Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 12 2025 (Đánh giá Năng lực (HSA))

Câu 1

Số giờ có ánh sáng của một thành phố $X$ ở vĩ độ $4 0^{\circ}$ Bắc trong ngày thứ $t$ của một năm không nhuận được cho bởi hàm số: $d (t) = 3 sin [\frac{π}{182} (t - 80)] + 12, t \in R v \overset{a}{ˋ} 0 < t \leq 365$ . Vào ngày thứ bao nhiêu trong năm thì thành phố $X$ có nhiều giờ ánh sáng nhất (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án đúng: 171

Lời giải

Bước 1: Xác định điều kiện cực đại

Hệ số trước $\[?]$ dương, nên $d (t)$ lớn nhất khi $\[?]$ .

sin [\frac{π}{182} (t - 80)] = 1

Bước 2: Giải và chọn ngày

Giải điều kiện trên, rồi đối chiếu miền xác định $\[?]$ .

\frac{π}{182} (t - 80) = \frac{π}{2} + 2 k π ⟺ t = 171 + 364 k, k \in Z; 0 < t \leq 365 ⟹ k = 0 ⟹ t = 171

Đáp án: Ngày thứ

171

— vì khi đó

\[?]

đạt giá trị lớn nhất.

Câu 2

$lim (\frac{1}{5} + \frac{1}{5 ^{2}} + \frac{1}{5 ^{3}} + \dots + \frac{1}{5 ^{n}})$

A

$\frac{1}{5}$

B

$\frac{4}{5}$

C

$\frac{1}{4}$

D

$\frac{1}{3}$

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng cấp số nhân

Dãy có số hạng đầu $a = \frac{1}{5}$ và công bội $q = \frac{1}{5}$ .

a = \frac{1}{5}, q = \frac{1}{5}

Bước 2: Tính tổng vô hạn

Vì $∣ q ∣ < 1$ , áp dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn.

n \to \infty lim S_{n} = \frac{a}{1 - q} = \frac{\frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{1}{4}

Bước n: Đối chiếu phương án

Chọn phương án C: $\frac{1}{4}$ ; A, B, D sai vì lần lượt chỉ lấy số hạng đầu, lấy $1 - q$ , và tính sai tổng.

Đáp án: C.

\frac{1}{4}

— Tổng cấp số nhân lùi vô hạn bằng

\frac{a}{1 - q}

.

Câu 3

Một hộp chứa 20 quả cầu đều nhau được đánh số từ 1 đến 20. Chọn ra 5 quả cầu từ hộp đó sao cho có đúng 3 quả cầu có ghi số chẵn và 2 quả có ghi số lẻ, trong đó có đúng một quả ghi số chia hết cho 4. Hỏi có bao nhiêu cách như vậy (nhập đáp án vào ô trống):

Đáp án đúng: 2250

Lời giải

Bước 1: Phân loại và chọn

Có $5$ số chia hết cho $4$ , $5$ số chẵn không chia hết cho $4$ , và $10$ số lẻ.

Chọn lần lượt $1$ số, $2$ số và $2$ số ở ba nhóm trên.

C_{5}^{1} \cdot C_{5}^{2} \cdot C_{10}^{2}

Bước 2: Tính số cách

Áp dụng quy tắc nhân để tính tổng số cách chọn.

C_{5}^{1} \cdot C_{5}^{2} \cdot C_{10}^{2} = 5 \cdot 10 \cdot 45 = 2250

Đáp án:

2250

— chọn

1

số chia hết cho

4

,

2

số chẵn còn lại và

2

số lẻ.

Câu 4

Người ta thiết kế một cái tháp gồm $8$ tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích của bề mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng $1$ bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là $512 c m^{2}$ ). Diện tích mặt trên cùng của tháp là:

Hình minh họa

A

$4 c m^{2}$

B

$32768 c m^{2}$

C

$2 c m^{2}$

D

$64 c m^{2}$

Lời giải

Bước 1: Xác định số hạng đầu

Diện tích tầng $1$ bằng một nửa diện tích đế.

u_{1} = \frac{512}{2} = 256

Bước 2: Tính diện tích tầng $8$

Công bội là $q = \frac{1}{2}$ ; áp dụng công thức cấp số nhân cho tầng $8$ .

u_{8} = u_{1} q^{7} = 256 (\frac{1}{2})^{7} = 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn C vì diện tích mặt trên tầng $8$ là $2 cm^{2}$ ; A, B, D sai vì lần lượt không bằng kết quả này.

Đáp án: C — diện tích mặt trên cùng là

2 cm^{2}

.

Câu 5

Cho 2 tập khác rỗng $A = (m - 1; 4], B = (- 2; 2 m + 2)$ với $m$ là tham số thực.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để $A \subset B$ (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án đúng: 3

Lời giải

Bước 1: Lập điều kiện

Từ $A \subset B$ : $m - 1 \geq - 2$ và $4 < 2 m + 2$ .

Hai tập khác rỗng: $m - 1 < 4$ và $- 2 < 2 m + 2$ .

m - 1 \geq - 2, 4 < 2 m + 2, m - 1 < 4, - 2 < 2 m + 2

Bước 2: Giải và kết hợp

Giải các bất phương trình rồi giao các điều kiện.

m \geq - 1, m > 1, m < 5, m > - 2 ⟹ 1 < m < 5

Bước 3: Đếm giá trị nguyên

Các giá trị nguyên là $m = 2, 3, 4$ .

n = 3

Đáp án:

3

— vì

m \in {2, 3, 4}

.

Câu 6

Sinh nhật bạn của An vào ngày 01 tháng năm. An muốn mua một món quà sinh nhật cho bạn nên quyết định bỏ ống heo $100$ đồng vào ngày 01 tháng 01 năm 2016, sau đó cứ liên tục ngày sau hơn ngày trước $100$ đồng. Hỏi đến ngày sinh nhật của bạn, An đã tích lũy được bao nhiêu tiền? (thời gian bỏ ống heo tính từ ngày 01 tháng 01 năm 2016 đến ngày 30 tháng 4 năm 2016).

A

$738100$ đồng.

B

$726000$ đồng.

C

$714000$ đồng.

D

$750300$ đồng.

Lời giải

Bước 1: Đếm số ngày

Năm $2016$ nhuận nên tháng $2$ có $29$ ngày.

n = 31 + 29 + 31 + 30 = 121

Bước 2: Xác định cấp số cộng

Tiền bỏ mỗi ngày tạo thành cấp số cộng với số hạng đầu $a_{1} = 100$ và công sai $d = 100$ .

a_{121} = a_{1} + (121 - 1) d = 100 + 120 \cdot 100 = 12100

Bước 3: Tính tổng tiền

Tổng tiền An tích lũy là tổng của $121$ số hạng đầu.

S_{121} = \frac{121}{2} (100 + 12100) = 121 \cdot 6100 = 738100

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ . Các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì không cho đúng tổng $121$ số hạng của cấp số cộng.

Đáp án: A.

738100

đồng — tổng

121

số hạng của cấp số cộng có

a_{1} = 100

và

d = 100

.

Câu 7

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m \in [- 10; 10]$ để bất phương trình $4 lo g_{2}^{2} x + lo g_{2} x + m \geq 0$ nghiệm đúng với mọi $x \in (1; 64)$ ?

A

$11$

B

$3$

C

$8$

D

$16$

Lời giải

Bước $1$ : Đổi biến

Đặt $t = lo g_{2} x$ ; khi đó $lo g_{2} x = \frac{t}{2}$ .

x \in (1, 64) ⟹ t \in (0, 6), 4 (\frac{t}{2})^{2} + t + m \geq 0 ⟺ t^{2} + t + m \geq 0

Bước $2$ : Tìm điều kiện của $m$

Xét $f (t) = t^{2} + t + m$ . Vì $f^{'} (t) = 2 t + 1 > 0$ trên $(0, 6)$ nên $f (t)$ có cận dưới là $m$ .

f (t) \geq 0 \forall t \in (0, 6) ⟺ m \geq 0

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Các giá trị nguyên thỏa mãn là $m \in {0, 1, 2, \dots, 10}$ , gồm $11$ giá trị.

Chọn phương án $A$ ; các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt cho số lượng giá trị là $3$ , $8$ , $16$ .

10 - 0 + 1 = 11

Đáp án: A — Có

11

giá trị nguyên của

m

thỏa mãn điều kiện.

Câu 8

Biết bất phương trình $lo g_{2} (3^{x} - 3) lo g_{8} (3^{x^{2} - 2} - \frac{3}{4}) \leq 1$ có tập nghiệm là đoạn $[a; b]$ . Giá trị biểu thức $a + b$ bằng

A

$1 + lo g_{3} 77$

B

$lo g_{3} \frac{77}{2}$

C

$- 2 + lo g_{2} \frac{77}{2}$

D

$- 1 + lo g_{2} 77$

Lời giải

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Đặt $t = lo g_{2} (3^{x} - 3)$ , khi đó $lo g_{8} \frac{3 ^{x} - 3}{4} = \frac{t - 2}{3}$ .

t \cdot \frac{t - 2}{3} \leq 1 ⟺ t^{2} - 2 t - 3 \leq 0

Bước 2: Tìm khoảng của $x$

Giải bất phương trình bậc hai: $- 1 \leq t \leq 3$ .

Suy ra $\frac{1}{2} \leq 3^{x} - 3 \leq 8$ , rồi lấy logarit cơ số $3$ .

- 1 \leq lo g_{2} (3^{x} - 3) \leq 3 ⟺ \frac{7}{2} \leq 3^{x} \leq 11 ⟺ x \in [lo g_{3} \frac{7}{2}; lo g_{3} 11]

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tính tổng hai đầu mút: $a + b = lo g_{3} \frac{7}{2} + lo g_{3} 11 = lo g_{3} \frac{77}{2}$ .

Chọn $B$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai do dùng sai cơ số hoặc biến đổi sai tổng logarit.

a + b = lo g_{3} (\frac{7}{2} \cdot 11) = lo g_{3} \frac{77}{2}

Đáp án: B — Vì

a + b = lo g_{3} \frac{77}{2}

.

Câu 9

Cho hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} + (m + 1) x^{2} + (4 m + 9) x + 2022$ (với m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên $R$ ?

A

$0$

B

$5$

C

$7$

D

$6$

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Đạo hàm của hàm số là một tam thức bậc hai.

f^{'} (x) = x^{2} + 2 (m + 1) x + 4 m + 9

Bước 2: Lập điều kiện

Hệ số đầu của $f^{'} (x)$ là $1 > 0$ , nên cần $Δ \leq 0$ .

Δ = [2 (m + 1)]^{2} - 4 (4 m + 9) = 4 (m^{2} - 2 m - 8) \leq 0

Bước 3: Đếm giá trị nguyên

Giải bất phương trình theo $m$ rồi đếm các số nguyên thuộc khoảng nghiệm.

m^{2} - 2 m - 8 \leq 0 ⟺ - 2 \leq m \leq 4 ⟹ m \in {- 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4} ⟹ 7 gi \overset{a}{ˊ} trị

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án C vì kết quả là $7$ ; A, B, D sai vì lần lượt nêu các giá trị $0$ , $5$ , $6$ .

Đáp án: C.

7

— Có

7

giá trị nguyên của

m

trong đoạn

[- 2; 4]

.

Câu 10

Cho hàm số bậc bốn $f (x)$ . Đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ như hình vẽ. Hàm số $g (x) = f (x) + 4 x$ đồng biến trên khoảng nào?

Hình minh họa

A

$(0; 1)$

B

$(- \infty; - 3)$

C

$(- 2; 0)$

D

$(- 3; - 2)$

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Tính đạo hàm của hàm số $g (x)$ .

g^{'} (x) = f^{'} (x) + 4

Bước 2: Đọc dấu từ đồ thị

Điều kiện đồng biến là $g^{'} (x) > 0$ , tương đương với $f^{'} (x) > - 4$ .

Dựa vào đồ thị, điều này xảy ra khi $0 < x < 3$ .

g^{'} (x) > 0 ⟺ f^{'} (x) > - 4 ⟺ 0 < x < 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A: $(0; 1) \subset (0; 3)$ . B, C, D sai vì các khoảng lần lượt không nằm trong $(0; 3)$ .

Đáp án: A.

(0; 1)

— khoảng này nằm trong miền

g^{'} (x) > 0

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 12

Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Xác định điều kiện cực đại

Bước 2: Giải và chọn ngày

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng cấp số nhân

Bước 2: Tính tổng vô hạn

Bước n: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Phân loại và chọn

Bước 2: Tính số cách

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Xác định số hạng đầu

Bước 2: Tính diện tích tầng 8

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Lập điều kiện

Bước 2: Giải và kết hợp

Bước 3: Đếm giá trị nguyên

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Đếm số ngày

Bước 2: Xác định cấp số cộng

Bước 3: Tính tổng tiền

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Đổi biến

Bước 2: Tìm điều kiện của m

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Bước 2: Tìm khoảng của x

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Bước 2: Lập điều kiện

Bước 3: Đếm giá trị nguyên

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Bước 2: Đọc dấu từ đồ thị

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước 2: Tính diện tích tầng $8$

Bước $1$ : Đổi biến

Bước $2$ : Tìm điều kiện của $m$

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước 2: Tìm khoảng của $x$