cm^{2}$ ; $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt thiếu hệ số $3$ , thừa hệ số $2$ , và thiếu hệ số $\frac{3}{2}$ .

Đáp án: A — Diện tích bằng

93 cm^{2}

theo công thức

S = \frac{1}{2} A B \cdot A C \cdot sin 12 0^{\circ}

.

Câu 10

Cho tam giác $A B C$ cân tại $A$ , có $A B = 6, cm$ , $B A C = 12 0^{\circ}$ . Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $B C$ .

Tính $A B - C M$ .

A

$6$

B

$2$

C

$4$

D

$3$

Lời giải

Bước 1: Biến đổi vectơ trung điểm

Vì $M$ là trung điểm $B C$ , suy ra $C M = \frac{1}{2} C B$ .

C M = \frac{1}{2} C B = \frac{1}{2} (A B - A C), A B - C M = \frac{1}{2} (A B + A C)

Bước 2: Tính độ dài

Áp dụng công thức tích vô hướng với $∣ A B ∣ = ∣ A C ∣ = 6$ và góc $12 0^{\circ}$ .

A B + A C^{2} = 6^{2} + 6^{2} + 2 \cdot 6 \cdot 6 cos 12 0^{\circ} = 36, A B - C M = \frac{1}{2} 36 = 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án đúng là $D$ . Các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt cho $6$ , $2$ , $4$ , không bằng kết quả $3$ .

A B - C M = 3

Đáp án: D — Vì

A B - C M = 3

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG TP.HCM năm 2025 - Mã đề 02 — Toán học

Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Đọc hai nghiệm ngoài cùng

Bước 2: Tính tích cần tìm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Tính các giá trị đã cho

Bước 2: Đổi cơ số biểu thức

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Lập hệ tọa độ

Bước 2: Tính hai thể tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Đọc tọa độ từng vectơ

Bước 2: Kiểm tra các thành phần

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Kiểm tra bảng dữ kiện

Bước 2: Công thức đếm đường

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Chia theo số chữ số 2

Bước 2: Tính tổng số cách

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Xác định giá trị chung

Bước 2: Đổi sang lũy thừa

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Đặt giá trị chung

Bước 2: Giải phương trình phụ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Xác định hai cạnh

Bước 2: Tính diện tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Biến đổi vectơ trung điểm

Bước 2: Tính độ dài

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Tính các giá trị đã cho

Bước $2$ : Đổi cơ số biểu thức

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Kiểm tra bảng dữ kiện

Bước $2$ : Công thức đếm đường

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước 1: Chia theo số chữ số $2$