Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề khảo sát chất lượng THPT môn Toán Sở GD&ĐT Phú Thọ năm 2026 - Lần 2 môn Toán học 2026 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Lâm trường Tam Đảo thống kê đường kính thân gỗ của $60$ cây xoan đào được cho ở bảng sau:
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu đã cho là

Hình minh họa

A

$[20; 22)$ .

B

$[28; 30)$ .

C

$[24; 26)$ .

D

$[22; 24)$ .

Lời giải

Bước 1: Tìm tần số lớn nhất

So sánh các tần số của năm nhóm.

f_{m a x} = max {5, 20, 18, 7, 10} = 20

Bước 2: Đối chiếu phương án

Tần số $20$ ứng với nhóm $[22; 24)$ nên chọn D.

A, B, C sai vì có tần số lần lượt là $5, 10, 18$ , đều nhỏ hơn $20$ .

f_{[22; 24)} = 20

Đáp án: D — Nhóm

[22; 24)

có tần số lớn nhất là

20

.

Câu 2

Một hộp có $5$ viên bi màu đỏ và $7$ viên bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiên $2$ viên bi từ hộp đó. Xác suất để lấy được $2$ viên bi màu đỏ bằng

A

$\frac{5}{33}$ .

B

$\frac{5}{22}$ .

C

$\frac{2}{33}$ .

D

$\frac{7}{22}$ .

Lời giải

Bước 1: Tính tổng số viên bi

Tổng số viên bi trong hộp là $12$ .

5 + 7 = 12

Bước 2: Lập xác suất

Số cách chọn $2$ viên bất kỳ là $C_{12}^{2}$ ; số cách chọn $2$ viên đỏ là $C_{5}^{2}$ .

P = \frac{C _{5}^{2}}{C _{12}^{2}} = \frac{10}{66} = \frac{5}{33}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A: $\frac{5}{33}$ . B, C, D sai vì các giá trị lần lượt không bằng xác suất đã tính.

Đáp án: A.

\frac{5}{33}

— Vì có

C_{5}^{2}

cách thuận lợi trên tổng số

C_{12}^{2}

cách chọn.

Câu 3

Trong không gian $O x y z$ , đường thẳng đi qua hai điểm $A (1; 2; 3), B (5; 4; - 1)$ có phương trình chính tắc là

A

$\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 3}{- 2}$ .

B

$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{2}$ .

C

$\frac{x + 5}{- 2} = \frac{y + 4}{- 1} = \frac{z - 1}{2}$ .

D

$\frac{x - 5}{2} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z + 1}{- 2}$ .

Lời giải

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương

Tính $A B$ rồi rút gọn để được vectơ chỉ phương đơn giản.

A B = (5 - 1; 4 - 2; - 1 - 3) = (4; 2; - 4) = 2 (2; 1; - 2)

Bước 2: Lập phương trình

Chọn điểm $B (5; 4; - 1)$ và vectơ chỉ phương $(2; 1; - 2)$ .

\frac{x - 5}{2} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z + 1}{- 2}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $D$ . Các phương án $A, B, C$ sai vì điểm đi qua hoặc vectơ chỉ phương không phù hợp với đường thẳng $A B$ .

Đáp án:

D

— Phương trình đúng là

\frac{x - 5}{2} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z + 1}{- 2}

.

Câu 4

Cho $\int_{2}^{5} f (x) d x = 2$ và $\int_{2}^{5} g (x) d x = 5$ . Giá trị của tích phân $\int_{2}^{5} [f (x) - 2 g (x)] d x$ bằng

A

$- 8$ .

B

$12$ .

C

$1$ .

D

$- 3$ .

Lời giải

Bước 1: Tách tích phân

Áp dụng tính tuyến tính của tích phân:

\int_{2}^{5} [f (x) - 2 g (x)] d x = \int_{2}^{5} f (x) d x - 2 \int_{2}^{5} g (x) d x

Bước 2: Thay số tính kết quả

Thay các giá trị đã cho vào biểu thức:

2 - 2 \cdot 5 = - 8

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $A$ : $- 8$ ; $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt cho $12$ , $1$ , $- 3$ , không đúng kết quả tính được.

Đáp án:

A . - 8

— dùng tính tuyến tính, ta được

2 - 2 \cdot 5 = - 8

.

Câu 5

Biết phương trình $2 x^{2} + x + 3 = 1 - x$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}; x_{2}$ . Tổng $x_{1} + x_{2}$ bằng

A

$- 3$ .

B

$- 1$ .

C

$2$ .

D

$- 2$ .

Lời giải

Bước 1: Đặt điều kiện

Vì vế trái không âm nên $1 - x \geq 0$ .

1 - x \geq 0 ⟺ x \leq 1

Bước 2: Bình phương và giải

Bình phương hai vế, rồi đưa về phương trình bậc hai.

2 x^{2} + x + 3 = (1 - x)^{2} ⟺ x^{2} + 3 x + 2 = 0 ⟺ x = - 1 hoặc x = - 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Cả hai nghiệm đều thỏa $x \leq 1$ , nên $x_{1} + x_{2} = - 1 + (- 2) = - 3$ .

Chọn A; B, C, D sai vì lần lượt cho tổng $- 1$ , $2$ , $- 2$ .

x_{1} + x_{2} = - 1 + (- 2) = - 3

Đáp án: A.

- 3

— tổng hai nghiệm là

- 3

.

Câu 6

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{1} = - 2$ và công sai $d = 3$ . Giá trị $u_{10}$ bằng

A

$u_{10} = - 2 \cdot 3^{9}$ .

B

$u_{10} = - 29$ .

C

$u_{10} = 25$ .

D

$u_{10} = 28$ .

Lời giải

Bước 1: Chọn công thức

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng.

u_{n} = u_{1} + (n - 1) d

Bước 2: Thay số và tính

Thay $n = 10$ , $u_{1} = - 2$ và $d = 3$ vào công thức.

u_{10} = u_{1} + (10 - 1) d = - 2 + 9 \cdot 3 = 25

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án C: $u_{10} = 25$ . A sai vì dùng lũy thừa, B sai do trừ thay vì cộng, D sai do tính nhầm.

Đáp án: C — Vì

u_{10} = - 2 + 9 \cdot 3 = 25

.

Câu 7

Đạo hàm của hàm số $f (x) = sin x + cos (3 x)$ là

A

$f^{'} (x) = - cos x + 3 sin (3 x)$ .

B

$f^{'} (x) = cos x - 3 sin (3 x)$ .

C

$f^{'} (x) = cos x + 3 sin (3 x)$ .

D

$f^{'} (x) = - cos x + sin (3 x)$ .

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm từng phần

Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp với $u = 3 x$ , nên $u^{'} = 3$ .

(sin x)^{'} = cos x, (cos (3 x))^{'} = - 3 sin (3 x)

Bước 2: Đối chiếu phương án

Cộng các đạo hàm thành phần, được kết quả tương ứng với $B$ ; $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt sai dấu cả hai hạng tử, sai dấu hạng tử thứ hai, và thiếu hệ số $3$ .

f^{'} (x) = cos x - 3 sin (3 x)

Đáp án:

B

— Vì

f^{'} (x) = cos x - 3 sin (3 x)

.

Câu 8

Tập nghiệm của bất phương trình $lo g_{\frac{1}{3}} (2 x - 1) > - 2$ là

A

$(\frac{1}{2}; 5)$ .

B

$(\frac{1}{2}; + \infty)$ .

C

$(5; + \infty)$ .

D

$(- \infty; 5)$ .

Lời giải

Bước 1: Đặt điều kiện xác định

Biểu thức trong lôgarit phải dương.

2 x - 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2}

Bước 2: Khử lôgarit

Vì $0 < \frac{1}{3} < 1$ , bất đẳng thức đổi chiều khi khử lôgarit.

lo g_{\frac{1}{3}} (2 x - 1) > - 2 \Rightarrow 2 x - 1 < (\frac{1}{3})^{- 2} = 9 \Rightarrow x < 5

Bước 3: Đối chiếu phương án

Kết hợp điều kiện, tập nghiệm là $(\frac{1}{2}; 5)$ .

Chọn A; B, C, D sai vì lần lượt thiếu cận trên, đảo sai khoảng và không thỏa điều kiện xác định.

\frac{1}{2} < x < 5

Đáp án: A — Tập nghiệm là

(\frac{1}{2}; 5)

.

Câu 9

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm là $f^{'} (x) = (x - 1) (x - 2)^{2} (x + 3), \forall x \in R$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A

$2$ .

B

$3$ .

C

$1$ .

D

$0$ .

Lời giải

Bước 1: Tìm nghiệm của đạo hàm

Giải $f^{'} (x) = 0$ để xác định các điểm có thể là cực trị.

f^{'} (x) = 0 ⟺ x = - 3, x = 1, x = 2

Bước 2: Xét sự đổi dấu

$x = - 3$ và $x = 1$ là nghiệm bội lẻ nên $f^{'} (x)$ đổi dấu.

$x = 2$ là nghiệm bội chẵn nên $f^{'} (x)$ không đổi dấu.

x = - 3, x = 1 : đ ổi d \overset{ˊ}{\overset{a}{ˆ}} u; x = 2 : kh \overset{o}{ˆ} ng đ ổi d \overset{ˊ}{\overset{a}{ˆ}} u

Bước 3: Đối chiếu phương án

Có $2$ nghiệm làm đạo hàm đổi dấu nên hàm số có $2$ điểm cực trị.

Chọn phương án A; B, C, D sai vì lần lượt đếm cả nghiệm bội chẵn, bỏ sót một nghiệm đổi dấu và không đếm nghiệm nào.

N_{cực trị} = 2

Đáp án: A.

2

— chỉ có

x = - 3

và

x = 1

làm

f^{'} (x)

đổi dấu.

Câu 10

Giá trị lớn nhất của hàm số $f (x) = \frac{2 x + 3}{x - 1}$ trên đoạn $[2; 5]$ bằng

A

$\frac{13}{4}$ .

B

$5$ .

C

$7$ .

D

$2$ .

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Với $x \in [2; 5]$ , ta có $x - 1 \neq = 0$ .

f^{'} (x) = \frac{2 ( x - 1 ) - ( 2 x + 3 )}{( x - 1 ) ^{2}} = - \frac{5}{( x - 1 ) ^{2}}

Bước 2: Xét tính đơn điệu

Trên $[2; 5]$ , $(x - 1)^{2} > 0$ nên $f^{'} (x) < 0$ .

Do đó, $f (x)$ nghịch biến và đạt lớn nhất tại $x = 2$ .

Bước 3: Đối chiếu phương án

Giá trị lớn nhất là $f (2) = 7$ .

$C$ đúng; $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt cho các giá trị $\frac{13}{4}$ , $5$ , $2$ .

f (2) = \frac{2 \cdot 2 + 3}{2 - 1} = 7

Đáp án:

C

— Vì hàm số nghịch biến trên

[2; 5]

nên giá trị lớn nhất bằng

f (2) = 7

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề khảo sát chất lượng THPT môn Toán Sở GD&ĐT Phú Thọ năm 2026 - Lần 2

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tìm tần số lớn nhất

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Tính tổng số viên bi

Bước 2: Lập xác suất

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương

Bước 2: Lập phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Tách tích phân

Bước 2: Thay số tính kết quả

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Đặt điều kiện

Bước 2: Bình phương và giải

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Chọn công thức

Bước 2: Thay số và tính

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm từng phần

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Đặt điều kiện xác định

Bước 2: Khử lôgarit

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tìm nghiệm của đạo hàm

Bước 2: Xét sự đổi dấu

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Bước 2: Xét tính đơn điệu

Bước 3: Đối chiếu phương án