Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 01 — Toán học môn Toán học (Đánh giá Năng lực (HSA))

Câu 1

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m$ để hàm số $y = \frac{x ^{2} - 4 x + m + 2 + 3 x ^{2} - 4 x}{x ^{2} - 4 x + 2}$ nghịch biến trên khoảng $(- 4; 0)$ ?

Đáp án đúng: 4

Lời giải

Bước 1: Đổi biến và xét khoảng

Đặt $t = x^{2} - 4 x$ , khi đó $y = g (t)$ .

Trên $(- 4; 0)$ , $t^{'} (x) < 0$ và $t \in (0; 42)$ .

t = x^{2} - 4 x, g (t) = \frac{t ^{2} + 3 t + m + 2}{t + 2}, t^{'} (x) = \frac{x - 2}{x ^{2} - 4 x} < 0

Bước 2: Điều kiện đơn điệu

Vì $t (x)$ nghịch biến, để $y = g (t (x))$ nghịch biến thì $g (t)$ phải đồng biến.

Do đó cần $g^{'} (t) \geq 0$ với mọi $t \in (0; 42)$ .

g^{'} (t) = \frac{( 2 t + 3 ) ( t + 2 ) - ( t ^{2} + 3 t + m + 2 )}{( t + 2 ) ^{2}} = \frac{( t + 2 ) ^{2} - m}{( t + 2 ) ^{2}}

Bước 3: Tìm và đếm giá trị m

Vì $(t + 2)^{2} > 0$ , điều kiện tương đương $m \leq (t + 2)^{2}$ với mọi $t \in (0; 42)$ .

Giá trị nhỏ nhất theo cận dưới là $4$ , nên $m \in {1, 2, 3, 4}$ .

m \leq t \in (0, 42) in f (t + 2)^{2} = 4 ⟹ m \in {1, 2, 3, 4}

Đáp án:

4

— có các giá trị

m = 1, 2, 3, 4

.

Câu 2

Khảo sát thời gian tập thể dục trong ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm như sau: Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là

Hình minh họa

A

$[20; 40)$

B

$[40; 60)$

C

$[60; 80)$

D

$[0; 20)$

Lời giải

Bước 1: Tính cỡ mẫu

Cộng các tần số để được tổng số học sinh.

n = 5 + 9 + 12 + 10 + 6 = 42

Bước 2: Xác định vị trí $Q_{1}$

Với $n = 42$ , tứ phân vị thứ nhất ở vị trí thứ $11$ .

\frac{n}{4} = \frac{42}{4} = 10, 5 \Rightarrow Q_{1} ở vị tr \overset{ı}{ˊ} x_{11}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tần số tích lũy là $5, 14, 26, 36, 42$ , nên $x_{11} \in [20; 40)$ . Phương án A đúng; B, C, D sai vì lần lượt chứa các vị trí từ $15$ đến $26$ , từ $27$ đến $36$ và từ $1$ đến $5$ , không chứa vị trí $11$ .

5 < 11 \leq 14

Đáp án:

A . [20; 40)

— vì nhóm này chứa vị trí thứ

11

của dãy số liệu.

Câu 3

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số: $y = \frac{x ^{3}}{x ^{2} - 1}$ là?

A

$y = 2 x$

B

$y = 2 x + 1$

C

$y = x$

D

$y = - x$

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng và chia đa thức

Bậc tử số hơn bậc mẫu số $1$ , nên thực hiện phép chia đa thức.

x^{3} = (x^{2} - 1) x + x

Bước 2: Xét phần dư

Viết hàm số dưới dạng thương cộng phần dư; phần dư tiến về $0$ khi $x \to \pm \infty$ .

\frac{x ^{3}}{x ^{2} - 1} = x + \frac{x}{x ^{2} - 1}, x \to \pm \infty lim \frac{x}{x ^{2} - 1} = 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án $C$ đúng; các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt có hệ số góc $2$ , hệ số góc $2$ và hằng số $1$ , hệ số góc $- 1$ .

y = x

Đáp án:

C

— phép chia cho phần dư tiến về

0

, nên tiệm cận xiên là

y = x

.

Câu 4

Cho hình lập phương $A B C D . A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ có cạnh $a$ . Gọi $M, N, P$ theo thứ tự là trung điểm các cạnh $B B_{1}, C D, A_{1} D_{1}$ . Gọi $α$ là góc giữa hai đường thẳng $M P$ và $C_{1} N$ . Tính $cos α$ ?

A

$\frac{15}{10}$

B

$0$

C

$\frac{30}{20}$

D

$\frac{70}{10}$

Lời giải

Bước 1: Lập tọa độ các điểm

Chọn $A$ làm gốc tọa độ, ba cạnh xuất phát từ $A$ làm các trục tọa độ.

A (0, 0, 0), B (a, 0, 0), C (a, a, 0), D (0, a, 0), A_{1} (0, 0, a), B_{1} (a, 0, a), C_{1} (a, a, a), D_{1} (0, a, a); M (a, 0, \frac{a}{2}), N (\frac{a}{2}, a, 0), P (0, \frac{a}{2}, a)

Bước 2: Tính vectơ chỉ phương

Dùng hai vectơ $M P$ và $C_{1} N$ để xét góc giữa hai đường thẳng.

M P = (- a, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}), C_{1} N = (- \frac{a}{2}, 0, - a); M P \cdot C_{1} N = \frac{a ^{2}}{2} - \frac{a ^{2}}{2} = 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Hai vectơ vuông góc nên $cos α = 0$ . Chọn $B$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì đều cho giá trị khác $0$ .

cos α = 0

Đáp án: B.

0

— vì

M P \cdot C_{1} N = 0

.

Câu 5

Trên mặt phẳng tọa độ $O x y$ , cho điểm $I (1; - 1)$ và hai đường thẳng $d_{1} : x + y - 3 = 0, d_{2} : x - 2 y - 6 = 0$ . Hai điểm $A, B$ lần lượt thuộc hai đường thẳng $d_{1}, d_{2}$ sao cho $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $A B$ . Đường thẳng $A B$ có một vectơ chỉ phương là:

A

$u_{1} = (1; 2)$ .

B

$u_{2} = (2; 1)$ .

C

$u_{3} = (1; - 2)$ .

D

$u_{4} = (2; - 1)$ .

Lời giải

Bước 1: Lập hệ điều kiện

Đặt $A (x_{A}; y_{A})$ , $B (x_{B}; y_{B})$ ; dùng điều kiện thuộc đường thẳng và trung điểm.

⎩ ⎨ ⎧ x_{A} + y_{A} - 3 = 0 x_{B} - 2 y_{B} - 6 = 0 x_{A} + x_{B} = 2 y_{A} + y_{B} = - 2

Bước 2: Tìm tọa độ hai điểm

Từ điều kiện trung điểm, thay $x_{A} = 2 - x_{B}$ , $y_{A} = - 2 - y_{B}$ vào phương trình $d_{1}$ .

{x_{B} + y_{B} = - 3 x_{B} - 2 y_{B} = 6 \Rightarrow B (0; - 3), A (2; 1)

Bước 3: Tìm vectơ chỉ phương

Tính vectơ $A B$ rồi rút gọn theo một hệ số khác $0$ .

A B = B - A = (0 - 2; - 3 - 1) = (- 2; - 4) = - 2 (1; 2)

Bước 4: Đối chiếu phương án

Phương án $A$ đúng vì $u_{1} = (1; 2)$ cùng phương với $A B$ . Các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt $(2; 1)$ , $(1; - 2)$ , $(2; - 1)$ không cùng phương với $(- 2; - 4)$ .

Đáp án: Phương án

A

—

u_{1} = (1; 2)

cùng phương với

A B = (- 2; - 4)

.

Câu 6

Điền vào các ô của hình vuông $5 \times 5$ trong hình vẽ bên sao cho $5$ số trên cùng một hàng từ trái qua phải luôn là một cặp số cộng, $5$ số trên cùng một cột từ trên xuống dưới luôn là một cặp số cộng. Tìm số $X$ .

Hình minh họa

A

$41$ .

B

$31$ .

C

$42$ .

D

$32$ .

Lời giải

Bước 1: Tìm hai số đầu hàng giữa

Dùng cột thứ nhất và cột thứ năm để tìm hai đầu của hàng giữa.

\frac{1 + 17}{2} = 9, \frac{25 + 81}{2} = 53

Bước 2: Tìm ô chính giữa

Hàng giữa có số đầu là $9$ và số cuối là $53$ .

X = \frac{9 + 53}{2} = 31

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án B: $31$ ; các phương án A, C, D sai vì không phù hợp với giá trị tính được.

Đáp án: B.

31

— ô giữa là trung bình cộng của

9

và

53

.

Câu 7

Cho hàm số $y = x^{3} + 6 x^{2} + 3 (m + 2) x - m - 6$ với $m$ là tham số thực. Điều kiện của $m$ để hàm số có hai điểm cực trị $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} < - 1 < x_{2}$ là

A

$m > - 1$

B

$m > 1$

C

$m < 1$

D

$m < - 1$

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình cực trị

Đặt $q (x) = x^{2} + 4 x + m + 2$ ; nghiệm của $q (x) = 0$ là hoành độ cực trị.

y^{'} = 3 x^{2} + 12 x + 3 (m + 2) = 3 q (x), Δ_{q} = 16 - 4 (m + 2) = 4 (2 - m)

Bước 2: Ép hai nghiệm qua $- 1$

Vì $q (x)$ là parabol mở lên, điều kiện $x_{1} < - 1 < x_{2}$ tương đương $q (- 1) < 0$ .

q (- 1) = 1 - 4 + m + 2 = m - 1 < 0 ⟺ m < 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $C$ : $m < 1$ ; các phương án $A$ , $B$ , $D$ lần lượt sai dấu hoặc không đúng điều kiện cần tìm.

m < 1

Đáp án:

C

— điều kiện cốt lõi là

q (- 1) = m - 1 < 0

, suy ra

m < 1

.

Câu 8

Biết bất phương trình $lo g_{2} (3^{x} - 3) lo g_{8} (3^{x} . 2^{- 2} - \frac{3}{4}) \leq 1$ có tập nghiệm là đoạn $[a; b]$ . Giá trị biểu thức $a + b$ bằng

A

$1 + lo g_{3} 77$

B

$lo g_{3} \frac{77}{2}$

C

$- 2 + lo g_{2} \frac{77}{2}$

D

$- 1 + lo g_{2} 77$

Lời giải

Bước 1: Đặt ẩn phụ và đưa về bất phương trình bậc hai

Đặt $u = lo g_{2} (3^{x} - 3)$ . Bất phương trình trở thành $u \cdot \frac{1}{3} lo g_{2} (\frac{3 ^{x} - 3}{4}) \leq 1$ .

Biến đổi $lo g_{2} (\frac{3 ^{x} - 3}{4}) = lo g_{2} (3^{x} - 3) - 2 = u - 2$ .

u (u - 2) \leq 3 ⟺ u^{2} - 2 u - 3 \leq 0

Bước 2: Giải bất phương trình ẩn u

Giải bất phương trình $u^{2} - 2 u - 3 \leq 0$ ta được $- 1 \leq u \leq 3$ .

Thay $u = lo g_{2} (3^{x} - 3)$ vào để tìm $x$ .

- 1 \leq lo g_{2} (3^{x} - 3) \leq 3 ⟺ \frac{1}{2} \leq 3^{x} - 3 \leq 8

Bước 3: Tìm đoạn $[a; b]$ và tính tổng

Ta có $3.5 \leq 3^{x} \leq 11$ , suy ra $lo g_{3} (3.5) \leq x \leq lo g_{3} (11)$ . Vậy $a = lo g_{3} (\frac{7}{2})$ và $b = lo g_{3} (11)$ .

Tổng $a + b = lo g_{3} (\frac{7}{2}) + lo g_{3} (11) = lo g_{3} (\frac{77}{2})$ .

a + b = lo g_{3} \frac{77}{2}

Bước 4: Đối chiếu phương án

Phương án đúng là B. Các phương án A, C, D sai vì biến đổi logarit hoặc tính toán giá trị $a, b$ không khớp với kết quả $lo g_{3} \frac{77}{2}$ .

Đáp án: B — vì sau khi đặt ẩn phụ

u = lo g_{2} (3^{x} - 3)

, ta giải được

u \in [- 1; 3]

dẫn đến

x \in [lo g_{3} \frac{7}{2}; lo g_{3} 11]

, nên

a + b = lo g_{3} \frac{77}{2}

.

Câu 9

Cho hàm số $y = x^{3} + 3 m x^{2} + 2 x$ có đồ thị $(C)$ . Tiếp tuyến của $(C)$ tại các điểm có hoành độ $x_{1}$ và $x_{2}$ có cùng hệ số góc $k = 5$ . Biết $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 10$ , giá trị của $m$ là:

A

$m = \pm 1$

B

$m = \pm 2$

C

$m = \pm 2$

D

$m = \pm 3$

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình hoành độ

Tính đạo hàm và cho $y^{'} = 5$ để xác định $x_{1}, x_{2}$ .

y^{'} = 3 x^{2} + 6 m x + 2 = 5 \Rightarrow x^{2} + 2 m x - 1 = 0

Bước 2: Dùng Viète và điều kiện

Theo Viète, $x_{1} + x_{2} = - 2 m$ và $x_{1} x_{2} = - 1$ .

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 4 m^{2} + 2 = 10 \Rightarrow m^{2} = 2 \Rightarrow m = \pm 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $B$ , $m = \pm 2$ . Các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt cho $m = \pm 1$ , $m = \pm 2$ , $m = \pm 3$ , đều không thỏa $m^{2} = 2$ .

Đáp án: Đáp án

B

— vì điều kiện dẫn đến

m^{2} = 2

, nên

m = \pm 2

.

Câu 10

Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông tại $B$ , $S A$ vuông góc với mặt đáy và $S A = A B = 3$ . Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $S A B$ . Khoảng cách từ $G$ đến mặt phẳng $(S B C)$ bằng

A

$\frac{6}{3}$

B

$\frac{6}{6}$

C

$3$

D

$\frac{6}{2}$

Lời giải

Bước 1: Chọn tọa độ và tìm trọng tâm

Chọn $B$ làm gốc, $A B$ theo trục $O x$ , $B C$ theo trục $O y$ ; khi đó $S A$ theo trục $O z$ .

B = (0, 0, 0), A = (3, 0, 0), C = (0, c, 0), S = (3, 0, 3), G = \frac{S + A + B}{3} = (\frac{2 3}{3}, 0, \frac{3}{3})

Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng

Mặt phẳng $(S B C)$ nhận một vectơ pháp tuyến cùng phương với tích có hướng của $S B$ và $S C$ .

S B \times S C = (3 c, 0, - 3 c) ∥ (1, 0, - 1) \Rightarrow (S B C) : x - z = 0

Bước 3: Tính khoảng cách

Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm $G$ đến mặt phẳng $x - z = 0$ .

d (G, (S B C)) = \frac{\frac{2 3}{3} - \frac{3}{3}}{1 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{3}{3 2} = \frac{6}{6}

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ . Các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì không bằng kết quả trên; riêng $A$ và $D$ lần lượt gấp $2$ và $3$ lần.

d (G, (S B C)) = \frac{6}{6}

Đáp án:

B

— Khoảng cách từ

G

đến

(S B C)

bằng

\frac{6}{6}

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 01 — Toán học

Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Đổi biến và xét khoảng

Bước 2: Điều kiện đơn điệu

Bước 3: Tìm và đếm giá trị m

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Tính cỡ mẫu

Bước 2: Xác định vị trí Q1​

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng và chia đa thức

Bước 2: Xét phần dư

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Lập tọa độ các điểm

Bước 2: Tính vectơ chỉ phương

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Lập hệ điều kiện

Bước 2: Tìm tọa độ hai điểm

Bước 3: Tìm vectơ chỉ phương

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Tìm hai số đầu hàng giữa

Bước 2: Tìm ô chính giữa

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình cực trị

Bước 2: Ép hai nghiệm qua −1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Đặt ẩn phụ và đưa về bất phương trình bậc hai

Bước 2: Giải bất phương trình ẩn u

Bước 3: Tìm đoạn [a;b] và tính tổng

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình hoành độ

Bước 2: Dùng Viète và điều kiện

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Chọn tọa độ và tìm trọng tâm

Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng

Bước 3: Tính khoảng cách

Bước 4: Đối chiếu phương án

Bước 2: Xác định vị trí $Q_{1}$

Bước 2: Ép hai nghiệm qua $- 1$

Bước 3: Tìm đoạn $[a; b]$ và tính tổng