Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 28 — Toán học môn Toán học (Đánh giá Năng lực (HSA))

Câu 1

Một vectơ chỉ phương

${x = - 4 t + 1 y = - 2 + 3 t$

A

$(1; 3)$

B

$(- 4; 2)$

C

$(4; - 3)$

D

$(- 1; 3)$

Lời giải

Bước 1: Xác định vectơ cơ sở

Lấy các hệ số của $t$ trong hai phương trình.

u = (- 4; 3)

Bước 2: Kiểm tra vectơ cùng phương

Một phương án đúng nếu là bội khác $0$ của $u$ .

(4; - 3) = - 1 \cdot (- 4; 3)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $C$ vì $(4; - 3)$ cùng phương với $(- 4; 3)$ ; $A$ , $B$ , $D$ sai vì không là bội của $(- 4; 3)$ .

Đáp án:

C

—

(4; - 3) = - 1 \cdot (- 4; 3)

nên là một vectơ chỉ phương.

Câu 2

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [- 2022; 2022]$ sao cho ${x = - 1 y = 2$ là nghiệm của bất phương trình $m x + (m - 1) y > 2$

A

$2022$

B

$2000$

C

$2018$

D

$2016$

Lời giải

Bước 1: Thay tọa độ

Thay $x = - 1$ , $y = 2$ vào bất phương trình.

- m + 2 (m - 1) > 2

Bước 2: Tìm miền giá trị

Rút gọn bất phương trình và kết hợp với $m \in [- 2022; 2022]$ .

- m + 2 m - 2 > 2 \Leftrightarrow m > 4 \Rightarrow m \in {5, 6, \dots, 2022}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Số giá trị nguyên là $2022 - 5 + 1 = 2018$ , chọn phương án $C$ .

Các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt cho $2022$ , $2000$ , $2016$ , đều khác kết quả.

2022 - 5 + 1 = 2018

Đáp án:

C

— có

2018

giá trị nguyên của

m

.

Câu 3

Tìm số gần đúng của $a = 5, 2463$ với độ chính xác $d = 0, 001$

A

$5, 25$

B

$5, 246$

C

$5, 2$

D

$5, 24$

Lời giải

Bước 1: Xác định hàng làm tròn

Với độ chính xác $d = 0, 001$ , ta làm tròn đến hàng phần trăm.

d = 0, 001 \Rightarrow h \overset{a}{ˋ} ng ph \overset{ˋ}{\overset{a}{ˆ}} n tr \overset{a}{˘} m

Bước 2: Thực hiện làm tròn

Giữ lại $2$ chữ số sau dấu phẩy: $5, 24$ ; chữ số tiếp theo là $6 \geq 5$ nên tăng $4$ lên $5$ .

5, 2463 ⟶ 5, 25

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A: $5, 25$ . Các phương án B, C, D sai vì lần lượt giữ quá nhiều chữ số, làm tròn đến hàng phần mười, và làm tròn sai quy tắc.

Đáp án: A.

5, 25

— làm tròn

5, 2463

đến hàng phần trăm được

5, 25

.

Câu 4

Đường thẳng $12 x + 5 y = 60$ tạo với hai trục tọa độ một tam giác. Tổng độ dài các đường cao của tam giác đó là:

A

$\frac{60}{13}$

B

$\frac{281}{13}$

C

$\frac{360}{17}$

D

$20$

Lời giải

Bước 1: Xác định tam giác

Gọi $A$ là gốc tọa độ, $B$ và $C$ lần lượt là giao điểm với $O x$ và $O y$ .

y = 0 \Rightarrow x = 5 \Rightarrow B (5, 0); x = 0 \Rightarrow y = 12 \Rightarrow C (0, 12); A (0, 0), A B = 5, A C = 12, B C = 5^{2} + 1 2^{2} = 13

Bước 2: Tính tổng ba đường cao

Diện tích tam giác là $Δ = 30$ . Tính các đường cao theo ba cạnh tương ứng.

Δ = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30; h_{A} = \frac{2Δ}{B C} = \frac{60}{13}, h_{B} = \frac{2Δ}{A C} = 5, h_{C} = \frac{2Δ}{A B} = 12; h_{A} + h_{B} + h_{C} = \frac{60}{13} + 5 + 12 = \frac{281}{13}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ . Phương án $A$ chỉ là một đường cao, còn $C$ và $D$ không bằng tổng đã tính.

Đáp án:

B . \frac{281}{13}

— là tổng độ dài ba đường cao.

Câu 5

Cho dãy số ${u_{1} = 1 u_{n + 1} = 3 u_{n}^{2} + 2$ và $S = u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + \dots + u_{2023}^{2} + 2023$ . Khi đó $S$ có bao nhiêu chữ số.

A

$966$

B

$965$

C

$964$

D

$963$

Lời giải

Bước 1: Biến đổi truy hồi

Đặt $a_{n} = u_{n}^{2}$ , khi đó $a_{1} = 1$ và $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2$ .

Đặt $b_{n} = a_{n} + 1$ thì $b_{n + 1} = 3 b_{n}$ , $b_{1} = 2$ .

a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1} - 1

Bước 2: Tính tổng

Thay $a_{n}$ vào $S$ rồi triệt tiêu hai phần $- 2023$ và $+ 2023$ .

S = n = 1 \sum 2023 (2 \cdot 3^{n - 1} - 1) + 2023 = 2 \cdot \frac{3 ^{2023} - 1}{3 - 1} = 3^{2023} - 1

Bước 3: Xác định số chữ số

Vì $lo g_{10} 3 \approx 0.4771212547$ nên $2023 lo g_{10} 3 \approx 965.21376$ .

⌊ lo g_{10} (3^{2023} - 1) ⌋ + 1 = 965 + 1 = 966

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn $A$ vì $S$ có $966$ chữ số; $B$ , $C$ , $D$ sai do cho kết quả lần lượt nhỏ hơn $1$ , $2$ , $3$ chữ số.

Đáp án:

A

—

S = 3^{2023} - 1

có

966

chữ số.

Câu 6

Trong hình vẽ dưới đây, hãy cho biết điểm $L$ không là điểm chung của hai mặt phẳng nào?

Hình minh họa

A

$(S B A)$ và $(S B C)$

B

$(S A D)$ và $(A L D)$

C

$(S B C)$ và $(S B D)$

D

$(S A B)$ và $(A L D)$

Lời giải

Bước 1: Xác định tiêu chí

Với mỗi cặp, xác định giao tuyến rồi kiểm tra $L$ có thuộc giao tuyến đó hay không.

Bước 2: Kiểm tra phương án B

Hai mặt phẳng $(S A D)$ và $(A L D)$ có giao tuyến là $A D$ . Trên hình, $L \in / A D$ .

(S A D) \cap (A L D) = A D, L \in / A D

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $B$ vì $L$ không thuộc giao tuyến của $(S A D)$ và $(A L D)$ ; $A$ , $C$ , $D$ sai vì $L$ lần lượt thuộc các giao tuyến $S B$ , $S B$ , $A L$ .

Đáp án:

B

—

L

không thuộc giao tuyến

A D

của

(S A D)

và

(A L D)

.

Câu 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A (0; 2; - 2)$ , $B (2; 2; - 4)$ . Gọi $I (a; b; c)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $△ O A B$ . Tính $T = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ .

A

$T = 8$ .

B

$T = 12$ .

C

$T = 6$ .

D

$T = 14$ .

Lời giải

Bước 1: Điều kiện thuộc mặt phẳng

Vì $I \in (O A B)$ , tọa độ $I (a; b; c)$ thỏa mãn phương trình mặt phẳng.

a + b + c = 0

Bước 2: Lập hệ cách đều

Dùng $O I^{2} = A I^{2}$ và $O I^{2} = B I^{2}$ .

⎩ ⎨ ⎧ b - c = 2 a + b - 2 c = 6 a + b + c = 0

Bước 3: Tính giá trị cần tìm

Giải hệ, rồi thay tọa độ $I$ vào biểu thức $T$ .

(a; b; c) = (2; 0; - 2), T = a^{2} + b^{2} + c^{2} = 2^{2} + 0^{2} + (- 2)^{2} = 8

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn $A$ vì $T = 8$ ; các phương án $B, C, D$ lần lượt sai do không phù hợp với kết quả tính được.

T = 8

Đáp án:

A

— Vì tâm ngoại tiếp là

I (2; 0; - 2)

nên

T = 8

.

Câu 8

Cho hai hàm số $f (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + 2 x$ và $g (x) = m x^{3} + n x^{2} - 2 x$ với $a, b, c, m, n \in R$ . Biết hàm số $y = f (x) - g (x)$ có ba điểm cực trị là $- 1; 2$ và $3$ . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y = 18 f^{'} (x)$ và $y = 18 g^{'} (x)$ (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án đúng: 142

Lời giải

Bước 1: Lập đạo hàm hiệu

Đặt $h (x) = f (x) - g (x)$ , khi đó $h^{'} (x)$ là đa thức bậc ba có các nghiệm $- 1, 2, 3$ .

So sánh hệ số tự do với $h^{'} (0) = 4$ để xác định $k$ .

h^{'} (x) = k (x + 1) (x - 2) (x - 3), 6 k = 4 \Rightarrow k = \frac{2}{3}, h^{'} (x) = \frac{2}{3} (x + 1) (x - 2) (x - 3)

Bước 2: Tính các giá trị của $h$

Lấy nguyên hàm của $h^{'} (x)$ ; do $h (x) = f (x) - g (x)$ không có hằng số tự do nên chọn $C = 0$ .

Dấu của $h^{'} (x)$ lần lượt là dương trên $(- 1, 2)$ và âm trên $(2, 3)$ .

h (x) = \frac{x ^{4}}{6} - \frac{8 x ^{3}}{9} + \frac{x ^{2}}{3} + 4 x, h (- 1) = - \frac{47}{18}, h (2) = \frac{44}{9}, h (3) = \frac{9}{2}

Bước 3: Tính diện tích

Hai đồ thị cắt nhau tại $x = - 1, 2, 3$ , nên miền kín nằm trên $[- 1, 2]$ và $[2, 3]$ .

Dùng tính đơn điệu của $h$ để tính diện tích bằng hiệu các giá trị tại biên.

S = 18 [h (2) - h (- 1) + h (2) - h (3)] = 18 [\frac{44}{9} + \frac{47}{18} + \frac{44}{9} - \frac{9}{2}] = 142

Đáp án:

142

— Vì diện tích được tính bởi

18 [h (2) - h (- 1) + h (2) - h (3)]

.

Câu 9

Cho các số nguyên $a, b, c$ thỏa mãn $a + \frac{b + lo g _{2} 5}{c + lo g _{2} 3} = lo g_{6} 45$ . Tổng $a + b + c$ bằng

Đáp án đúng: $1$

Lời giải

Bước 1: Đổi cơ số, tách phần nguyên

Đổi $lo g_{6} 45$ sang cơ số $2$ rồi tách phần nguyên $2$ .

lo g_{6} 45 = \frac{2 lo g _{2} 3 + lo g _{2} 5}{1 + lo g _{2} 3} = 2 + \frac{lo g _{2} 5 - 2}{1 + lo g _{2} 3}

Bước 2: Xác định các số nguyên

Đối chiếu với dạng đề bài, chọn $a = 2$ , $c = 1$ , $b = - 2$ .

Kiểm tra trực tiếp bằng phép biến đổi dưới đây.

2 + \frac{- 2 + lo g _{2} 5}{1 + lo g _{2} 3} = 2 + \frac{lo g _{2} 5 - 2}{1 + lo g _{2} 3} = lo g_{6} 45

Bước 3: Tính tổng

Thay các giá trị nguyên vào tổng cần tìm.

a + b + c = 2 - 2 + 1 = 1

Đáp án:

1

— vì

a = 2

,

b = - 2

,

c = 1

.

Câu 10

Cho hàm số $f (x)$ , bảng xét dấu của $f^{'} (x)$ như sau: Hàm số $y = f (5 - 2 x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Hình minh họa

A

$(3; 4)$

B

$(1; 3)$

C

$(- \infty; - 3)$

D

$(4; 5)$

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Đặt $u = 5 - 2 x$ , suy ra đạo hàm của hàm hợp.

y^{'} = f^{'} (5 - 2 x) \cdot (- 2) = - 2 f^{'} (5 - 2 x)

Bước 2: Tìm khoảng đồng biến

Điều kiện đồng biến là $y^{'} > 0$ , tương đương $f^{'} (5 - 2 x) < 0$ .

5 - 2 x \in (- \infty; - 3) \cup (- 1; 1) ⟺ x \in (2; 3) \cup (4; + \infty)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Khoảng đồng biến là $(2; 3) \cup (4; + \infty)$ .

Chọn $D$ vì $(4; 5) \subset (4; + \infty)$ ; $A$ , $B$ , $C$ không nằm trọn trong các khoảng đồng biến.

Đáp án:

D

— Vì

(4; 5)

nằm trong khoảng đồng biến

(4; + \infty)

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 28 — Toán học

Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Xác định vectơ cơ sở

Bước 2: Kiểm tra vectơ cùng phương

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Thay tọa độ

Bước 2: Tìm miền giá trị

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định hàng làm tròn

Bước 2: Thực hiện làm tròn

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Xác định tam giác

Bước 2: Tính tổng ba đường cao

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Biến đổi truy hồi

Bước 2: Tính tổng

Bước 3: Xác định số chữ số

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Xác định tiêu chí

Bước 2: Kiểm tra phương án B

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Điều kiện thuộc mặt phẳng

Bước 2: Lập hệ cách đều

Bước 3: Tính giá trị cần tìm

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Lập đạo hàm hiệu

Bước 2: Tính các giá trị của h

Bước 3: Tính diện tích

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Đổi cơ số, tách phần nguyên

Bước 2: Xác định các số nguyên

Bước 3: Tính tổng

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Bước 2: Tìm khoảng đồng biến

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước 2: Tính các giá trị của $h$