Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 10 — Toán học và xử lí số liệu môn Toán học (Đánh giá Năng lực (HSA))

Câu 1

Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình $x = 2 cos (5 t - \frac{π}{6})$ , ở đây thời gian $t$ tính bằng giây và quãng đường $x$ tính bằng centimet. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án đúng: 9

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình qua cân bằng

Đặt $x = 0$ rồi dùng công thức nghiệm của phương trình cosin.

2 cos (5 t - \frac{π}{6}) = 0 \Leftrightarrow 5 t - \frac{π}{6} = \frac{π}{2} + k π \Leftrightarrow t = \frac{2 π}{15} + \frac{k π}{5}

Bước 2: Lọc nghiệm trong khoảng thời gian

Với $0 \leq t \leq 6$ , suy ra $k$ là các số nguyên từ $0$ đến $8$ .

0 \leq \frac{2 π}{15} + \frac{k π}{5} \leq 6 \Leftrightarrow 0 \leq k \leq \frac{30}{π} - \frac{2}{3} \approx 8, 88 \Rightarrow k = 0, 1, \dots, 8

Đáp án:

9

— có

9

giá trị nguyên của

k

.

Câu 2

Hệ bất phương trình ${m (m x - 1) < 2 m (m x - 2) \geq 2 m + 1$ có nghiệm khi và chỉ khi

A

$m < \frac{1}{3}$

B

$0 \neq = m < \frac{1}{3}$

C

$m \neq = 0$

D

$m < 0$

Lời giải

Bước 1: Biến đổi hệ

Khai triển và chuyển vế hai bất phương trình.

m (m x - 1) < 2 ⟺ m^{2} x < m + 2; m (m x - 2) \geq 2 m + 1 ⟺ m^{2} x \geq 4 m + 1

Bước 2: Xác định khoảng nghiệm

Chia các bất phương trình cho $m^{2}$ rồi viết khoảng nghiệm của $x$ .

\frac{4 m + 1}{m ^{2}} \leq x < \frac{m + 2}{m ^{2}}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Khoảng nghiệm không rỗng nên điều kiện là $m < \frac{1}{3}$ . Chọn phương án A; B sai vì loại thêm $m = 0$ , C nhận cả $m \geq \frac{1}{3}$ , còn D loại các giá trị $0 < m < \frac{1}{3}$ .

\frac{4 m + 1}{m ^{2}} < \frac{m + 2}{m ^{2}} ⟺ 4 m + 1 < m + 2 ⟺ 3 m < 1 ⟺ m < \frac{1}{3}

Đáp án: A.

m < \frac{1}{3}

— điều kiện để khoảng nghiệm của

x

không rỗng.

Câu 3

Trên mặt phẳng tọa độ $(O x y)$ , đường thẳng $12 x + 5 y = 60$ tạo với hai trục tọa độ một tam giác.

Tổng độ dài các đường cao của tam giác đó là:

A

$\frac{60}{13}$

B

$\frac{281}{13}$

C

$\frac{360}{17}$

D

$20$

Lời giải

Bước 1: Tìm các cạnh góc vuông

Cho $y = 0$ được giao điểm $A$ trên $O x$ ; cho $x = 0$ được giao điểm $B$ trên $O y$ .

A (5; 0), B (0; 12), O A = 5, O B = 12

Bước 2: Tính đường cao còn lại

Vì $O A ⊥ O B$ , hai đường cao tương ứng có độ dài $5$ và $12$ ; đường cao từ $O$ là khoảng cách đến $A B$ .

O H = d (O, A B) = \frac{∣12 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 60∣}{1 2 ^{2} + 5 ^{2}} = \frac{60}{13}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tổng độ dài ba đường cao là $5 + 12 + \frac{60}{13} = \frac{281}{13}$ . Chọn $B$ ; $A$ chỉ là $O H$ , còn $C, D$ do tính hoặc cộng sai.

5 + 12 + \frac{60}{13} = \frac{65 + 60}{13} = \frac{125}{13}

Đáp án: B.

\frac{281}{13}

— tổng đúng là

O A + O B + O H = 5 + 12 + \frac{60}{13}

.

Câu 4

Cho hàm số $f (x) = ln \frac{2018 x}{x + 1}$ . Tổng $S = f^{'} (1) + f^{'} (2) + \dots + f^{'} (2018)$ bằng:

A

$ln 2018$

B

$1$

C

$2018$

D

$\frac{2018}{2019}$

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Tách logarit thành hiệu rồi lấy đạo hàm.

f (x) f^{'} (x) = ln 2018 + ln x - ln (x + 1) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}

Bước 2: Lập tổng

Thay $f^{'} (k)$ vào tổng và viết các số hạng liên tiếp.

S = k = 1 \sum 2018 (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}) = (1 - \frac{1}{2}) + \dots + (\frac{1}{2018} - \frac{1}{2019})

Bước 3: Đối chiếu phương án

Các số hạng giữa triệt tiêu, nên $S = 1 - \frac{1}{2019} = \frac{2018}{2019}$ .

Chọn phương án $D$ ; $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt nhầm tổng với $ln 2018$ , số hạng biên $1$ và cận trên $2018$ .

S = 1 - \frac{1}{2019} = \frac{2018}{2019}

Đáp án: Đáp án

D

:

\frac{2018}{2019}

— do tổng các hiệu liên tiếp triệt tiêu.

Câu 5

Với $x \to 1 lim \frac{f ( x ) - 10}{x - 1} = 5$ và $g (x) = f (x) + 6 - 2 [f (x) - 2]$ thì $x \to 1 lim \frac{1}{( x - 1 ) g ( x )}$ bằng:

A

$- \infty$

B

$0$

C

$1$

D

$+ \infty$

Lời giải

Bước 1: Tìm giới hạn của $f (x)$

Từ giới hạn đã cho, suy ra $x \to 1 lim f (x) = 10$ .

x \to 1 lim f (x) = 10

Bước 2: Tính giới hạn của $g (x)$

Thay giới hạn của $f (x)$ vào biểu thức $g (x)$ .

x \to 1 lim g (x) = 10 + 6 - 2 (10 - 2) = 10 - 10 < 0

Bước 3: Xét dấu mẫu số

Do $x \to 1^{+}$ nên $x - 1 \to 0^{+}$ , còn $g (x) \to 10 - 10 < 0$ .

Vì vậy, $x - 1 g (x) \to 0^{-}$ .

x \to 1^{+} lim \frac{1}{x - 1 g ( x )} = - \infty

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A: $- \infty$ ; các phương án B, C, D sai vì không xét đúng dấu âm của mẫu số khi tiến về $0$ .

Đáp án: A.

- \infty

— mẫu số tiến đến

0^{-}

.

Câu 6

Hàm số $y = tan x - cot x$ có đạo hàm là:

A

$y^{'} = \frac{1}{sin ^{2} 2 x}$

B

$y^{'} = \frac{4}{cos ^{2} 2 x}$

C

$y^{'} = \frac{4}{sin ^{2} 2 x}$

D

$y^{'} = \frac{1}{cos ^{2} 2 x}$

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm từng phần

Áp dụng trực tiếp công thức đạo hàm của $tan x$ và $cot x$ .

y^{'} = (tan x - cot x)^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x} + \frac{1}{sin ^{2} x}

Bước 2: Quy đồng và biến đổi

Dùng $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ rồi thay $2 sin x cos x = sin 2 x$ .

y^{'} = \frac{sin ^{2} x + cos ^{2} x}{sin ^{2} x cos ^{2} x} = \frac{1}{sin ^{2} x cos ^{2} x} = \frac{4}{sin ^{2} 2 x}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ : $y^{'} = \frac{4}{sin ^{2} 2 x}$ . Các phương án $A$ , $B$ , $D$ lần lượt sai vì thiếu hệ số $4$ , dùng sai mẫu $cos^{2} 2 x$ , và vừa sai mẫu vừa thiếu hệ số $4$ .

Đáp án: C — Vì

y^{'} = \frac{4}{sin ^{2} 2 x}

.

Câu 7

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(x, y)$ thỏa mãn $lo g_{7} (\frac{2 x ^{3} - 3 x ^{2} + 1}{6 x y + 1 + 2 x + 3 y}) = 14 x + 3 y - 7 (x^{2} + 1)$ đồng thời $1 < x < 2023$

A

$1347$

B

$1348$

C

$1346$

D

$673$

Lời giải

Bước 1: Phân tích và đặt ẩn

Đặt $a = x - 1$ ; phân tích tử, mẫu và rút gọn số mũ.

2 x^{3} - 3 x^{2} + 1 = (x - 1)^{2} (2 x + 1), 6 x y + 1 + 2 x + 3 y = (2 x + 1) (3 y + 1), 14 x + 3 y - 7 (x^{2} + 1) = 3 y - 7 a^{2}

Bước 2: Xác định số mũ

Đặt $k = 3 y - 7 a^{2}$ . Xét ba khả năng của $k$ để so sánh hai vế.

\frac{a ^{2}}{3 y + 1} = 7^{k}; k = 0 \Rightarrow \frac{a ^{2}}{3 y + 1} < 1 = 7^{k}; k \geq 1 \Rightarrow \frac{a ^{2}}{3 y + 1} < \frac{1}{7} < 7^{k}; k \leq - 1 \Rightarrow \frac{a ^{2}}{3 y + 1} \geq \frac{1}{7} \geq 7^{k}

Bước 3: Tìm và đếm nghiệm

Chỉ có thể xảy ra đẳng thức cuối: $k = - 1$ và $3 y + 1 = 7 a^{2}$ . Điều kiện nguyên của $y$ tương đương $3 ∤ a$ .

y = \frac{7 a ^{2} - 1}{3}, 1 \leq a \leq 2021, 3 ∤ a, N = 2021 - ⌊ \frac{2021}{3} ⌋ = 2021 - 673 = 1348

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ . Các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt thiếu $1$ , thiếu $2$ , và chỉ đếm số bội của $3$ .

Đáp án: B — Có

1348

cặp số nguyên dương thỏa mãn.

Câu 8

Trong không gian $O x y z$ , cho ba điểm $A (1; 1; 0), B (0; 1; 0), C (- 1; 0; 2)$ .

Đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C)$ .

Vector nào dưới đây là một vector chỉ phương của $d$ ?

A

$u = (0; 2; 1)$

B

$u = (0; - 2; 1)$

C

$u = (- 2; 1; 0)$

D

$u = (1; - 2; 0)$

Lời giải

Bước 1: Lập hai vectơ trong mặt phẳng

Chọn hai vectơ không cùng phương thuộc $(A B C)$ là $A B$ và $A C$ .

A B = B - A = (- 1; 0; 0), A C = C - A = (- 2; - 1; 2)

Bước 2: Tìm vectơ pháp tuyến

Tích có hướng của hai vectơ trên là một vectơ pháp tuyến của $(A B C)$ .

n = A B \times A C = (0; 2; 1)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Vì $d ⊥ (A B C)$ nên vectơ chỉ phương của $d$ cùng phương với $n$ . Chọn $u = (0; 2; 1)$ ; các phương án $B$ , $C$ , $D$ không cùng phương với $n$ .

Đáp án: A —

u = (0; 2; 1)

cùng phương với vectơ pháp tuyến của

(A B C)

.

Câu 9

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh $a$ , cạnh bên $S A$ vuông góc với đáy và $S A = a 3$ . Khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $(S B C)$ bằng

A

$\frac{2 a 5}{5}$

B

$a 5$

C

$\frac{a}{2}$

D

$\frac{a 3}{2}$

Lời giải

Bước 1: Dựng đoạn vuông góc

Vì $B C ⊥ S A$ , $B C ⊥ A B$ nên $B C ⊥ (S A B)$ , suy ra $(S B C) ⊥ (S A B)$ .

Kẻ $A H ⊥ S B$ tại $H$ ; do đó $A H ⊥ (S B C)$ và $A H = d (A, (S B C))$ .

B C ⊥ S A, B C ⊥ A B \Rightarrow B C ⊥ (S A B) \Rightarrow (S B C) ⊥ (S A B)

Bước 2: Tính khoảng cách

Vì $A D ∥ B C$ và $B C \subset (S B C)$ nên $d (D, (S B C)) = d (A, (S B C)) = A H$ .

A H = \frac{S A \cdot A B}{S A ^{2} + A B ^{2}} = \frac{a 3 \cdot a}{3 a ^{2} + a ^{2}} = \frac{a 3}{2}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn D: $\frac{a 3}{2}$ ; các phương án A, B, C sai vì lần lượt khác kết quả về căn thức hoặc hệ số.

Đáp án: D — Vì

d (D, (S B C)) = \frac{a 3}{2}

.

Câu 10

Với $a$ là số thực dương tùy ý, đặt $lo g_{2} a = m$ . Khi đó $lo g_{2}^{2} (8 a^{2})$ bằng:

A

$4 m^{2} + 12 m + 9$ .

B

$4 m + 6$ .

C

$m^{2} + 6 m + 9$ .

D

$m^{2} + 10 m + 9$ .

Lời giải

Bước 1: Tính logarit bên trong

Tách tích $8 a^{2}$ và thay dữ kiện $lo g_{2} a = m$ .

lo g_{2} (8 a^{2}) = lo g_{2} 8 + lo g_{2} (a^{2}) = 3 + 2 lo g_{2} a = 3 + 2 m

Bước 2: Bình phương kết quả

Theo ký hiệu đề bài, bình phương toàn bộ giá trị vừa tính.

lo g_{2}^{2} (8 a^{2}) = (3 + 2 m)^{2} = 4 m^{2} + 12 m + 9

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A: $4 m^{2} + 12 m + 9$ ; B, C, D sai vì lần lượt không bình phương đầy đủ, sai hệ số $m$ , và sai hệ số $m$ .

4 m^{2} + 12 m + 9

Đáp án: Phương án A — vì

lo g_{2}^{2} (8 a^{2}) = (3 + 2 m)^{2} = 4 m^{2} + 12 m + 9

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 10 — Toán học và xử lí số liệu

Toán học và xử lí số liệu

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình qua cân bằng

Bước 2: Lọc nghiệm trong khoảng thời gian

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Biến đổi hệ

Bước 2: Xác định khoảng nghiệm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Tìm các cạnh góc vuông

Bước 2: Tính đường cao còn lại

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Bước 2: Lập tổng

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Tìm giới hạn của f(x)

Bước 2: Tính giới hạn của g(x)

Bước 3: Xét dấu mẫu số

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm từng phần

Bước 2: Quy đồng và biến đổi

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Phân tích và đặt ẩn

Bước 2: Xác định số mũ

Bước 3: Tìm và đếm nghiệm

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Lập hai vectơ trong mặt phẳng

Bước 2: Tìm vectơ pháp tuyến

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Dựng đoạn vuông góc

Bước 2: Tính khoảng cách

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tính logarit bên trong

Bước 2: Bình phương kết quả

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước 1: Tìm giới hạn của $f (x)$

Bước 2: Tính giới hạn của $g (x)$