Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 19 2025 (Đánh giá Năng lực (HSA))

Câu 1

Trong không gian $O x y z$ , cho hai điểm $A (2; - 2; 1), B (0; 1; 2)$ . Tọa độ điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(O x y)$ sao cho ba điểm $A, B, M$ thẳng hàng là:

A

$M (4; - 5; 0)$ .

B

$M (2; - 3; 0)$ .

C

$M (0; 0; 1)$ .

D

$M (4; 5; 0)$ .

Lời giải

Bước 1: Đặt tọa độ và lập vectơ

Đặt $M (x; y; 0)$ ; tính hai vectơ cùng xuất phát từ $A$ .

A B = (- 2; 3; 1), A M = (x - 2; y + 2; - 1)

Bước 2: Dùng điều kiện thẳng hàng

Vì $A, B, M$ thẳng hàng nên hai vectơ cùng phương.

\frac{x - 2}{- 2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{- 1}{1} = - 1 \Rightarrow {x = 4 y = - 5 \Rightarrow M (4; - 5; 0)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ : $M (4; - 5; 0)$ . Các phương án $B, D$ không thỏa điều kiện cùng phương, còn $C$ không thuộc $(O x y)$ vì có $z = 1$ .

Đáp án: A —

M (4; - 5; 0)

, thỏa điều kiện

M \in (O x y)

và

A, B, M

thẳng hàng.

Câu 2

Xác định các hệ số $a, b, c$ để đồ thị hàm số $y = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ đi qua điểm $(1; 0)$ và có điểm cực trị $(- 2; 0)$ . Giá trị biểu thức $T = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ là:

A

$25$ .

B

$- 1$ .

C

$7$ .

D

$14$ .

Lời giải

Bước 1: Lập hệ điều kiện

Dùng điểm $(1; 0)$ và điểm cực trị $(- 2; 0)$ để lập ba phương trình.

⎩ ⎨ ⎧ y (1) = 0 \Rightarrow a + b + c = - 1 y (- 2) = 0 \Rightarrow 4 a - 2 b + c = 8 y^{'} (- 2) = 0, y^{'} = 3 x^{2} + 2 a x + b \Rightarrow - 4 a + b = - 12

Bước 2: Giải hệ tìm hệ số

Giải hệ phương trình vừa lập, thu được các hệ số của hàm số.

⎩ ⎨ ⎧ a + b + c = - 1 4 a - 2 b + c = 8 - 4 a + b = - 12 \Rightarrow ⎩ ⎨ ⎧ a = 3 b = 0 c = - 4

Bước 3: Tính giá trị biểu thức

Thay các hệ số vào biểu thức $T$ .

T = a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3^{2} + 0^{2} + (- 4)^{2} = 25

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ ; các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt cho $T = - 1$ , $T = 7$ , $T = 14$ , khác $T = 25$ .

Đáp án: A —

T = 25

khi

a = 3

,

b = 0

,

c = - 4

.

Câu 3

Hình lăng trụ đều là

A

lăng trụ có đáy là tam giác đều và các cạnh bên bằng nhau.

B

lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

C

lăng trụ có tất cả các cạnh bằng nhau.

D

lăng trụ có đáy là tam giác đều và cạnh bên vuông góc với đáy.

Lời giải

Bước 1: Nhận diện định nghĩa

Kết hợp hai điều kiện: lăng trụ đứng và đáy là đa giác đều.

L \overset{a}{˘} ng trụ đ \overset{ˋ}{\overset{e}{ˆ}} u ⟺ l \overset{a}{˘} ng trụ đ ứng c \overset{o}{ˊ} đ \overset{a}{ˊ} y l \overset{a}{ˋ} đ a gi \overset{a}{ˊ} c đ \overset{ˋ}{\overset{e}{ˆ}} u

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn B vì đúng đủ hai điều kiện định nghĩa. A thiếu điều kiện vuông góc; C không yêu cầu mọi cạnh bằng nhau; D chỉ là trường hợp riêng với đáy tam giác đều.

Đáp án: B — Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

Câu 4

Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một dãy gồm 5 chiếc ghế sao mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi là

A

$600$

B

$120$

C

$3125$

D

$720$

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng dạng toán

Có $5$ học sinh và $5$ vị trí khác nhau, mỗi vị trí nhận đúng một học sinh.

5!

Bước 2: Tính số cách

Áp dụng công thức hoán vị với $n = 5$ .

5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án B: $120$ ; các phương án A, C, D sai vì lần lượt cho kết quả $600$ , $3125$ , $720$ , không bằng số cách đúng.

Đáp án: B — Số cách xếp là

5! = 120

.

Câu 5

Tìm hệ số của số hạng không chứa $x$ trong khai triển $(\frac{x}{3} + \frac{9}{x})^{4}$ với $x \neq = 0$ (nhập đáp án vào ô trống):

Đáp án đúng: 54

Lời giải

Bước 1: Lập số hạng tổng quát

Với $k = 0, 1, 2, 3, 4$ , số hạng tổng quát là:

T_{k + 1} = C_{4}^{k} (\frac{x}{3})^{4 - k} (\frac{9}{x})^{k} = C_{4}^{k} \frac{9 ^{k}}{3 ^{4 - k}} x^{4 - 2 k}

Bước 2: Tìm số hạng không chứa x

Số mũ của $x$ phải bằng $0$ .

4 - 2 k = 0 \Rightarrow k = 2

Bước 3: Tính hệ số

Thay $k = 2$ vào hệ số của số hạng tổng quát:

C_{4}^{2} \frac{9 ^{2}}{3 ^{4 - 2}} = 6 \cdot \frac{81}{9} = 54

Đáp án:

54

— số hạng ứng với

k = 2

không chứa

x

.

Câu 6

Biết rằng $(sin x + cos x)^{'} = a sin x + b cos x$ với $a, b$ là các hằng số thực. Giá trị của $a - 2 b$ bằng bao nhiêu?

A

$- 3$

B

$3$

C

$- 1$

D

$1$

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Áp dụng công thức đạo hàm lượng giác.

(sin x + cos x)^{'} = cos x - sin x

Bước 2: So sánh hệ số

Viết $cos x - sin x = - sin x + cos x$ , rồi so sánh với $a sin x + b cos x$ .

a = - 1, b = 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tính giá trị cần tìm; chọn phương án $A$ : $- 3$ . Các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì không khớp kết quả tính được.

a - 2 b = - 1 - 2 \cdot 1 = - 3

Đáp án: Đáp án

A

:

- 3

— vì

a = - 1

và

b = 1

.

Câu 7

Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số $m$ sao cho bất phương trình $lo g_{2} x + m \geq \frac{1}{2} x^{2}$ có nghiệm $x \in [1; 3]$ ?

A

$[\frac{1}{ln 2}; + \infty)$

B

$[\frac{9}{2} - lo g_{2} 3; + \infty)$

C

$[1; \frac{2}{ln 2}; + \infty)$

D

$[\frac{1}{2 ln 2} + \frac{1}{2} lo g_{2} (ln 2); + \infty)$

Lời giải

Bước 1: Đưa về bài toán cực trị

Bất phương trình tương đương $m \geq \frac{1}{2} x^{2} - lo g_{2} x$ .

Đặt $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - lo g_{2} x$ trên đoạn $[1; 3]$ .

m \geq f (x), m \geq x \in [1; 3] min f (x)

Bước 2: Tìm điểm tới hạn

Giải $f^{'} (x) = 0$ và nhận điểm thuộc đoạn $[1; 3]$ .

f^{'} (x) = x - \frac{1}{x ln 2}; f^{'} (x) = 0 ⟺ x_{0} = \frac{1}{ln 2} \in [1; 3]

Bước 3: So sánh các giá trị

Tính $f (x)$ tại hai đầu mút và điểm tới hạn, rồi chọn giá trị nhỏ nhất.

f (1) = \frac{1}{2}, f (x_{0}) = \frac{1}{2 ln 2} + \frac{1}{2} lo g_{2} (ln 2), f (3) = \frac{9}{2} - lo g_{2} 3; min f (x) = \frac{1}{2 ln 2} + \frac{1}{2} lo g_{2} (ln 2)

Bước 4: Đối chiếu phương án

Suy ra $m \geq \frac{1}{2 l n 2} + \frac{1}{2} lo g_{2} (ln 2)$ . Chọn $D$ ; $A$ , $B$ , $C$ sai vì không phải giá trị nhỏ nhất cần tìm.

m \in [\frac{1}{2 ln 2} + \frac{1}{2} lo g_{2} (ln 2); + \infty)

Đáp án:

D

— vì

m

phải lớn hơn hoặc bằng giá trị nhỏ nhất của

f (x)

trên

[1; 3]

.

Câu 8

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x) = x^{2} + 1, \forall x \in R$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A

Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 0)$

B

Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- 1; 1)$

C

Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; + \infty)$

D

Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$

Lời giải

Bước 1: Xét dấu đạo hàm

Với mọi $x \in R$ , ta có:

x^{2} \geq 0 \Rightarrow x^{2} + 1 \geq 1 > 0

Bước 2: Kết luận tính đơn điệu

Do $f^{'} (x) > 0$ trên $R$ , hàm số đồng biến trên $(- \infty; + \infty)$ .

f^{'} (x) > 0, \forall x \in R

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $D$ ; $A$ , $B$ , $C$ sai vì đều khẳng định hàm số nghịch biến.

Đáp án: Đáp án

D

— hàm số đồng biến trên

(- \infty; + \infty)

vì

f^{'} (x) > 0

với mọi

x \in R

.

Câu 9

Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ cạnh $a$ . Gọi $N, P, Q$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $B C, C C^{'}, C^{'} D^{'}$ . Tìm diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (NPQ) cắt hình lập phương.

A

$\frac{a ^{2} 3}{4}$

B

$\frac{a ^{2} 3}{6}$

C

$\frac{3 a ^{2} 3}{4}$

D

$\frac{a ^{2} 3}{2}$

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng

Chọn hệ tọa độ với $A (0, 0, 0)$ , $B (a, 0, 0)$ , $C (a, a, 0)$ và trục $O z$ vuông góc đáy.

N (a, \frac{a}{2}, 0), P (a, a, \frac{a}{2}), Q (\frac{a}{2}, a, a); N P = (0, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}), N Q = (- \frac{a}{2}, \frac{a}{2}, a) \Rightarrow (N P Q) : x - y + z = \frac{a}{2}

Bước 2: Xác định thiết diện

Cho phương trình mặt phẳng lần lượt giao với các mặt $x = 0$ , $x = a$ , $y = 0$ , $y = a$ của khối lập phương.

X_{1} (0, 0, \frac{a}{2}), X_{2} (\frac{a}{2}, 0, 0), X_{3} (a, \frac{a}{2}, 0), X_{4} (a, a, \frac{a}{2}), X_{5} (\frac{a}{2}, a, a), X_{6} (0, \frac{a}{2}, a)

Bước 3: Tính diện tích

Sáu điểm trên tạo thành lục giác đều; hai đỉnh liên tiếp có khoảng cách $\frac{a}{2}$ .

s = (\frac{a}{2})^{2} + (\frac{a}{2})^{2} = \frac{a}{2}, S = \frac{3 3}{2} (\frac{a}{2})^{2} = \frac{3 a ^{2} 3}{4}

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ . Các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt không đúng hệ số của diện tích lục giác đều vừa tính.

Đáp án: C.

\frac{3 a ^{2} 3}{4}

— thiết diện là lục giác đều cạnh

\frac{a}{2}

.

Câu 10

Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông tại $B$ , $S A$ vuông góc với mặt đáy và $S A = A B = 3$ . Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $S A B$ . Khoảng cách từ $G$ đến mặt phẳng $(S B C)$ bằng:

A

$\frac{6}{3}$

B

$\frac{6}{6}$

C

$3$

D

$\frac{6}{2}$

Lời giải

Bước 1: Chọn tọa độ và tìm trọng tâm

Đặt $B = (0, 0, 0)$ , $A = (3, 0, 0)$ , $C = (0, c, 0)$ với $c > 0$ .

Vì $S A ⊥ (A B C)$ nên $S = (3, 0, 3)$ .

G = (\frac{3 + 0 + 3}{3}, 0, \frac{0 + 0 + 3}{3}) = (\frac{2 3}{3}, 0, \frac{3}{3})

Bước 2: Lập mặt phẳng và tính khoảng cách

Ba điểm $S, B, C$ đều thỏa mãn $x - z = 0$ , nên $(S B C) : x - z = 0$ .

d (G, (S B C)) = \frac{\frac{2 3}{3} - \frac{3}{3}}{1 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{3 /3}{2} = \frac{6}{6}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ : $\frac{6}{6}$ .

Các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt gấp $2$ , $32$ và $3$ lần kết quả.

Đáp án: B — Khoảng cách tính được là

\frac{6}{6}

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 19

Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Đặt tọa độ và lập vectơ

Bước 2: Dùng điều kiện thẳng hàng

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Lập hệ điều kiện

Bước 2: Giải hệ tìm hệ số

Bước 3: Tính giá trị biểu thức

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Nhận diện định nghĩa

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng dạng toán

Bước 2: Tính số cách

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Lập số hạng tổng quát

Bước 2: Tìm số hạng không chứa x

Bước 3: Tính hệ số

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Bước 2: So sánh hệ số

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Đưa về bài toán cực trị

Bước 2: Tìm điểm tới hạn

Bước 3: So sánh các giá trị

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Xét dấu đạo hàm

Bước 2: Kết luận tính đơn điệu

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng

Bước 2: Xác định thiết diện

Bước 3: Tính diện tích

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Chọn tọa độ và tìm trọng tâm

Bước 2: Lập mặt phẳng và tính khoảng cách

Bước 3: Đối chiếu phương án