Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 14 — Toán học môn Toán học (Đánh giá Năng lực (HSA))

Câu 1

Cho hàm số $y = {x, - x, khi x \geq 0 khi x < 0$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A

Hàm số không có đạo hàm tại $x = 0$

B

$y_{(0)}^{'} = 1$

C

$y_{(0)}^{'} = 0$

D

$y_{(0)}^{'} = - 1$

Lời giải

Bước 1: Tính giá trị tại điểm xét

Từ nhánh $x \geq 0$ , suy ra giá trị tại điểm ghép.

y (0) = 0

Bước 2: Tính đạo hàm một phía

Với $h > 0$ dùng nhánh $y = x$ ; với $h < 0$ dùng nhánh $y = - x$ .

h \to 0^{+} lim \frac{y ( h ) - y ( 0 )}{h} = h \to 0^{+} lim \frac{h}{h} = 1, h \to 0^{-} lim \frac{y ( h ) - y ( 0 )}{h} = h \to 0^{-} lim \frac{- h}{h} = - 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Hai đạo hàm một phía khác nhau nên đạo hàm tại $x = 0$ không tồn tại. Chọn $A$ ; các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt khẳng định giá trị đạo hàm là $1$ , $0$ , $- 1$ .

1 \neq = - 1

Đáp án:

A

— Hàm số không có đạo hàm tại

x = 0

vì hai đạo hàm một phía là

1

và

- 1

.

Câu 2

Tìm $m$ để phương trình $x^{2} - (m + 1) x + 3 m - 5 = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

A

$m \in (- \infty; 3) \cup (7; + \infty)$

B

$m \in [3; 7)$

C

$m \in [3; 7]$

D

$m \in (- \infty; 3] \cup (7; + \infty)$

Lời giải

Bước 1: Tính biệt thức

Với $a = 1$ , $b = - (m + 1)$ , $c = 3 m - 5$ , tính $Δ$ .

Δ = [- (m + 1)]^{2} - 4 (3 m - 5) = m^{2} - 10 m + 21

Bước 2: Giải điều kiện

Hai nghiệm phân biệt nên $Δ > 0$ .

m^{2} - 10 m + 21 > 0 ⟺ (m - 3) (m - 7) > 0 ⟺ m < 3 hoặc m > 7

Bước 3: Đối chiếu phương án

Suy ra $m \in (- \infty; 3) \cup (7; + \infty)$ , chọn phương án A.

B, C, D sai vì lần lượt chọn khoảng trong, lấy cả hai đầu mút, và nhận thêm $m = 3$ .

Đáp án: A:

m \in (- \infty; 3) \cup (7; + \infty)

— vì điều kiện cốt lõi là

Δ > 0

.

Câu 3

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình $x^{2} - (m + 2) x + 8 m + 1 \leq 0$ vô nghiệm.

A

$m \in [0; 28]$

B

$m \in (0; 28)$

C

$m \in (- \infty; 0) \cup (28; + \infty)$

D

$m \in (- \infty; 0] \cup [28; + \infty)$

Lời giải

Bước 1: Xác định hệ số

Với $f (x) = x^{2} - (m + 2) x + 8 m + 1$ , ta có $a = 1 > 0$ .

a = 1 > 0, b = - (m + 2), c = 8 m + 1

Bước 2: Tính biệt thức

Để $f (x) \leq 0$ vô nghiệm, cần và đủ $Δ < 0$ .

Δ = (m + 2)^{2} - 4 (8 m + 1) = m^{2} - 28 m

Bước 3: Đối chiếu phương án

Giải $m (m - 28) < 0$ được $m \in (0; 28)$ . Chọn phương án B; A và D sai vì chứa thêm $m = 0, 28$ , còn C lấy phần bù của khoảng đúng.

m (m - 28) < 0 ⟺ 0 < m < 28

Đáp án: B.

m \in (0; 28)

— vì

Δ = m (m - 28) < 0

.

Câu 4

Giả sử anh Tuấn kí hợp đồng lao động trong $10$ năm với điều khoản về tiền lương như sau:

Năm thứ nhất, anh nhận $60$ triệu đồng.

Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm Tuấn nhận được $8%$ tiền lương của năm liền trước.

Tổng số tiền lương anh Tuấn lĩnh trong suốt $10$ năm đi làm (đơn vị: triệu đồng, làm tròn đến hàng phần nghìn) là:

A

$869, 193$

B

$869, 194$

C

$665, 217$

D

$665, 218$

Lời giải

Bước 1: Lập cấp số nhân

Tiền lương mỗi năm tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu và công bội tương ứng.

u_{1} = 60, q = 1 + 8% = 1, 08

Bước 2: Tính tổng 10 năm

Áp dụng công thức tổng cấp số nhân rồi làm tròn đến hàng phần nghìn.

S_{10} = 60 \cdot \frac{1 , 0 8 ^{10} - 1}{1 , 08 - 1} \approx 869, 193747 \approx 869, 194

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn B vì tổng tiền lương là $869, 194$ triệu đồng; A sai do làm tròn xuống, còn C và D không phù hợp vì tính sai tổng cấp số nhân.

Đáp án: B — Tổng tiền lương trong

10

năm là

869, 194

triệu đồng.

Câu 5

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên $R$ . Tích phân $0 \int \frac{π}{2} cos 2 x \cdot f (sin 2 x) d x$ bằng:

A

$5$ .

B

$10$ .

C

$- 12$ .

D

$- 6$ .

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng nguyên hàm

Chọn $F$ sao cho $F^{'} (t) = f (t)$ .

\frac{d}{d x} F (sin 2 x) = 2 cos 2 x f (sin 2 x)

Bước 2: Tính tích phân

Dùng công thức nguyên hàm hàm hợp và thay cận.

I = \frac{1}{2} [F (sin 2 x)]_{0}^{\frac{π}{2}} = \frac{1}{2} (F (sin π) - F (sin 0)) = 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Kết quả đúng là $0$ , không trùng các phương án $A$ , $B$ , $C$ , $D$ ; do đó đề hoặc đáp án cung cấp bị sai.

Đáp án: Không có phương án đúng — với dữ kiện đã cho, giá trị tích phân là

0

, không phải

- 6

.

Câu 6

Cho hàm số $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + m x^{2} + (3 m + 2) x - 5$ . Tập hợp các giá trị của tham số $m$ để hàm số nghịch biến trên $R$ là $[a; b]$ . Khi đó giá trị của $2 a - b$ bằng:

A

$6$

B

$- 3$

C

$1$

D

$5$

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Lấy đạo hàm hàm số theo $x$ .

f^{'} (x) = - x^{2} + 2 m x + 3 m + 2

Bước 2: Lập điều kiện nghịch biến

Cần $f^{'} (x) \leq 0$ với mọi $x \in R$ . Tam thức có hệ số đầu $- 1 < 0$ , nên điều kiện tương đương là $Δ \leq 0$ .

Δ = (2 m)^{2} - 4 (- 1) (3 m + 2) = 4 (m + 1) (m + 2) \leq 0

Bước 3: Tìm khoảng tham số

Giải bất phương trình tích, được $- 2 \leq m \leq - 1$ ; do đó $a = - 2$ , $b = - 1$ .

m \in [- 2; - 1], 2 a - b = 2 (- 2) - (- 1) = - 3

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án B vì $2 a - b = - 3$ ; các phương án A, C, D sai do không phù hợp với kết quả tính được.

Đáp án:

- 3

— Vì

m \in [- 2; - 1]

nên

2 a - b = - 3

, chọn B.

Câu 7

Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f^{'} (x) = (x + 1)^{2} (x - 1)^{3} (2 - x)$ . Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A

$(2; + \infty)$

B

$(1; 2)$

C

$(- \infty; - 1)$

D

$(- 1; 1)$

Lời giải

Bước 1: Xét dấu các thừa số

Trên các khoảng đang xét, $(x + 1)^{2} > 0$ ; $(x - 1)^{3}$ cùng dấu với $x - 1$ .

Ngoài ra, $2 - x > 0$ khi $x < 2$ và $2 - x < 0$ khi $x > 2$ .

(x + 1)^{2} > 0 (x \neq = - 1), sgn ((x - 1)^{3}) = sgn (x - 1)

Bước 2: Lập dấu đạo hàm

Kết hợp dấu các thừa số, ta có bảng dấu của $f^{'} (x)$ trên bốn khoảng.

I f^{'} (x) (- \infty; - 1) - (- 1; 1) - (1; 2) + (2; + \infty) -

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án B, $(1; 2)$ , đúng vì $f^{'} (x) > 0$ trên khoảng này; các phương án A, C, D sai vì $f^{'} (x) < 0$ lần lượt trên $(2; + \infty)$ , $(- \infty; - 1)$ và $(- 1; 1)$ .

Đáp án: B,

(1; 2)

—

f^{'} (x) > 0

trên

(1; 2)

nên hàm số đồng biến.

Câu 8

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên $R$ với $f^{'} (x) = x (x + 1)^{2} (1 - x)$ . Hàm số đồng biến trên khoảng nào?

A

$(- 1; 0)$

B

$(0; 1)$

C

$(- \infty; - 1)$

D

$(1; + \infty)$

Lời giải

Bước 1: Tìm các mốc xét dấu

Các nhân tử bằng $0$ tại $x = - 1$ , $x = 0$ , $x = 1$ .

x = - 1, 0, 1

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Dấu của $f^{'} (x)$ chỉ dương trên khoảng $(0; 1)$ ; các khoảng còn lại trong phương án đều cho $f^{'} (x) < 0$ .

f^{'} (x) {< 0, > 0, x \in (- \infty; - 1) \cup (- 1; 0) \cup (1; + \infty) x \in (0; 1)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn B: $(0; 1)$ . A, C, D sai vì trên lần lượt $(- 1; 0)$ , $(- \infty; - 1)$ và $(1; + \infty)$ thì $f^{'} (x) < 0$ .

Đáp án: B — Vì

f^{'} (x) > 0

trên

(0; 1)

.

Câu 9

Cho hàm số $y = \frac{1}{x - 1}$ có đồ thị $(C)$ . Tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có tung độ bằng $1$ tạo với hai trục tọa độ $O x, O y$ một tam giác có diện tích bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án đúng: 9/2 / 4,5

Lời giải

Bước 1: Tìm điểm tiếp xúc

Cho $y = 1$ để xác định hoành độ điểm tiếp xúc.

\frac{1}{x - 1} = 1 ⟹ x = 2 ⟹ P (2, 1), f^{'} (x) = - \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}} ⟹ f^{'} (2) = - 1

Bước 2: Lập tiếp tuyến và tìm đoạn chắn

Dùng hệ số góc $- 1$ và điểm $P (2, 1)$ để lập phương trình tiếp tuyến.

y - 1 = - (x - 2) ⟹ y = - x + 3; y = 0 ⟹ A (3, 0), x = 0 ⟹ B (0, 3)

Bước 3: Tính diện tích

Tam giác có hai cạnh theo trục tọa độ là $O A = 3$ và $O B = 3$ .

S_{O A B} = \frac{1}{2} \cdot O A \cdot O B = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2}

Đáp án:

\frac{9}{2}

— vì tiếp tuyến cắt hai trục tọa độ tại

A (3, 0)

và

B (0, 3)

.

Câu 10

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau. Hàm số $g (x) = \frac{1}{f ( x )}$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A

$(3; + \infty)$

B

$(- 2; 0)$

C

$(1; 2)$

D

$(- \infty; - 1)$

Lời giải

Bước 1: Xét dấu đạo hàm

Với $f (x) \neq = 0$ , mẫu số $(f (x))^{2} > 0$ nên $g^{'} (x)$ trái dấu với $f^{'} (x)$ .

g^{'} (x) = - \frac{f ^{'} ( x )}{( f ( x ) ) ^{2}}

Bước 2: Suy ra khoảng đồng biến

$f (x)$ nghịch biến trên $(1; 3)$ ; do đó $g (x)$ đồng biến trên mọi khoảng con của $(1; 3)$ .

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $C : (1; 2) \subset (1; 3)$ . $A$ sai vì $f$ đồng biến trên $(3; + \infty)$ ; $B$ chứa $x = 0$ và đổi chiều đơn điệu; $D$ chứa $x = - 2$ , nơi $g$ không xác định.

Đáp án: C —

(1; 2)

nằm trong khoảng

f (x)

nghịch biến và không chứa nghiệm của

f (x)

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 14 — Toán học

Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tính giá trị tại điểm xét

Bước 2: Tính đạo hàm một phía

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Tính biệt thức

Bước 2: Giải điều kiện

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định hệ số

Bước 2: Tính biệt thức

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Lập cấp số nhân

Bước 2: Tính tổng 10 năm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng nguyên hàm

Bước 2: Tính tích phân

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Bước 2: Lập điều kiện nghịch biến

Bước 3: Tìm khoảng tham số

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Xét dấu các thừa số

Bước 2: Lập dấu đạo hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Tìm các mốc xét dấu

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tìm điểm tiếp xúc

Bước 2: Lập tiếp tuyến và tìm đoạn chắn

Bước 3: Tính diện tích

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Xét dấu đạo hàm

Bước 2: Suy ra khoảng đồng biến

Bước 3: Đối chiếu phương án