Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 26 — Toán học môn Toán học (Đánh giá Năng lực (HSA))

Câu 1

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $[- 10; 10]$ để hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + m x - 3$ đồng biến trên $(2; 6)?$

A

$4$

B

$5$

C

$7$

D

$6$

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Đạo hàm của hàm số là:

y^{'} = x^{2} - 4 x + m = (x - 2)^{2} + m - 4

Bước 2: Lập điều kiện

Vì $(x - 2)^{2} > 0$ với mọi $x \in (2; 6)$ , hàm số đồng biến khi $m - 4 \geq 0$ .

m \geq 4

Bước 3: Đối chiếu phương án

Kết hợp $m \in [- 10; 10]$ , các giá trị nguyên là $m \in {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}$ , có $7$ giá trị.

Chọn C; A, B, D sai vì lần lượt cho $4$ , $5$ , $6$ giá trị thay vì $7$ .

10 - 4 + 1 = 7

Đáp án: C — Có

7

giá trị nguyên của

m

thỏa mãn điều kiện.

Câu 2

Một chiếc cổng parabol dạng $y = - \frac{1}{2} x^{2}$ có chiều rộng $d = 8 m$ . Hỏi chiều cao của chiếc cổng là?

Đáp án đúng: 8m

Lời giải

Bước 1: Tìm tọa độ đầu cổng

Cổng đối xứng qua trục $O y$ , nên hai đầu cổng có hoành độ đối nhau.

x = \pm \frac{8}{2} = \pm 4

Bước 2: Tính chiều cao

Tính tung độ tại một đầu cổng rồi lấy khoảng cách đến đỉnh $O (0; 0)$ .

y (4) = - \frac{1}{2} \cdot 4^{2} = - 8, h = 0 - (- 8) = 8 m

Đáp án: Chiều cao là

8 m

— bằng khoảng cách từ đỉnh đến hai đầu cổng.

Câu 3

Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc $v (t) = 7 t$ (m/s), đi được $5$ giây thì người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp. Ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc $a = - 70$ (m/s²). Quãng đường ô tô được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn là:

A

$96, 25$ m

B

$94$ m

C

$87, 5$ m

D

$95, 7$ m

Lời giải

Bước 1: Tính quãng đường trước phanh

Trong $5$ giây đầu, vận tốc là $v (t) = 7 t$ .

s_{1} = \int_{0}^{5} 7 t d t = \frac{7 \cdot 5 ^{2}}{2} = 87.5 m

Bước 2: Tính quãng đường khi phanh

Vận tốc lúc bắt đầu phanh: $v_{0} = 7 \cdot 5 = 35 m/s$ .

Thời gian từ lúc phanh đến khi dừng là $t = \frac{35}{70} = 0.5 s$ .

s_{2} = \frac{35 + 0}{2} \cdot 0.5 = 8.75 m

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tổng quãng đường là tổng quãng đường của hai giai đoạn.

Phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì không bằng kết quả tổng hợp đúng của hai giai đoạn chuyển động.

s = s_{1} + s_{2} = 87.5 + 8.75 = 96.25 m

Đáp án: A — Tổng quãng đường ô tô đi được là

96.25 m

.

Câu 4

Để tăng nhiệt độ trong phòng từ $2 8^{\circ} C$ , một hệ thống làm mát được phép hoạt động trong 10 phút. Gọi $T$ (đơn vị $^{\circ} C$ ) là nhiệt độ phòng ở phút thứ $t$ được cho bởi công thức: $T = - 0, 008 t^{3} - 0, 16 t + 28, với t \in [1; 10] .$ Nhiệt độ thấp nhất trong phòng đạt được trong thời gian 10 phút kể từ khi hệ thống bắt đầu hoạt động là bao nhiêu độ C (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án đúng: 18,4

Lời giải

Bước 1: Xét tính đơn điệu

Tính đạo hàm và xét dấu trên khoảng đã cho.

Vì $T^{'} (t) < 0$ , hàm số giảm trên $[1; 10]$ .

T^{'} (t) = - 0, 024 t^{2} - 0, 16 < 0 (t \in [1; 10])

Bước 2: Tính nhiệt độ nhỏ nhất

Hàm số giảm nên đạt giá trị nhỏ nhất tại $t = 10$ .

T (10) = - 0, 008 \cdot 1 0^{3} - 0, 16 \cdot 10 + 28 = 18, 4

Đáp án:

18, 4^{\circ} C

— vì

T (t)

giảm trên

[1; 10]

và đạt nhỏ nhất tại

t = 10

.

Câu 5

Xác định chiều cao của một tháp mà không cần lên đỉnh của tháp. Đặt kệ giác thẳng đứng cách chân tháp một khoảng $C D = 60 m$ , giả sử chiều cao của giác kế là $O C = 1 m$ . Quay thanh giác kế sao cho khi ngắm theo thanh ta nhìn thấy đỉnh $A$ của tháp. Đọc trên giác kế số đo của góc $A O B = 6 0^{\circ}$ . Chiều cao của ngọn tháp gần nhất với giá trị nào sau đây?

A

$40 m$

B

$114 m$

C

$104, 9 m$

D

$110 m$

Lời giải

Bước 1: Xác định tam giác vuông

Xét tam giác vuông $O A B$ , có $O B = C D = 60 m$ và $∠ A O B = 6 0^{\circ}$ .

O B = C D = 60 m

Bước 2: Tính chiều cao tháp

Áp dụng tang góc $6 0^{\circ}$ để tính đoạn tháp từ đỉnh giác kế đến đỉnh tháp.

tan 6 0^{\circ} = \frac{A B}{60} \Rightarrow A B = 60 tan 6 0^{\circ} = 603 m; h = A B + O C = 603 + 1 \approx 104, 9 m

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn C. Các phương án A, B, D sai vì không bằng giá trị $104, 9 m$ tính được.

Đáp án: C — Vì

h = 603 + 1 \approx 104, 9 m

.

Câu 6

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A (2; - 3; - 1), B (4; 5; 1)$ . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn $A B$ là:

A

$3 x + y - 7 = 0$

B

$x + 4 y - z - 7 = 0$

C

$3 x + y - 14 = 0$

D

$x + 4 y + z - 7 = 0$

Lời giải

Bước 1: Tính trung điểm và véc-tơ

Tính trung điểm $M$ và rút gọn véc-tơ $A B$ .

M (\frac{2 + 4}{2}; \frac{- 3 + 5}{2}; \frac{- 1 + 1}{2}) = (3; 1; 0), A B = (2; 8; 2) \sim (1; 4; 1)

Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng

Mặt phẳng đi qua $M (3; 1; 0)$ và có pháp tuyến $(1; 4; 1)$ .

1 (x - 3) + 4 (y - 1) + (z - 0) = 0 ⟺ x + 4 y + z - 7 = 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $D$ : $x + 4 y + z - 7 = 0$ ; các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai lần lượt do sai véc-tơ pháp tuyến, sai dấu hệ số $z$ , và sai hằng số.

Đáp án:

D

— Mặt phẳng trung trực có phương trình

x + 4 y + z - 7 = 0

.

Câu 7

Một vật chuyển động theo phương trình $s (t) = \frac{1}{3} t^{3} - 2 t^{2} + 4 t$ với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và $s$ (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian kể đó.

Sau bao lâu thì chuyển động dừng lại?

A

$2$ giây

B

$3$ giây

C

$0$ giây

D

$1$ giây

Lời giải

Bước 1: Tính vận tốc

Vận tốc là đạo hàm của quãng đường theo thời gian.

v (t) = s^{'} (t) = t^{2} - 4 t + 4

Bước 2: Tìm thời điểm dừng

Cho vận tốc bằng $0$ rồi giải phương trình.

v (t) = 0 \Leftrightarrow t^{2} - 4 t + 4 = 0 \Leftrightarrow (t - 2)^{2} = 0 \Leftrightarrow t = 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A vì $t = 2$ giây; B, C, D sai vì lần lượt cho $t = 3$ , $t = 0$ , $t = 1$ .

Đáp án: A — Vật dừng lại tại thời điểm

t = 2

giây vì

v (t) = 0

.

Câu 8

Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ ?

A

$y = \frac{x - 1}{x - 2}$

B

$y = x^{3} + 2 x$

C

$y = - x^{3} - 3 x$

D

$y = \frac{x + 1}{x + 3}$

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm phương án A

Với $A : y = x^{3} + 2 x$ , ta có đạo hàm luôn dương trên $R$ .

y_{A}^{'} = 3 x^{2} + 2 > 0 \forall x \in R

Bước 2: Kiểm tra các phương án còn lại

Các phương án còn lại либо có đạo hàm âm, либо không xác định trên toàn bộ $R$ .

y_{B}^{'} = - \frac{1}{( x - 2 ) ^{2}} < 0, y_{C}^{'} = - 3 x^{2} - 3 < 0, y_{D}^{'} = \frac{2}{( x + 3 ) ^{2}} > 0 nh ư n g x = - 3 k h \overset{o}{^} n g t h u ộ c t ậ p x \overset{a}{ˊ} c đ ị nh

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $A$ vì $y_{A}^{'} > 0$ với mọi $x \in R$ ; $B, C, D$ sai vì lần lượt nghịch biến, nghịch biến và không xác định tại một điểm thuộc $R$ .

Đáp án:

A

— Vì

y_{A}^{'} = 3 x^{2} + 2 > 0

với mọi

x \in R

.

Câu 9

Cho các số nguyên $a, b, c$ thỏa mãn $a + \frac{b + l o g _{2} 5}{c + l o g _{2} 3} = lo g_{6} 45$ . Tổng $a + b + c$ bằng

Đáp án đúng: 1

Lời giải

Bước 1: Đổi cơ số

Phân tích các số dưới dấu logarit theo cơ số $2$ .

lo g_{6} 45 = \frac{lo g _{2} 45}{lo g _{2} 6} = \frac{2 lo g _{2} 3 + lo g _{2} 5}{1 + lo g _{2} 3}

Bước 2: Xác định $c$

Mẫu chuẩn là $1 + lo g_{2} 3$ , nên so với mẫu $c + lo g_{2} 3$ được $c = 1$ .

c + lo g_{2} 3 = 1 + lo g_{2} 3 \Rightarrow c = 1

Bước 3: Tìm $a, b$

Thay $c = 1$ , nhân hai vế với $1 + lo g_{2} 3$ rồi so sánh hệ số.

a (1 + lo g_{2} 3) + b a = 2 lo g_{2} 3 = 2, a + b = 0 \Rightarrow b = - 2

Bước 4: Tính tổng

Thay các giá trị vừa tìm được vào tổng cần tính.

a + b + c = 2 - 2 + 1 = 1

Đáp án:

1

— vì

a = 2

,

b = - 2

,

c = 1

.

Câu 10

Có 10 cặp vợ chồng tham dự Hội Nghị. Chọn ngẫu nhiên 1 nam, 1 nữ trong 10 cặp vợ chồng đó để mời phát biểu ý kiến. Tính xác suất để 2 người đó không phải là vợ chồng?

Đáp án đúng: 9/10

Lời giải

Bước 1: Đếm tổng số lựa chọn

Chọn độc lập $1$ nam và $1$ nữ trong $10$ người mỗi giới.

10 \cdot 10 = 100

Bước 2: Tính xác suất

Có $10$ lựa chọn là vợ chồng, nên số lựa chọn không phải vợ chồng là phần còn lại.

100 - 10 = 90, P = \frac{90}{100} = \frac{9}{10}

Đáp án:

\frac{9}{10}

— vì có

90

lựa chọn không phải vợ chồng trên tổng số

100

lựa chọn.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 26 — Toán học

Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Bước 2: Lập điều kiện

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Tìm tọa độ đầu cổng

Bước 2: Tính chiều cao

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Tính quãng đường trước phanh

Bước 2: Tính quãng đường khi phanh

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Xét tính đơn điệu

Bước 2: Tính nhiệt độ nhỏ nhất

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Xác định tam giác vuông

Bước 2: Tính chiều cao tháp

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Tính trung điểm và véc-tơ

Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Tính vận tốc

Bước 2: Tìm thời điểm dừng

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm phương án A

Bước 2: Kiểm tra các phương án còn lại

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Đổi cơ số

Bước 2: Xác định c

Bước 3: Tìm a,b

Bước 4: Tính tổng

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Đếm tổng số lựa chọn

Bước 2: Tính xác suất

Bước 2: Xác định $c$

Bước 3: Tìm $a, b$