Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 13 — Toán học môn Toán học (Đánh giá Năng lực (HSA))

Câu 1

Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau mà các chữ số đó thuộc tập hợp ${1; 2; 3; 4; 5}$ ?

A

$C_{5}^{5}$

B

$A_{5}^{5}$

C

$5!$

D

$5^{5}$

Lời giải

Bước $1$ : Nhận dạng bài toán

Có đúng $5$ chữ số, dùng toàn bộ tập đã cho và mỗi chữ số xuất hiện một lần.

Do thứ tự sắp xếp tạo ra các số khác nhau, đây là bài toán hoán vị.

Bước $2$ : Tính số cách

Sắp xếp $5$ chữ số vào $5$ vị trí.

5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Chọn $C$ vì kết quả có dạng $5!$ . Phương án $A$ và $D$ lần lượt là chọn phần tử và cho phép lặp; riêng $B$ có $A_{5}^{5} = 5!$ , nên cũng tương đương về mặt toán học.

Đáp án: Đáp án

C

— có

5! = 120

cách sắp xếp; lưu ý

A_{5}^{5} = 5!

nên phương án

B

cũng tương đương.

Câu 2

Số giá trị nguyên của tham số $m$ trên đoạn $[- 10; 10]$ để bất phương trình $m x^{2} - 2 m x + 2 m - 1 \leq 0$ thỏa mãn với mọi số thực $x$ là:

A

$10$

B

$11$

C

$18$

D

$20$

Lời giải

Bước $1$ : Biến đổi biểu thức

Hoàn thành bình phương biểu thức ở vế trái.

m x^{2} - 2 m x + 2 m - 1 = m (x - 1)^{2} - 1

Bước $2$ : Xét điều kiện tham số

Nếu $m \leq 0$ thì biểu thức luôn nhỏ hơn hoặc bằng $- 1$ , nên bất phương trình đúng với mọi $x$ .

Nếu $m > 0$ , chọn $x = 1 + \frac{2}{m}$ thì biểu thức bằng $1 > 0$ , nên không thỏa mãn.

m \leq 0 \Rightarrow m (x - 1)^{2} - 1 \leq - 1 < 0; m > 0, x = 1 + \frac{2}{m} \Rightarrow m (x - 1)^{2} - 1 = 1 > 0

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Các giá trị nguyên cần tìm là $m \in {- 10, - 9, \dots, 0}$ , có $11$ giá trị. Chọn B; các phương án A, C, D sai vì lần lượt cho $10$ , $18$ , $20$ giá trị.

# {m \in Z ∣ - 10 \leq m \leq 0} = 11

Đáp án: B — Có đúng

11

giá trị nguyên của

m

.

Câu 3

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{3 x + 1}{x - 1}$

A

$+ \infty$

B

$- \infty$

C

$1$

D

$0$

Lời giải

Bước 1: Xét mẫu số

Vì $x \to 1^{+}$ nên $x - 1$ là số dương rất nhỏ.

x - 1 \to 0^{+}

Bước 2: Xét tử số và kết luận

Tử số tiến tới số dương $4$ , còn mẫu số tiến tới $0^{+}$ .

x \to 1^{+} lim \frac{3 x + 1}{x - 1} = + \infty

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ . Các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt trái dấu hoặc cho kết quả hữu hạn.

Đáp án:

A . + \infty

— tử số dương, mẫu số dương và tiến tới

0

.

Câu 4

Một du khách vào chuồng đua ngựa đặt cược, lần đầu đặt $2000$ đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi lần tiền đặt cược trước. Người đó thua $9$ lần liên tiếp và thắng ở lần thứ $10$ . Hỏi du khách trên thắng hay thua bao nhiêu?

A

Hòa vốn.

B

Thua $20000$ đồng.

C

Thắng $20000$ đồng.

D

Thua $40000$ đồng.

Lời giải

Bước $1$ : Xác định tiền cược

Dãy tiền cược là cấp số nhân với $u_{1} = 2000$ và công bội $q = 2$ .

u_{10} = 2000 \cdot 2^{9} = 1024000

Bước $2$ : Tính kết quả ròng

Sau $9$ lần thua và thắng lần thứ $10$ , số tiền thắng ròng là:

L = 2000 \cdot 10 = 20000

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Chọn phương án C vì kết quả là thắng $20000$ đồng; A, B và D sai vì lần lượt kết luận hòa vốn, thua $20000$ đồng và thua $40000$ đồng.

Đáp án: C — Du khách thắng

20000

đồng.

Câu 5

Nghiên cứu về quá trình tăng trưởng của một quần thể sinh vật trong điều kiện môi trường bị giới hạn cho thấy: ban đầu số lượng cá thể tăng trưởng chậm, sau đó nhanh và đạt cực đại, rồi giảm dần và tiến đến trạng thái cân bằng. Để mô hình quá trình này, người ta mô tả số lượng cá thể sinh ra xấp xỉ bằng một hàm số. Số lượng cá thể $N$ trong quần thể (nghìn con) tại thời điểm $t$ (năm) được xác định xấp xỉ theo hàm số $N (t) = \frac{16398}{0 , 12 + 8 e ^{- 0, 5 t}}$ . Khi quần thể sinh vật đạt trạng thái cân bằng, số cá thể của quần thể sinh vật với giá trị nào sau đây?

A

$9264$

B

$136650$

C

$163980$

D

$20480$

Lời giải

Bước 1: Biểu diễn trạng thái cân bằng

Số cá thể ở trạng thái cân bằng là giới hạn của $N (t)$ khi $t \to + \infty$ .

t \to + \infty lim N (t)

Bước 2: Tính giới hạn

Vì $e^{- 0, 5 t} \to 0$ , thay vào biểu thức của $N (t)$ .

t \to + \infty lim N (t) = \frac{16398}{0 , 12 + 8 \cdot 0} = \frac{16398}{0 , 12} = 136650

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn B. Các phương án A, C, D sai vì không bằng giá trị giới hạn đã tính.

Đáp án: B — Số cá thể cân bằng là

136650

nghìn con.

Câu 6

Đạo hàm của hàm số $y = 5^{x}$ là:

A

$5^{x} \cdot lo g 5$

B

$5^{x} \cdot ln 5$

C

$5^{x - 1}$

D

$x \cdot 5^{x - 1}$

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Hàm số có dạng $y = a^{x}$ với $a = 5$ .

Áp dụng trực tiếp công thức đạo hàm hàm số mũ.

y^{'} = (5^{x})^{'} = 5^{x} ln 5

Bước 2: Đối chiếu phương án

Kết quả là $5^{x} ln 5$ , tương ứng với phương án B.

A sai vì dùng $lo g 5$ thay $ln 5$ ; C và D sai vì không đúng công thức đạo hàm của $a^{x}$ .

y^{'} = 5^{x} ln 5

Đáp án: B — Vì

(5^{x})^{'} = 5^{x} ln 5

.

Câu 7

Giới hạn $L = lim \frac{3 n - 1}{n + 2}$ bằng

A

$+ \infty$

B

$0$

C

$1$

D

$3$

Lời giải

Bước 1: Chia cho lũy thừa cao nhất

Tử và mẫu đều bậc nhất theo $n$ . Chia cả tử và mẫu cho $n$ .

\frac{3 n - 1}{n + 2} = \frac{3 - \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}}

Bước 2: Tính giới hạn

Cho $n \to \infty$ , các phân thức chứa $\frac{1}{n}$ tiến về $0$ .

L = \frac{3 - 0}{1 + 0} = 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $D$ : $3$ ; các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt cho $+ \infty$ , $0$ , $1$ .

Đáp án: Đáp án

D

— giới hạn bằng

3

.

Câu 8

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} - (m^{2} - 2) x + m^{2} (C_{m})$ . Biết rằng đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt $A, B, C (x_{a} < x_{b} < x_{c})$ và có hai điểm cực trị $M, N$ . Số các giá trị của tham số $m$ để $M N = A C$ là?

Đáp án đúng: 2

Lời giải

Bước 1: Đưa về dạng đối xứng

Đặt $u = x - 1$ và $k = m^{2} + 1 > 0$ .

u = x - 1, k = m^{2} + 1 > 0, y = u^{3} - k u

Bước 2: Tính $A C$ và $M N$

Đổi biến chỉ tịnh tiến theo trục hoành nên các khoảng cách được bảo toàn. Từ nghiệm và cực trị của $y = u^{3} - k u$ , suy ra:

u_{A} = - k, u_{C} = k, A C = 2 k; u_{M, N} = \pm \frac{k}{3}, Δ x = 2 \frac{k}{3}, Δ y = \frac{4 k}{3} \frac{k}{3}, M N = 2 \frac{k}{3} 1 + \frac{4 k ^{2}}{9}

Bước 3: Giải điều kiện và đếm

Áp dụng $M N = A C$ :

2 \frac{k}{3} 1 + \frac{4 k ^{2}}{9} = 2 k ⟹ 1 + \frac{4 k ^{2}}{9} = 3 ⟹ k = \frac{3}{2} ⟹ m^{2} = \frac{3}{2} - 1 ⟹ m = \pm \frac{3}{2} - 1

Đáp án: Có

2

giá trị của

m

vì

m = \pm \frac{3}{2} - 1

.

Câu 9

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + (5 - m) x$ đồng biến trên khoảng $(2; + \infty)$ là:

A

$(- \infty; 5]$

B

$(- \infty; 2]$

C

$(- \infty; 2)$

D

$(- \infty; - 5]$

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Ta có đạo hàm của hàm số là:

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x + 5 - m

Bước 2: Xét dấu trên khoảng

Với $x > 2$ , ta có $3 x^{2} - 6 x + 5 = 3 (x - 1)^{2} + 2 > 5$ .

f^{'} (x) \geq 0 \forall x > 2 ⟺ 5 - m \geq 0 ⟺ m \leq 5

Bước 3: Đối chiếu phương án

$m \leq 5$ tương ứng với phương án $A$ .

$B$ và $C$ sai vì lần lượt giới hạn sai đến $2$ và loại mất giá trị $m = 2$ .

Đáp án:

A

— tập giá trị đúng là

(- \infty; 5]

Câu 10

Cho hàm số bậc 4 $f (x)$ . Đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ như hình vẽ. Hàm số $g (x) = f^{'} (x) - 4 x$ đồng biến trên khoảng nào?

Hình minh họa

A

$(0; 1)$

B

$(- \infty; - 3)$

C

$(- 4; 4)$

D

$(- 3; 2)$

Lời giải

Bước 1: Lập hàm số $f^{'} (x)$

Từ nghiệm và điểm cực tiểu của đồ thị, đặt dạng nhân tử rồi xác định $a$ .

f^{'} (x) = a (x - 1)^{2} (x - 4), a (3 - 1)^{2} (3 - 4) = - 4 \Rightarrow a = 1 \Rightarrow f^{'} (x) = (x - 1)^{2} (x - 4)

Bước 2: Tính đạo hàm $g^{'} (x)$

Khai triển $f^{'} (x)$ và tính $g^{'} (x)$ .

f^{'} (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 4, f^{''} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9, g^{'} (x) = f^{''} (x) - 4 = 3 x^{2} - 12 x + 5

Bước 3: Đối chiếu phương án

Giải điều kiện đồng biến: $g^{'} (x) > 0$ .

Vì $(- \infty; - 3) \subset (- \infty; 2 - \frac{21}{3})$ nên chọn B; A, C, D sai vì không nằm trọn trong tập khoảng đồng biến.

3 x^{2} - 12 x + 5 > 0 \Leftrightarrow x < 2 - \frac{21}{3} hoặc x > 2 + \frac{21}{3}

Đáp án: B — khoảng

(- \infty; - 3)

nằm hoàn toàn trong khoảng đồng biến của

g (x)

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 13 — Toán học

Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng bài toán

Bước 2: Tính số cách

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Biến đổi biểu thức

Bước 2: Xét điều kiện tham số

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xét mẫu số

Bước 2: Xét tử số và kết luận

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Xác định tiền cược

Bước 2: Tính kết quả ròng

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Biểu diễn trạng thái cân bằng

Bước 2: Tính giới hạn

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Chia cho lũy thừa cao nhất

Bước 2: Tính giới hạn

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Đưa về dạng đối xứng

Bước 2: Tính AC và MN

Bước 3: Giải điều kiện và đếm

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Bước 2: Xét dấu trên khoảng

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Lập hàm số f′(x)

Bước 2: Tính đạo hàm g′(x)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Nhận dạng bài toán

Bước $2$ : Tính số cách

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Biến đổi biểu thức

Bước $2$ : Xét điều kiện tham số

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Xác định tiền cược

Bước $2$ : Tính kết quả ròng

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước 2: Tính $A C$ và $M N$

Bước 1: Lập hàm số $f^{'} (x)$

Bước 2: Tính đạo hàm $g^{'} (x)$