Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 11 — Toán học và xử lí số liệu môn Toán học (Đánh giá Năng lực (HSA))

Câu 1

Cho hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - 2}$ có đồ thị $(C)$ . Hỏi có tất cả bao nhiêu điểm thuộc đồ thị $(C)$ mà tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng $\frac{2}{5}$ ?

A

4

B

5

C

2

D

3

Lời giải

Bước 1: Lập dữ kiện tiếp tuyến

Đặt $t = x_{0} - 2 \neq = 0$ ; khi đó $x_{0} = t + 2$ .

y_{0} = 2 + \frac{5}{t}, f^{'} (x_{0}) = - \frac{5}{t ^{2}}

Bước 2: Tính diện tích theo $t$

Gọi $a$ , $b$ lần lượt là hoành độ giao điểm với $O x$ và tung độ giao điểm với $O y$ .

a = \frac{2 ( t ^{2} + 5 t + 5 )}{5}, b = \frac{2 ( t ^{2} + 5 t + 5 )}{t ^{2}}, S = \frac{1}{2} ∣ ab ∣ = \frac{2 ( t ^{2} + 5 t + 5 ) ^{2}}{5 t ^{2}}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Điều kiện diện tích cho $\frac{( t ^{2} + 5 t + 5 ) ^{2}}{t ^{2}} = 1$ , nên $∣ t^{2} + 5 t + 5∣ = ∣ t ∣$ .

Suy ra $t^{2} + 4 t + 5 = 0$ vô nghiệm hoặc $t^{2} + 6 t + 5 = 0$ , được $t = - 1, - 5$ ; có $2$ điểm. Chọn $C$ ; $A$ , $B$ , $D$ sai vì không tương ứng số nghiệm thực hợp lệ.

t^{2} + 4 t + 5 = 0 v \overset{o}{ˆ} nghiệm; t^{2} + 6 t + 5 = 0 \Rightarrow t = - 1, - 5

Đáp án:

C

— có đúng

2

điểm thỏa mãn.

Câu 2

Cho hai số thực $a, b \in (0; \frac{π}{2})$ thỏa mãn $\int_{a}^{b} \frac{1}{c o s ^{2} x} d x = 8$ . Giá trị của $tan a - tan b$ bằng

A

$1$

B

$8$

C

$- 8$

D

$\frac{1}{8}$

Lời giải

Bước 1: Nhận diện nguyên hàm

Do $(tan x)^{'} = \frac{1}{c o s ^{2} x}$ , nguyên hàm của hàm dưới dấu tích phân là $tan x$ .

(tan x)^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x}

Bước 2: Tính theo cận

Áp dụng định lí cơ bản của giải tích và dữ kiện đề bài.

\int_{a}^{b} \frac{1}{cos ^{2} x} d x = tan b - tan a = 8

Bước 3: Đối chiếu phương án

Đổi dấu hai vế được $tan a - tan b = - 8$ . Chọn phương án $C$ ; các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt không đổi dấu, giữ sai thứ tự hiệu và lấy nghịch đảo.

tan a - tan b = - 8

Đáp án: C.

- 8

— vì

tan b - tan a = 8

nên

tan a - tan b = - 8

.

Câu 3

Bà chủ quán trà sữa X muốn trang trí quán cho đẹp nên quyết định thuê nhân công xây một bức tường bằng gạch với xi măng (như hình vẽ bên), biết rằng dữ liệu cung có 500 viên ở hàng dưới cùng, mỗi hàng tiếp theo đều ít hơn hàng trước 1 viên và hàng trên cùng có 1 viên. Hỏi số gạch cần dùng để hoàn thành bức tường trên là bao nhiêu viên?

Hình minh họa

A

$25.250$

B

$250.500$

C

$12.550$

D

$125.250$

Lời giải

Bước 1: Xác định cấp số cộng

Đảo thứ tự các hàng, số viên lần lượt là $1, 2, \dots, 500$ .

a_{1} = 1, a_{500} = 500, n = 500

Bước 2: Tính tổng số viên

Áp dụng công thức tổng cấp số cộng.

S_{500} = \frac{500 ( 1 + 500 )}{2} = 250 \cdot 501 = 125250

Bước 3: Đối chiếu phương án

Kết quả cần dùng là $125.250$ viên, nên chọn D; A, B, C sai vì không bằng tổng số gạch đã tính.

Đáp án: D — tổng số gạch cần dùng là

125.250

viên.

Câu 4

Cho $a, b$ là các số thực dương tùy ý và $a \neq = 1$ , $lo g_{a^{4}} b$ bằng

A

$4 + lo g_{b} b$

B

$\frac{1}{4} lo g_{a} b$

C

$4 lo g_{a} b$

D

$\frac{1}{4} + lo g_{b} b$

Lời giải

Bước 1: Hạ số mũ cơ số

Áp dụng công thức logarit của cơ số $a^{4}$ .

lo g_{a^{4}} b = \frac{1}{4} lo g_{a} b

Bước 2: Đối chiếu phương án

Theo phương án đã cho, kết quả được viết dưới dạng $\frac{1}{4} lo g_{a} b$ .

\frac{1}{4} lo g_{a} b

Đáp án: B — kết quả được chọn là

\frac{1}{4} lo g_{a} b

.

Câu 5

Đạo hàm của hàm số $y = cos^{2} (2 x + 1)$ là:

A

$2 cos (2 x + 1)$

B

$2 sin (4 x + 2)$

C

$- 2 sin (2 x + 1)$

D

$- 2 sin (4 x + 2)$

Lời giải

Bước 1: Đặt hàm trung gian

Đặt $u = cos (2 x + 1)$ , suy ra $y = u^{2}$ .

u = cos (2 x + 1), u^{'} = - 2 sin (2 x + 1)

Bước 2: Tính đạo hàm

Áp dụng quy tắc hàm hợp và công thức nhân đôi.

y^{'} = 2 u \cdot u^{'} = 2 cos (2 x + 1) \cdot [- 2 sin (2 x + 1)] = - 4 sin (2 x + 1) cos (2 x + 1) = - 2 sin (4 x + 2)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn D: $y^{'} = - 2 sin (4 x + 2)$ . A, B, C sai lần lượt vì thiếu tích lượng giác, sai dấu và hệ số, chưa dùng góc nhân đôi.

Đáp án: D —

y^{'} = - 2 sin (4 x + 2)

.

Câu 6

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ thỏa mãn $2 (u_{3} + u_{4} + u_{5}) = u_{6} + u_{7} + u_{8}$ . Tính $\frac{u _{8} + u _{9} + u _{10}}{u _{2} + u _{3} + u _{4}}$

Đáp án đúng: 4

Lời giải

Bước 1: Tìm công bội

Đặt công bội là $r$ và thay $u_{n} = u_{1} r^{n - 1}$ vào điều kiện.

2 u_{1} r^{2} (1 + r + r^{2}) = u_{1} r^{5} (1 + r + r^{2}) ⟹ 2 r^{2} = r^{5} ⟹ r^{3} = 2

Bước 2: Tính thương cần tìm

Nhóm các số hạng theo công thức cấp số nhân rồi rút gọn.

\frac{u _{8} + u _{9} + u _{10}}{u _{2} + u _{3} + u _{4}} = \frac{u _{1} r ^{7} ( 1 + r + r ^{2} )}{u _{1} r ( 1 + r + r ^{2} )} = r^{6} = (r^{3})^{2} = 4

Đáp án:

4

— vì thương cần tính bằng

r^{6}

và

r^{3} = 2

.

Câu 7

Cho phương trình $lo g_{2}^{2} x - (m^{2} - 2 m) lo g_{2} x + m + 3 = 0$ ( $m$ là tham số thực). Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} \cdot x_{2} = 8$ . Tổng các phần tử của $S$ là:

A

$5$

B

$- 1$

C

$1$

D

$2$

Lời giải

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Đặt $t = lo g_{2} x$ ; khi đó phương trình trở thành phương trình bậc hai theo $t$ .

t^{2} - (m^{2} - 2 m) t + m + 3 = 0

Bước 2: Dùng điều kiện tích

Gọi $t_{1}, t_{2}$ là hai nghiệm. Vì $x_{i} = 2^{t_{i}}$ và $x_{1} x_{2} = 8 = 2^{3}$ , suy ra $t_{1} + t_{2} = 3$ .

t_{1} + t_{2} = m^{2} - 2 m = 3 \Rightarrow m^{2} - 2 m - 3 = 0 \Rightarrow m \in {- 1, 3}

Bước 3: Kiểm tra nghiệm phân biệt

Với $m = 3$ , phương trình theo $t$ có $Δ = - 15 < 0$ , loại. Với $m = - 1$ , phương trình có hai nghiệm phân biệt $t = 1, 2$ , nhận.

{m = 3 : Δ = 9 - 24 = - 15 < 0 m = - 1 : t^{2} - 3 t + 2 = 0 \Rightarrow t_{1} = 1, t_{2} = 2

Bước 4: Đối chiếu phương án

Suy ra $S = {- 1}$ nên tổng các phần tử của $S$ là $- 1$ . Chọn phương án B; A, C, D sai vì lần lượt có giá trị $5, 1, 2$ , đều khác $- 1$ .

m \in S \sum m = - 1

Đáp án: B — vì

S = {- 1}

nên tổng các phần tử là

- 1

.

Câu 8

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x) = x^{2} (x^{2} - 1)^{2} (x - 2), \forall x \in R$ . Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A

$(- \infty; - 1)$

B

$(- 1; 0)$

C

$(1; 2)$

D

$(2; + \infty)$

Lời giải

Bước 1: Xét dấu đạo hàm

Hai thừa số $x^{2}$ và $(x^{2} - 1)^{2}$ không âm; vì vậy dấu của $f^{'} (x)$ phụ thuộc vào $x - 2$ .

f^{'} (x) > 0 ⟺ x - 2 > 0 ⟺ x > 2

Bước 2: Kết luận khoảng đồng biến

Trên khoảng $(2; + \infty)$ , ta có $f^{'} (x) > 0$ nên hàm số đồng biến.

f^{'} (x) > 0 tr \overset{e}{ˆ} n (2; + \infty)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $D$ : $(2; + \infty)$ . Các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì trên đó $x < 2$ , nên $f^{'} (x) < 0$ .

Đáp án: D — Vì

f^{'} (x) > 0

khi và chỉ khi

x > 2

.

Câu 9

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên $R$ là $f^{'} (x) = (x + 3) (x - 4)$ . Tính tổng các giá trị nguyên của tham số $m \in [- 10; 5]$ để hàm số $y = f (x^{2} - 3 x + m)$ có nhiều điểm cực trị nhất

A

-55

B

-50

C

11

D

19

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm hàm hợp

Đặt $u = x^{2} - 3 x + m$ rồi áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp.

g^{'} (x) = (2 x - 3) (x^{2} - 3 x + m + 3) (x^{2} - 3 x + m - 4)

Bước 2: Xác định điều kiện có năm nghiệm

Nhân tử $x^{2} - 3 x + m - 4$ luôn có hai nghiệm phân biệt trong khoảng đã cho.

Nhân tử còn lại có hai nghiệm phân biệt khi $m \leq - 1$ .

Δ_{1} = 25 - 4 m > 0; Δ_{2} = - 4 m - 3 > 0 ⟺ m < - \frac{3}{4} ⟺ m \leq - 1

Bước 3: Kiểm tra và tính tổng

Với $m \leq - 1$ , ba nhân tử có tổng cộng $5$ nghiệm phân biệt: nghiệm $x = \frac{3}{2}$ không trùng nghiệm hai tam thức, còn hai tam thức lệch nhau $7$ .

Do đó các giá trị phù hợp là $m = - 10, - 9, \dots, - 1$ .

S = (- 10) + (- 9) + \dots + (- 1) = \frac{( - 10 - 1 ) \cdot 10}{2} = - 55

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ . Các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt không phải tổng $S = - 55$ .

Đáp án:

- 55

— vì các giá trị nguyên phù hợp là

m \in {- 10, - 9, \dots, - 1}

.

Câu 10

Cho hàm số bậc bốn $f (x)$ . Đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ như hình vẽ. Hàm số $g (x) = f (x) + 4 x$ đồng biến trên khoảng nào?

Hình minh họa

A

$(0; 1)$

B

$(- \infty; - 3)$

C

$(- 2; 0)$

D

$(- 3; - 2)$

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Tính đạo hàm của hàm số $g (x)$ .

g^{'} (x) = f^{'} (x) + 4

Bước 2: Đọc dấu từ đồ thị

Điều kiện đồng biến là $g^{'} (x) > 0$ , tương đương với $f^{'} (x) > - 4$ .

Dựa vào đồ thị, điều này xảy ra khi $0 < x < 3$ .

g^{'} (x) > 0 ⟺ f^{'} (x) > - 4 ⟺ 0 < x < 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A: $(0; 1) \subset (0; 3)$ . B, C, D sai vì các khoảng lần lượt không nằm trong $(0; 3)$ .

Đáp án: A.

(0; 1)

— khoảng này nằm trong miền

g^{'} (x) > 0

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 11 — Toán học và xử lí số liệu

Toán học và xử lí số liệu

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Lập dữ kiện tiếp tuyến

Bước 2: Tính diện tích theo t

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Nhận diện nguyên hàm

Bước 2: Tính theo cận

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định cấp số cộng

Bước 2: Tính tổng số viên

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Hạ số mũ cơ số

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Đặt hàm trung gian

Bước 2: Tính đạo hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Tìm công bội

Bước 2: Tính thương cần tìm

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Bước 2: Dùng điều kiện tích

Bước 3: Kiểm tra nghiệm phân biệt

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Xét dấu đạo hàm

Bước 2: Kết luận khoảng đồng biến

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm hàm hợp

Bước 2: Xác định điều kiện có năm nghiệm

Bước 3: Kiểm tra và tính tổng

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Bước 2: Đọc dấu từ đồ thị

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước 2: Tính diện tích theo $t$