Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 16 — Toán học và xử lí số liệu môn Toán học (Đánh giá Năng lực (HSA))

Câu 1

Một nhóm học sinh lớp 10 trả lời một cuộc khảo sát về khoa học toán mà họ đang theo học. Dữ liệu khảo sát được chia nhỏ như trong bảng sau: Đáp án nào dưới đây chiếm khoảng 19% tổng số người trả lời khảo sát?

Hình minh họa

A

Học sinh nữ học Hình học.

B

Học sinh nữ học Đại số II.

C

Học sinh nam học Hình học.

D

Học sinh nam học Đại số I.

Lời giải

Bước 1: Tính số lượng tương ứng

Tính $19%$ của tổng số $310$ học sinh.

310 \times 0.19 = 58.9 \approx 59

Bước 2: Đối chiếu phương án

Nhóm có $59$ học sinh là học sinh nam học Hình học.

Chọn phương án C; A, B, D sai vì số học sinh của các nhóm đó không bằng $59$ .

Đáp án: C — Học sinh nam học Hình học có

59

người, xấp xỉ

19%

của

310

.

Câu 2

Số giá trị nguyên của tham số $m$ trên đoạn $[- 10; 10]$ để bất phương trình $m x^{2} - 2 m x + 2 m - 1 > 0$ thỏa mãn với mọi số thực $x$ là:

A

$9$

B

$15$

C

$18$

D

$20$

Lời giải

Bước 1: Hoàn thành bình phương

Biến đổi biểu thức về dạng bình phương hoàn chỉnh.

Nếu $m < 0$ , biểu thức không bị chặn dưới; $m = 0$ cho giá trị $- 1$ . Vì vậy, cần $m > 0$ .

f_{m} (x) = m (x^{2} - 2 x + 2) - 1 = m ((x - 1)^{2} + 1) - 1

Bước 2: Tìm điều kiện của m

Với $m > 0$ , biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = 1$ .

Kết hợp $m \in Z \cap [- 10; 10]$ , suy ra các giá trị phù hợp và số lượng.

x \in R min f_{m} (x) = m - 1 > 0 ⟺ m > 1; m \in {2, 3, \dots, 10} \Rightarrow 9 gi \overset{a}{ˊ} trị

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A. B, C, D sai vì lần lượt ghi $15$ , $18$ , $20$ , đều khác $9$ .

9 \Rightarrow A

Đáp án: A — Có

9

giá trị nguyên của

m

thỏa mãn.

Câu 3

Tìm số nghiệm nguyên dương $(x; y)$ của bất phương trình $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} \leq 1$ ?

A

$3$ .

B

$4$ .

C

$5$ .

D

$6$ .

Lời giải

Bước 1: Tìm miền giá trị của $x$

Do $y \geq 1$ , suy ra cận trên của $x$ .

\frac{x}{3} + \frac{y}{4} \leq 1, y \geq 1 ⟹ \frac{x}{3} + \frac{1}{4} \leq 1 ⟹ x \leq \frac{9}{4} ⟹ x \in {1, 2}

Bước 2: Đếm giá trị của $y$

Xét từng giá trị của $x$ và đếm các số nguyên dương phù hợp.

x = 1 x = 2 : y \leq 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3} ⟹ y \in {1, 2}; : y \leq 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} ⟹ y = 1.

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tổng số nghiệm là $2 + 1 = 3$ . Chọn phương án $A$ ; $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt cho $4$ , $5$ , $6$ nghiệm.

2 + 1 = 3

Đáp án: Đáp án

A

— Có đúng

3

nghiệm nguyên dương.

Câu 4

Số gần đúng của $a = 5, 2463$ với độ chính xác $d = 0, 001$ là

A

$5, 2$

B

$5, 25$

C

$5, 24$

D

$5, 246$

Lời giải

Bước 1: Xác định hàng làm tròn

Độ chính xác $d = 0, 001$ nên làm tròn $a$ đến hàng phần trăm.

Bước 2: Thực hiện làm tròn

Chữ số hàng phần nghìn là $6 \geq 5$ , nên tăng chữ số hàng phần trăm từ $4$ lên $5$ .

5, 2463 ⟶ 5, 25

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án B: $5, 25$ . Các phương án A, C, D sai vì lần lượt làm tròn thiếu hoặc giữ sai chữ số cần thiết.

Đáp án: B — Vì

5, 2463

làm tròn đến hàng phần trăm bằng

5, 25

.

Câu 5

$lim_{x \to 1} \frac{x + 8 - 3}{x - 2}$ bằng

A

$0$

B

$2$

C

$5$

D

$3$

Lời giải

Bước 1: Thay trực tiếp

Tại $x = 1$ , mẫu số khác $0$ nên được phép thay trực tiếp.

\frac{1 + 8 - 3}{1 - 2} = \frac{3 - 3}{- 1} = 0

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A: $0$ . B, C, D sai vì lần lượt cho các giá trị khác $0$ .

Đáp án: A.

0

— Thay

x = 1

trực tiếp, tử số bằng

0

và mẫu số bằng

- 1

.

Câu 6

Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân?

A

$u_{n} = 2^{n}$

B

$u_{n} = \frac{n}{3 ^{n}}$

C

$u_{n} = (- 1)^{n} n$

D

$u_{n} = n^{2}$

Lời giải

Bước 1: Chọn tiêu chí kiểm tra

Tính tỉ số $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ của từng dãy; tỉ số không đổi thì là cấp số nhân.

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = q kh \overset{o}{ˆ} ng đ ổi

Bước 2: Tính tỉ số

Với phương án $A$ , tỉ số không đổi; các phương án còn lại cho tỉ số phụ thuộc vào $n$ .

\frac{2 ^{n + 1}}{2 ^{n}} = 2; \frac{\frac{n + 1}{3 ^{n + 1}}}{\frac{n}{3 ^{n}}} = \frac{n + 1}{3 n}; \frac{( - 1 ) ^{n + 1} ( n + 1 )}{( - 1 ) ^{n} n} = - \frac{n + 1}{n}; \frac{( n + 1 ) ^{2}}{n ^{2}}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $A$ vì tỉ số bằng $2$ không đổi; $B$ , $C$ , $D$ sai vì các tỉ số lần lượt phụ thuộc vào $n$ .

Đáp án:

A

— Vì

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = 2

là hằng số.

Câu 7

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để bất phương trình $lo g_{2} x - 2 (m + 2) lo g_{2} x + m^{2} + 4 m \leq 0$ đúng với mọi $x$ thuộc $[2; 4]$ (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án đúng: 4

Lời giải

Bước 1: Đổi biến và thu gọn

Đặt $t = lo g_{2} x$ , suy ra $t \in [1; 2]$ .

f (t) = m^{2} + 4 m - (2 m + 3) t

Bước 2: Xét hai đầu mút

Vì $m$ nguyên nên $2 m + 3 \neq = 0$ . Xét dấu của $2 m + 3$ để chọn đầu mút cho giá trị lớn nhất.

2 m + 3 > 0 2 m + 3 < 0 : f (1) = (m + 3) (m - 1) \leq 0 \Rightarrow m \in {- 1, 0, 1}; : f (2) = m^{2} - 6 \leq 0 \Rightarrow m = - 2.

Bước 3: Đếm giá trị

Các giá trị nguyên thỏa mãn là $m \in {- 2, - 1, 0, 1}$ .

∣ {- 2, - 1, 0, 1} ∣ = 4

Đáp án: 4 — Có

4

giá trị nguyên của

m

thỏa mãn.

Câu 8

Biết $lim_{x \to 3} \frac{x + 1 - 5 x + 1}{x - 4 x - 3} = \frac{a}{b}$ với $a, b$ là các số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Biểu thức $T = a - b$ bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án đúng: 1

Lời giải

Bước 1: Tính giới hạn

Tại $x = 3$ , tử và mẫu đều bằng $0$ ; áp dụng quy tắc L’Hôpital.

x \to 3 lim \frac{x + 1 - 5 x + 1}{x - 4 x - 3} = \frac{1 - \frac{5}{2 5 \cdot 3 + 1}}{1 - \frac{2}{4 \cdot 3 - 3}} = \frac{1 - \frac{5}{8}}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{9}{8}

Bước 2: Tính biểu thức

Phân số $\frac{9}{8}$ đã tối giản nên $a = 9$ , $b = 8$ .

T = a - b = 9 - 8 = 1

Đáp án:

1

— vì

\frac{a}{b} = \frac{9}{8}

nên

T = 9 - 8 = 1

.

Câu 9

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình bình hành tâm $O$ . Gọi $M$ là điểm thuộc cạnh $S A$ . $(P)$ là mặt phẳng qua $O M$ và song song với $A D$ . Thiết diện của $(P)$ và hình chóp là:

A

Hình chữ nhật

B

Hình tam giác

C

Hình bình hành

D

Hình thang

Lời giải

Bước 1: Tìm giao tuyến với đáy

Vì $(P)$ qua $O$ và song song $A D$ , giao tuyến với đáy là đường qua $O$ song song $A D$ .

Đường này cắt $A B$ , $C D$ lần lượt tại trung điểm $E$ , $F$ .

E F ∥ A D

Bước 2: Tìm giao tuyến mặt bên

Trong mặt phẳng $(S A D)$ , giao tuyến với $(P)$ đi qua $M$ và song song $A D$ .

Gọi giao điểm của đường này với $S D$ là $K$ .

M K ∥ A D

Bước 3: Đối chiếu phương án

Thiết diện là tứ giác $M E F K$ , với $E F ∥ M K ∥ A D$ , nên là hình thang.

$A$ , $B$ , $C$ sai vì thiết diện không lần lượt là hình chữ nhật, hình tam giác hay hình bình hành.

E F ∥ M K

Đáp án:

D

— thiết diện

M E F K

có một cặp cạnh đối song song.

Câu 10

Ông Đức gửi ngân hàng số tiền 500.000.000 đồng loại kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 5,6% trên một năm theo thể thức lãi kép (tức là nếu đến kỳ hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kỳ kế tiếp). Hỏi sau 3 năm 9 tháng ông Đức nhận được số tiền (làm tròn đến hàng nghìn) cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu? Biết rằng ông Đức không rút cả gốc lẫn lãi trong các kỳ hạn trước đó và nếu rút trước kỳ hạn thì ngân hàng trả lãi suất theo loại không kỳ hạn 0,00027% trên một ngày. (Một tháng tính 30 ngày).

A

$606.627.000$ đồng.

B

$623.613.000$ đồng.

C

$606.775.000$ đồng.

D

$611.764.000$ đồng.

Lời giải

Bước 1: Xác định số kỳ hạn

Đổi thời gian: $3$ năm $9$ tháng $= 45$ tháng $= 7$ kỳ hạn $6$ tháng và còn $3$ tháng.

$3$ tháng lẻ tương ứng $90$ ngày.

3 \cdot 12 + 9 = 45 = 7 \cdot 6 + 3; 3 \cdot 30 = 90

Bước 2: Tính tiền sau kỳ hạn

Lãi suất mỗi kỳ hạn $6$ tháng là $5, 6% \cdot \frac{6}{12} = 2, 8%$ .

Sau $7$ kỳ hạn, số tiền là $T_{1} = 606.627.099$ đồng.

T_{1} = 500.000.000 (1 + 0, 028)^{7} \approx 606.627.099

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tính tiếp lãi suất không kỳ hạn trong $90$ ngày: $T = T_{1} (1 + 0, 00027%)^{90} \approx 606.774.509$ đồng, làm tròn đến hàng nghìn được $606.775.000$ đồng.

Chọn C; A, B, D sai vì lần lượt bỏ qua phần lãi $90$ ngày hoặc tính sai số kỳ hạn, lãi suất.

T = 606.627.099 (1 + 0, 00027%)^{90} \approx 606.774.509 \approx 606.775.000

Đáp án: C — Số tiền sau

7

kỳ hạn và

90

ngày lẻ là

606.775.000

đồng.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 16 — Toán học và xử lí số liệu

Toán học và xử lí số liệu

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tính số lượng tương ứng

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Hoàn thành bình phương

Bước 2: Tìm điều kiện của m

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Tìm miền giá trị của x

Bước 2: Đếm giá trị của y

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Xác định hàng làm tròn

Bước 2: Thực hiện làm tròn

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Thay trực tiếp

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Chọn tiêu chí kiểm tra

Bước 2: Tính tỉ số

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Đổi biến và thu gọn

Bước 2: Xét hai đầu mút

Bước 3: Đếm giá trị

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Tính giới hạn

Bước 2: Tính biểu thức

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tìm giao tuyến với đáy

Bước 2: Tìm giao tuyến mặt bên

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Xác định số kỳ hạn

Bước 2: Tính tiền sau kỳ hạn

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước 1: Tìm miền giá trị của $x$

Bước 2: Đếm giá trị của $y$