Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 29 — Toán học môn Toán học (Đánh giá Năng lực (HSA))

Câu 1

Một viên đạn pháo được bắn từ mặt đất với vận tốc $v_{0}$ hợp với phương ngang một góc $θ$ (đơn vị: độ, $0^{\circ} < θ < 4 5^{\circ}$ ) và tầm bắn được mô hình hóa bởi hàm số $R (θ) = \frac{v _{0}^{2} s i n ( 2 θ )}{g}$ (m), trong đó $g$ là gia tốc trọng trường lấy xấp xỉ bằng $9, 8 m/s^{2}$ . Với $v_{0} = 500 m/s$ , tính $θ$ để viên đạn trúng mục tiêu trên mặt đất phẳng cách đó $19500 m$ (nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị):

Hình minh họa

Đáp án đúng: 25

Lời giải

Bước 1: Thay số

Thay các dữ kiện vào công thức tầm bắn.

19500 = \frac{50 0 ^{2} sin ( 2 θ )}{9 , 8} \Rightarrow sin (2 θ) = \frac{19500 \cdot 9 , 8}{50 0 ^{2}} = 0, 7644

Bước 2: Tìm góc

Do $2 θ \in (0^{\circ}, 9 0^{\circ})$ , lấy nghiệm lượng giác phù hợp.

2 θ = arcsin (0, 7644) \approx 49, 9^{\circ} \Rightarrow θ \approx 24, 9^{\circ}

Bước 3: Làm tròn

Làm tròn $θ$ đến hàng đơn vị.

θ \approx 2 5^{\circ}

Đáp án:

2 5^{\circ}

— vì

θ \approx 24, 9^{\circ}

và được làm tròn đến hàng đơn vị.

Câu 2

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{3 x ^{4} + 6}{x ^{2}}$ là

A

$x^{3} - \frac{6}{x} + C$

B

$x^{3} + \frac{6}{x} + C$

C

$3 x^{3} - \frac{6}{x} + C$

D

$3 x^{3} + \frac{6}{x} + C$

Lời giải

Bước 1: Biến đổi hàm số

Tách các hạng tử rồi đưa về lũy thừa của $x$ .

\frac{3 x ^{4} + 6}{x ^{2}} = 3 x^{2} + 6 x^{- 2}

Bước 2: Tính nguyên hàm

Áp dụng công thức nguyên hàm hàm số lũy thừa cho từng hạng tử.

\int f (x) d x = \int (3 x^{2} + 6 x^{- 2}) d x = x^{3} - \frac{6}{x} + C

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ : $x^{3} - \frac{6}{x} + C$ ; $B$ , $C$ , $D$ sai lần lượt do sai dấu hoặc sai hệ số.

Đáp án: Đáp án

A

— nguyên hàm thu được là

x^{3} - \frac{6}{x} + C

.

Câu 3

Cho tứ diện đều $A B C D$ có $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $A B$ và $C D$ . Mệnh đề nào sau đây sai?

A

$M N ⊥ A B$

B

$M N ⊥ B D$

C

$M N ⊥ C D$

D

$A B ⊥ C D$

Lời giải

Bước 1: Kiểm tra các quan hệ hiển nhiên

Vì $N A = N B$ và $M$ là trung điểm $A B$ , suy ra $M N ⊥ A B$ .

Vì $M C = M D$ và $N$ là trung điểm $C D$ , suy ra $M N ⊥ C D$ ; đồng thời $A B ⊥ C D$ .

N A = N B \Rightarrow M N ⊥ A B; M C = M D \Rightarrow M N ⊥ C D

Bước 2: Kiểm tra $M N$ với $B D$

Chọn tọa độ tứ diện đều: $A (1, 1, 1), B (1, - 1, - 1), C (- 1, 1, - 1), D (- 1, - 1, 1)$ .

Khi đó $M (1, 0, 0), N (- 1, 0, 0)$ ; tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương khác $0$ .

M N = (2, 0, 0), B D = (- 2, 0, 2), M N \cdot B D = - 4 \neq = 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $B$ vì $M N$ không vuông góc $B D$ ; các phương án $A, C, D$ đúng lần lượt theo tính chất tam giác cân và hai cạnh đối của tứ diện đều.

Đáp án:

B

— Vì

M N \cdot B D = - 4 \neq = 0

, nên

M N \neq ⊥ B D

.

Câu 4

Anh Duy làm bồi bàn tại một nhà hàng ở Hà Nội. Với mỗi bàn phục vụ anh ấy có thể kiếm được 15% hóa đơn. Trong bữa trưa, anh ấy phục vụ 12 bàn và mỗi bàn có hóa đơn trung bình là 500000 đồng. Biết vào buổi tối, mỗi bàn có hóa đơn trung bình là 900000 đồng. Số bàn tối thiểu mà anh ấy cần phục vụ để kiếm được ít nhất 3600000 đồng trong ngày là

A

$32$ .

B

$16$ .

C

$18$ .

D

$20$ .

Lời giải

Bước 1: Tính thu nhập buổi trưa

Gọi $t$ là số bàn phục vụ vào buổi tối.

0.15 \times 12 \times 500000 = 900000, 0.15 \times t \times 900000 = 135000 t

Bước 2: Lập và giải bất phương trình

Tổng thu nhập trong ngày phải đạt ít nhất $3600000$ đồng.

900000 + 135000 t \geq 3600000 \Rightarrow t \geq 20

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tổng số bàn tối thiểu cần phục vụ là $12 + 20 = 32$ .

Chọn A; B, C, D sai vì đều không đạt mức thu nhập tối thiểu khi tính tổng số bàn trong ngày.

12 + 20 = 32

Đáp án: A.

32

— gồm

12

bàn buổi trưa và tối thiểu

20

bàn buổi tối.

Câu 5

Cho giới hạn $x \to 3 lim \frac{x + 1 - 5 x + 1}{x - 4 x - 3} = \frac{a}{b}$ (với $a, b$ là các số nguyên và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Giá trị của $T = 2 a - b$ là:

A

$9$

B

$- 1$

C

$10$

D

$\frac{9}{8}$

Lời giải

Bước 1: Nhân liên hợp

Khử căn ở tử và mẫu bằng các biểu thức liên hợp.

\frac{x + 1 - 5 x + 1}{x - 4 x - 3} = \frac{\frac{( x + 1 ) ^{2} - ( 5 x + 1 )}{x + 1 + 5 x + 1}}{\frac{x ^{2} - ( 4 x - 3 )}{x + 4 x - 3}} = \frac{\frac{x ( x - 3 )}{x + 1 + 5 x + 1}}{\frac{( x - 1 ) ( x - 3 )}{x + 4 x - 3}}

Bước 2: Rút gọn và tính giới hạn

Khử nhân tử $x - 3$ , rồi thay $x = 3$ .

x \to 3 lim \frac{x ( x + 4 x - 3 )}{( x - 1 ) ( x + 1 + 5 x + 1 )} = \frac{3 ( 3 + 3 )}{( 3 - 1 ) ( 3 + 1 + 4 )} = \frac{9}{8}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Suy ra $a = 9$ , $b = 8$ , nên $T = 2 \cdot 9 - 8 = 10$ . Chọn phương án C; A, B, D sai vì lần lượt cho $T = 9$ , $T = - 1$ và nhầm giá trị giới hạn $\frac{9}{8}$ với $T$ .

Đáp án: C.

10

— Vì giới hạn bằng

\frac{9}{8}

nên

T = 2 \cdot 9 - 8 = 10

.

Câu 6

Tích tất cả các nghiệm của phương trình $3^{x^{2} - 2} = 5^{x + 1}$

A

$1$

B

$2 - lo g_{3} 5$

C

$- lo g_{3} 45$

D

$lo g_{3} 5$

Lời giải

Bước 1: Lấy logarit hai vế

Hai vế dương nên có thể lấy $ln$ .

(x^{2} - 2) ln 3 = (x + 1) ln 5

Bước 2: Đưa về bậc hai

Sắp xếp các hạng tử theo lũy thừa của $x$ .

x^{2} ln 3 - x ln 5 - (2 ln 3 + ln 5) = 0

Bước 3: Tính tích nghiệm

Áp dụng định lý Viète rồi đổi sang logarit cơ số $3$ .

x_{1} x_{2} = \frac{- ( 2 ln 3 + ln 5 )}{ln 3} = - 2 - lo g_{3} 5 = - lo g_{3} 45

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ . Các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt không bằng kết quả, sai dấu của $lo g_{3} 5$ , và thiếu dấu âm cùng số hạng $2$ .

Đáp án: Đáp án

C

— tích các nghiệm bằng

- lo g_{3} 45

.

Câu 7

Gọi $S$ là tập hợp số nguyên $x$ thỏa mãn $lo g_{2} \frac{x ^{2} + x + 2}{2 x ^{2} - 3 x + 5} \geq x^{2} - 4 x + 3$ . Tổng các phần tử của tập hợp $S$ bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án đúng: 6

Lời giải

Bước 1: Kiểm tra điều kiện

Hai tam thức dưới đây đều dương với mọi $x$ vì có hệ số đầu dương và biệt thức âm.

Do đó, logarit xác định với mọi $x \in Z$ .

Δ_{x^{2} + x + 2} = - 7 < 0, Δ_{2 x^{2} - 3 x + 5} = - 31 < 0

Bước 2: Giới hạn giá trị của $x$

Đặt $t = x^{2} - 4 x + 3$ . Nếu $t > 0$ thì mẫu lớn hơn tử, nên logarit âm, mâu thuẫn với $lo g_{2} (\frac{x ^{2} + x + 2}{2 x ^{2} - 3 x + 5}) \geq t$ .

Vì vậy $t \leq 0$ , suy ra chỉ cần xét $x = 1, 2, 3$ .

2 x^{2} - 3 x + 5 = x^{2} + x + 2 + t, t \leq 0 ⟺ (x - 1) (x - 3) \leq 0 ⟺ 1 \leq x \leq 3

Bước 3: Kiểm tra và tính tổng

Cả ba giá trị đều thỏa mãn: với $x = 1, 3$ , logarit bằng $0$ ; với $x = 2$ , logarit dương còn $t = - 1$ .

Vậy $S = {1, 2, 3}$ .

1 + 2 + 3 = 6

Đáp án:

6

— vì

S = {1, 2, 3}

.

Câu 8

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình thoi và $A B = B D = a, S A = a 3, S A ⊥ (A B C D)$ . Gọi $M$ là điểm trên cạnh $S B$ sao cho $B M = \frac{2}{3} S B$ . Giả sử $N$ là điểm di động trên cạnh $A D$ . Tìm vị trí điểm $N$ để $B N ⊥ D M$ ?

A

$N$ nằm trên cạnh $A D$ sao cho $A N = \frac{1}{5} A D$

B

$N$ nằm trên cạnh $A D$ sao cho $A N = \frac{2}{5} A D$

C

$N$ nằm trên cạnh $A D$ sao cho $A N = \frac{4}{5} A D$

D

$N$ nằm trên cạnh $A D$ sao cho $A N = \frac{3}{4} A D$

Lời giải

Bước 1: Chọn tọa độ và tìm $M$

Đặt $A$ làm gốc tọa độ, $A D$ trùng $O x$ , còn $S A$ trùng $O z$ .

M = B + \frac{2}{3} B S = \frac{1}{3} B + \frac{2}{3} S = (\frac{a}{6}, \frac{a 3}{6}, \frac{2 a 3}{3})

Bước 2: Biểu diễn $N$ và các vectơ

Đặt $A N = t A D$ với $0 \leq t \leq 1$ , suy ra $N (t a, 0, 0)$ .

B N = (a (t - \frac{1}{2}), - \frac{a 3}{2}, 0), D M = (- \frac{5 a}{6}, \frac{a 3}{6}, \frac{2 a 3}{3})

Bước 3: Dùng điều kiện vuông góc

Điều kiện $B N ⊥ D M$ tương đương $B N \cdot D M = 0$ .

- \frac{5 a ^{2}}{6} (t - \frac{1}{2}) - \frac{a ^{2}}{4} = 0 ⟺ - \frac{5}{6} (t - \frac{1}{2}) - \frac{1}{4} = 0 ⟺ t = \frac{1}{5} .

Bước n: Đối chiếu phương án

Vì $t = \frac{A N}{A D} = \frac{1}{5}$ nên chọn A; B, C, D sai vì các tỉ số tương ứng không làm tích vô hướng bằng $0$ .

Đáp án: A — vì

A N = \frac{1}{5} A D

.

Câu 9

Một học sinh dùng giác kế, đứng cách chân cột cờ 10m rồi chỉnh mặt trước cao bằng mắt của mình để xác định góc nâng (góc tạo bởi tia sáng đi thẳng từ đỉnh cột cờ với mắt tạo với phương nằm ngang). Khi đó góc nâng đo được $3 1^{\circ}$ . Biết khoảng cách từ mặt sàn đến mắt học sinh đó bằng $1, 5 m$ . Chiều cao cột cờ gần nhất với giá trị nào?

A

$6 m$ .

B

$16, 6 m$ .

C

$7, 5 m$ .

D

$5, 0 m$ .

Lời giải

Bước 1: Lập hệ thức lượng giác

Gọi $h$ là phần cột cờ cao hơn mắt học sinh.

tan 3 1^{\circ} = \frac{h}{10}

Bước 2: Tính chiều cao cột cờ

Tính $h$ , rồi cộng độ cao mắt để được chiều cao cột cờ $H$ .

h = 10 tan 3 1^{\circ} \approx 10 \cdot 0, 6009 = 6, 009 m; H = h + 1, 5 \approx 7, 509 m \approx 7, 5 m

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án gần nhất là C. Các phương án A, B, D sai vì lần lượt coi $h$ là chiều cao cột, cộng sai độ cao mắt hoặc tính sai lượng giác.

Đáp án: C — Chiều cao cột cờ xấp xỉ

7, 5 m

.

Câu 10

Tập nghiệm của bất phương trình $x^{2} - x - 12 \leq 0$ là?

A

$[- 3; 4]$

B

$(- 3; 4)$

C

$(- \infty; - 3) \cup (4; + \infty)$

D

$(- \infty; - 3] \cup [4; + \infty)$ .

Lời giải

Bước 1: Tìm hai nghiệm

Phân tích tam thức thành nhân tử rồi tìm nghiệm của phương trình tương ứng.

x^{2} - x - 12 = (x + 3) (x - 4) = 0 \Rightarrow x = - 3, x = 4

Bước 2: Xét dấu tam thức

Vì hệ số $a = 1 > 0$ , tam thức không dương trên khoảng giữa hai nghiệm và lấy cả hai đầu mút.

x^{2} - x - 12 \leq 0 ⟺ - 3 \leq x \leq 4 ⟺ x \in [- 3; 4]

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ : $[- 3; 4]$ ; $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt không lấy đầu mút, lấy khoảng ngoài và vừa lấy khoảng ngoài vừa lấy đầu mút.

Đáp án:

A

— Tập nghiệm là

[- 3; 4]

vì tam thức không dương giữa hai nghiệm.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 29 — Toán học

Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Thay số

Bước 2: Tìm góc

Bước 3: Làm tròn

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Biến đổi hàm số

Bước 2: Tính nguyên hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Kiểm tra các quan hệ hiển nhiên

Bước 2: Kiểm tra MN với BD

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Tính thu nhập buổi trưa

Bước 2: Lập và giải bất phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Nhân liên hợp

Bước 2: Rút gọn và tính giới hạn

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Lấy logarit hai vế

Bước 2: Đưa về bậc hai

Bước 3: Tính tích nghiệm

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Kiểm tra điều kiện

Bước 2: Giới hạn giá trị của x

Bước 3: Kiểm tra và tính tổng

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Chọn tọa độ và tìm M

Bước 2: Biểu diễn N và các vectơ

Bước 3: Dùng điều kiện vuông góc

Bước n: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Lập hệ thức lượng giác

Bước 2: Tính chiều cao cột cờ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tìm hai nghiệm

Bước 2: Xét dấu tam thức

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước 2: Kiểm tra $M N$ với $B D$

Bước 2: Giới hạn giá trị của $x$

Bước 1: Chọn tọa độ và tìm $M$

Bước 2: Biểu diễn $N$ và các vectơ