Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 06 — Toán học và xử lí số liệu môn Toán học (Đánh giá Năng lực (HSA))

Câu 1

Cho hàm số $f (x) = lo g_{2} (x^{2} + 1)$ . Tính $f^{'} (1)$ .

A

$f^{'} (1) = \frac{1}{2 l n 2}$

B

$f^{'} (1) = \frac{1}{l n 2}$

C

$f^{'} (1) = \frac{1}{2}$

D

$f^{'} (1) = 1$

Lời giải

Bước 1: Đổi cơ số

Đưa hàm số về logarit tự nhiên để dễ lấy đạo hàm.

f (x) = \frac{ln ( x ^{2} + 1 )}{ln 2}

Bước 2: Tính đạo hàm

Áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp.

f^{'} (x) = \frac{1}{ln 2} \cdot \frac{2 x}{x ^{2} + 1}

Bước 3: Thay giá trị cần tính

Thay $x = 1$ vào biểu thức đạo hàm.

f^{'} (1) = \frac{1}{ln 2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{1}{ln 2}

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn B: $\frac{1}{l n 2}$ . Các phương án A, C, D sai lần lượt do thiếu hệ số $2$ , quên mẫu $ln 2$ , và tính sai giá trị đạo hàm.

Đáp án: B — Vì

f^{'} (1) = \frac{1}{l n 2}

.

Câu 2

Cho hình chóp $S . A B C D$ trong đó $A B C D$ là hình chữ nhật, $S A ⊥ (A B C D)$ . Trong các tam giác sau tam giác nào không phải là tam giác vuông

A

$△ S B C$

B

$△ S C D$

C

$△ S A B$

D

$△ S B D$

Lời giải

Bước 1: Nhận diện các tam giác vuông

Vì $A B C D$ là hình chữ nhật nên $A B ⊥ B C$ và $A D ⊥ C D$ .

Lại có $S A ⊥ (A B C D)$ , suy ra $B C ⊥ S B$ , $C D ⊥ S D$ , $S A ⊥ A B$ .

A B ⊥ B C, S A ⊥ B C \Rightarrow B C ⊥ S B; A D ⊥ C D, S A ⊥ C D \Rightarrow C D ⊥ S D

Bước 2: Kiểm tra $△ S B D$

Đặt $A B = a$ , $A D = b$ , $S A = h$ với $a, b, h > 0$ . Khi đó, các bình phương cạnh của $△ S B D$ là:

S B^{2} = a^{2} + h^{2}, S D^{2} = b^{2} + h^{2}, B D^{2} = a^{2} + b^{2}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Trong $△ S B D$ , không có đẳng thức Pythagore nào đúng: góc tại $S$ cần $2 h^{2} = 0$ , tại $B$ cần $2 a^{2} = 0$ , tại $D$ cần $2 b^{2} = 0$ .

Chọn $D$ . Các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt có góc vuông tại $B$ , $D$ , $A$ .

S B^{2} + S D^{2} \neq = B D^{2}, S B^{2} + B D^{2} \neq = S D^{2}, S D^{2} + B D^{2} \neq = S B^{2}

Đáp án: D.

△ S B D

không phải là tam giác vuông vì không thỏa mãn định lý Pythagore tại bất kỳ góc nào.

Câu 3

Ông Sơn trồng cây trên một mảnh đất hình tam giác theo quy luật: ở hàng thứ nhất có $1$ cây, hàng thứ hai có $2$ cây, hàng thứ ba có $3$ cây, ..., ở hàng thứ $n$ có $n$ cây. Biết rằng ông đã trồng hết $11325$ cây. Hỏi số hàng cây được trồng theo cách trên là bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án đúng: \boxed{150}

Lời giải

Bước $1$ : Lập phương trình

Áp dụng công thức tổng $n$ số tự nhiên đầu tiên.

S_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2} = 11325

Bước $2$ : Giải phương trình

Phân tích phương trình và chọn nghiệm phù hợp với $n \in N^{*}$ .

n (n + 1) = 22650 \Rightarrow n^{2} + n - 22650 = 0 \Rightarrow (n - 150) (n + 151) = 0 \Rightarrow n = 150

Đáp án:

150

— vì nghiệm nguyên dương của phương trình là

n = 150

.

Câu 4

Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một dãy gồm 5 chiếc ghế sao mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi là

A

$600$

B

$120$

C

$3125$

D

$720$

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng dạng toán

Số học sinh bằng số ghế nên đây là phép xếp toàn bộ học sinh vào các vị trí phân biệt.

5!

Bước 2: Tính số cách

Áp dụng công thức hoán vị cho $5$ học sinh.

5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn B vì kết quả là $120$ ; A, C, D sai vì lần lượt cho $600$ , $3125$ , $720$ , không bằng kết quả tính được.

Đáp án: B.

120

— Số cách xếp là hoán vị của

5

học sinh:

5! = 120

.

Câu 5

Biết rằng khi nung nóng một vật với nhiệt độ tăng từ $2 0^{\circ} C$ , mỗi phút tăng $4^{\circ} C$ trong $70$ phút, sau đó giảm mỗi phút $2^{\circ} C$ trong $50$ phút. Hàm số biểu thị nhiệt độ $(^{\circ} C)$ trong tủ theo thời gian $t$ (phút) có dạng: $T (t) = {20 + 4 t a - 2 t khi 0 \leq t \leq 70 khi 70 < t \leq 120$ với $a$ là hằng số. Biết rằng $T (t)$ là hàm liên tục trên tập xác định. Tìm giá trị của $a$ .

A

$44 0^{\circ} C$

B

$7 0^{\circ} C$

C

$30 0^{\circ} C$

D

$24 0^{\circ} C$

Lời giải

Bước 1: Tính nhiệt độ tại điểm nối

Dùng nhánh đầu để tính nhiệt độ tại $t = 70$ .

T (70) = 20 + 4 \cdot 70 = 30 0^{\circ} C

Bước 2: Áp dụng tính liên tục

Tại $t = 70$ , nhánh sau cũng phải có giá trị bằng $30 0^{\circ} C$ .

a - 2 \cdot 70 = 300 \Rightarrow a = 440

Bước 3: Đối chiếu phương án

$A$ đúng vì $a = 44 0^{\circ} C$ ; các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt là mốc thời gian, nhiệt độ tại điểm nối và kết quả tính sai.

Đáp án:

A

— Vì điều kiện liên tục cho

a - 2 \cdot 70 = 300

, nên

a = 44 0^{\circ} C

.

Câu 6

Cho hàm số $y = f (x)$ và $y = g (x)$ có đạo hàm liên tục trên khoảng $(0; + \infty)$ đồng thời thoả mãn $f (1) = \frac{5}{2}, g (1) = \frac{1}{2}$ và $g^{'} (x) = x \cdot f^{'} (x), f^{'} (x) = - x \cdot g^{'} (x), \forall x > 0$ . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f (x), y = g (x)$ và hai đường thẳng $x = 3, x = 5$ bằng (nhập đáp án vào ô trống):

Đáp án đúng: 16

Lời giải

Bước 1: Lập hàm hiệu

Đặt $h (x) = f (x) - g (x)$ . Từ quan hệ đạo hàm, suy ra $h^{'} (x) = \frac{h ( x )}{x}$ .

h^{'} (x) = \frac{h ( x )}{x}

Bước 2: Tìm hàm hiệu

Giải phương trình vi phân: $\frac{h ^{'} ( x )}{h ( x )} = \frac{1}{x}$ .

Vì $h (1) = f (1) - g (1) = 2$ , nên $h (x) = 2 x > 0$ với $x \in [3; 5]$ .

ln ∣ h (x) ∣ = ln x + C \Rightarrow h (x) = C x, h (1) = 2 \Rightarrow h (x) = 2 x

Bước 3: Tính diện tích

Do $h (x) > 0$ trên $[3; 5]$ , không cần giữ dấu giá trị tuyệt đối.

S = \int_{3}^{5} 2 x d x = [x^{2}]_{3}^{5} = 25 - 9 = 16

Đáp án:

16

— vì

f (x) - g (x) = 2 x

trên đoạn

[3; 5]

.

Câu 7

Tập nghiệm của bất phương trình $(\frac{e}{π})^{x} > 1$ là

A

$R$

B

$(- \infty; 0)$

C

$(0; + \infty)$

D

$[0; + \infty)$

Lời giải

Bước 1: Xét cơ số

Vì $e < π$ nên cơ số nhỏ hơn $1$ .

\frac{e}{π} < 1

Bước 2: Giải bất phương trình

Áp dụng quy tắc với cơ số thuộc $(0; 1)$ .

(\frac{e}{π})^{x} > 1 ⟺ x < 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tập nghiệm là $(- \infty; 0)$ , nên chọn phương án $B$ . Các phương án $A$ , $C$ , $D$ lần lượt sai vì chứa nghiệm không phù hợp, bỏ toàn bộ nghiệm âm, và vừa bỏ nghiệm âm vừa thêm $0$ .

Đáp án: Phương án

B

— vì

\frac{e}{π} < 1

nên bất phương trình tương đương

x < 0

.

Câu 8

Trong mặt phẳng Oxy, điểm $M$ nằm trên đường tròn $(x + 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 4$ sao cho độ dài đoạn thẳng $O M$ là ngắn nhất. Hoành độ điểm $M$ là:

A

$- \frac{9}{5}$

B

$\frac{12}{5}$

C

$\frac{21}{5}$

D

$\frac{9}{5}$ .

Lời giải

Bước 1: Tính khoảng cách đến tâm

Khoảng cách từ $O$ đến tâm $I$ là:

O I = (- 3)^{2} + 4^{2} = 5

Bước 2: Xác định tọa độ $M$

Ta có $O M_{m i n} = O I - R = 3$ . Vì $M$ thuộc đoạn $O I$ , đặt $M = (- 3 t, 4 t)$ .

O M = 5 t = 3 \Rightarrow t = \frac{3}{5} \Rightarrow M (- \frac{9}{5}, \frac{12}{5})

Bước 3: Đối chiếu phương án

Hoành độ cần tìm là $- \frac{9}{5}$ . Chọn A; B là tung độ, còn C và D không phải hoành độ của điểm gần $O$ nhất.

x_{M} = - \frac{9}{5}

Đáp án: A.

- \frac{9}{5}

— đó là hoành độ của điểm

M

gần

O

nhất.

Câu 9

Dãy số $u_{n} = \frac{2}{n}$ có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định công bội $q$ .

A

$(u_{n})$ là cấp số nhân, $q = 3$ .

B

$(u_{n})$ là cấp số nhân, $q = \frac{1}{2}$ .

C

$(u_{n})$ là cấp số nhân, $q = 4$ .

D

$(u_{n})$ không phải là cấp số nhân.

Lời giải

Bước $1$ : Nhắc tiêu chí

Với cấp số nhân, tỉ số hai số hạng liên tiếp phải là hằng số.

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = q

Bước $2$ : Tính tỉ số

Tính tỉ số hai số hạng liên tiếp:

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{\frac{2}{n + 1}}{\frac{2}{n}} = \frac{n}{n + 1}

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Vì $\frac{n}{n + 1}$ phụ thuộc vào $n$ nên dãy không phải cấp số nhân. Chọn $D$ ; các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì đều khẳng định dãy có công bội lần lượt $3$ , $\frac{1}{2}$ , $4$ .

Đáp án:

D

— Dãy không phải cấp số nhân vì

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{n}{n + 1}

phụ thuộc vào

n

.

Câu 10

Cho đường thẳng $Δ$ có phương trình $y = 2 x + 1$ cắt đồ thị của hàm số $y = x^{3} - x + 3$ tại hai điểm $A, B$ được kí hiệu lần lượt là $A (x_{A}; y_{A}), B (x_{B}; y_{B})$ trong đó $x_{B} < x_{A}$ .

Tính $x_{B} + y_{B}$ .

A

$- 5$

B

$- 2$

C

$4$

D

$7$

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình giao điểm

Tại giao điểm, cho hai biểu thức $y$ bằng nhau.

x^{3} - x + 3 = 2 x + 1 \Leftrightarrow x^{3} - 3 x + 2 = 0

Bước 2: Tìm điểm $B$

Phân tích phương trình và chọn nghiệm có hoành độ nhỏ hơn.

x^{3} - 3 x + 2 = (x - 1)^{2} (x + 2) = 0 \Rightarrow x \in {- 2; 1} \Rightarrow x_{B} = - 2, y_{B} = 2 (- 2) + 1 = - 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ ; các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì không cho giá trị $- 5$ .

x_{B} + y_{B} = - 2 + (- 3) = - 5

Đáp án: Đáp án

A

— vì

x_{B} + y_{B} = - 5

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 06 — Toán học và xử lí số liệu

Toán học và xử lí số liệu

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Đổi cơ số

Bước 2: Tính đạo hàm

Bước 3: Thay giá trị cần tính

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Nhận diện các tam giác vuông

Bước 2: Kiểm tra △SBD

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình

Bước 2: Giải phương trình

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng dạng toán

Bước 2: Tính số cách

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Tính nhiệt độ tại điểm nối

Bước 2: Áp dụng tính liên tục

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Lập hàm hiệu

Bước 2: Tìm hàm hiệu

Bước 3: Tính diện tích

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Xét cơ số

Bước 2: Giải bất phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Tính khoảng cách đến tâm

Bước 2: Xác định tọa độ M

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Nhắc tiêu chí

Bước 2: Tính tỉ số

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình giao điểm

Bước 2: Tìm điểm B

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước 2: Kiểm tra $△ S B D$

Bước $1$ : Lập phương trình

Bước $2$ : Giải phương trình

Bước 2: Xác định tọa độ $M$

Bước $1$ : Nhắc tiêu chí

Bước $2$ : Tính tỉ số

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước 2: Tìm điểm $B$