Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề khảo sát chất lượng THPT môn Toán Sở GD&ĐT Ninh Bình năm 2026 - Lần 3 môn Toán học 2026 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Hàm số $F (x) = ln x$ là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây trên khoảng $(0; + \infty)$ ?

A

$f (x) = 2026 - \frac{1}{x}$ .

B

$f (x) = - \frac{1}{x}$ .

C

$f (x) = \frac{1}{x}$ .

D

$f (x) = 2026 + \frac{1}{x}$ .

Lời giải

Bước 1: Dùng định nghĩa nguyên hàm

Hàm số cần tìm là đạo hàm của $F (x)$ .

F^{'} (x) = (ln x)^{'} = \frac{1}{x}

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ vì $f (x) = \frac{1}{x}$ ; các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai lần lượt vì thừa $2026$ , trái dấu và thừa $2026$ .

Đáp án:

C

— vì

F^{'} (x) = \frac{1}{x}

.

Câu 2

Nghiệm của phương trình $cot (3 x - 4 5^{\circ}) = \frac{3}{3}$ là

A

$x = 2 5^{\circ} + 18 0^{\circ} k, k \in Z$ .

B

$x = 3 5^{\circ} + 6 0^{\circ} k, k \in Z$ .

C

$x = 3 0^{\circ} + 6 0^{\circ} k, k \in Z$ .

D

$x = 6 0^{\circ} + 18 0^{\circ} k, k \in Z$ .

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng góc đặc biệt

Đặt $u = 3 x - 4 5^{\circ}$ và nhận ra $cot 6 0^{\circ} = \frac{3}{3}$ .

cot u = cot 6 0^{\circ} \Rightarrow u = 6 0^{\circ} + 18 0^{\circ} k, k \in Z

Bước 2: Giải theo $x$

Thay $u = 3 x - 4 5^{\circ}$ rồi giải phương trình bậc nhất theo $x$ .

3 x - 4 5^{\circ} = 6 0^{\circ} + 18 0^{\circ} k \Rightarrow x = 3 5^{\circ} + 6 0^{\circ} k, k \in Z

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn B vì nghiệm thu được là $x = 3 5^{\circ} + 6 0^{\circ} k$ ; A, C, D sai vì lần lượt sai hệ số chu kỳ hoặc tính sai giá trị $x$ .

Đáp án: B — Vì

x = 3 5^{\circ} + 6 0^{\circ} k

,

k \in Z

.

Câu 3

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$ . Biết $\int_{a}^{b} f (x) d x = 2026$ , giá trị của $\int_{b}^{a} 2 f (x) d x$ là

A

$- 4052$ .

B

$4052$ .

C

$1013$ .

D

$- 1013$ .

Lời giải

Bước 1: Đưa hệ số ra ngoài

Đưa hệ số $2$ ra ngoài tích phân.

\int_{b}^{a} 2 f (x) d x = 2 \int_{b}^{a} f (x) d x

Bước 2: Đổi cận tích phân

Đổi cận làm đổi dấu tích phân.

\int_{b}^{a} f (x) d x = - \int_{a}^{b} f (x) d x = - 2026

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tính giá trị tích phân và đối chiếu các phương án.

Phương án đúng là $A$ : $- 4052$ ; $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt sai dấu, chia thay vì nhân và sai cả dấu lẫn hệ số.

2 \cdot (- 2026) = - 4052

Đáp án:

A

— Đổi cận đổi dấu rồi nhân hệ số

2

, được

- 4052

.

Câu 4

Nghiệm của phương trình $lo g_{4} (x - 1) = 3$ là

A

$x = 68$ .

B

$x = 65$ .

C

$x = 66$ .

D

$x = 63$ .

Lời giải

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Điều kiện xác định: $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$ .

x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1

Bước 2: Đổi sang dạng lũy thừa

Áp dụng công thức lôgarit, ta có $x - 1 = 4^{3} = 64$ , nên $x = 65$ .

lo g_{4} (x - 1) = 3 ⟺ x - 1 = 4^{3} = 64 ⟹ x = 65

Bước 3: Đối chiếu phương án

Vì $x = 65 > 1$ , nghiệm thỏa điều kiện. Chọn phương án $B$ ; $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt cho $x = 68$ , $x = 66$ , $x = 63$ , đều không khớp nghiệm.

x = 65 \Rightarrow x > 1

Đáp án: B — nghiệm của phương trình là

x = 65

.

Câu 5

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên đoạn $[- 1; 5]$ và có đồ thị như hình vẽ. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên $[- 1; 5]$ . Giá trị của $M - m$ bằng

A

$1$ .

B

$4$ .

C

$6$ .

D

$5$ .

Lời giải

Bước $1$ : Đọc cực trị từ đồ thị

Tung độ cao nhất là $3$ , nên $M = 3$ .

Tung độ thấp nhất là $- 2$ , nên $m = - 2$ .

M = 3, m = - 2

Bước $2$ : Đối chiếu phương án

Tính hiệu $M - m = 5$ , nên chọn phương án $D$ .

Các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt cho kết quả $1$ , $4$ , $6$ , không đúng hiệu cần tìm.

M - m = 3 - (- 2) = 5

Đáp án:

D

— Vì

M - m = 3 - (- 2) = 5

.

Câu 6

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , cho đường thẳng $d : \frac{x - 3}{2} = \frac{4 - y}{5} = \frac{z + 1}{3}$ . Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của $d$ ?

A

$u_{2} = (2; 4; - 1)$ .

B

$u_{1} = (2; 5; 3)$ .

C

$u_{4} = (3; 4; - 1)$ .

D

$u_{3} = (2; - 5; 3)$ .

Lời giải

Bước $1$ : Đưa về dạng tham số

Đặt các phân thức bằng $t$ , rồi biểu diễn $x, y, z$ theo $t$ .

\frac{x - 3}{2} = \frac{4 - y}{5} = \frac{z + 1}{3} = t \Rightarrow x = 3 + 2 t, y = 4 - 5 t, z = - 1 + 3 t

Bước $2$ : Đối chiếu phương án

Vectơ chỉ phương là các hệ số của $t$ , nên chọn $vec{u}=(2;-5;3)$ . Phương án D đúng; A, B, C sai lần lượt do sai cả dấu và hệ số tọa độ.

Cụ thể, A có $(4; - 1)$ thay vì $(- 5; 3)$ ; B sai dấu tọa độ thứ hai; C sai tọa độ thứ nhất và thứ hai.

u = (2; - 5; 3)

Đáp án: D — Vì vectơ chỉ phương của

d

là

(2; - 5; 3)

.

Câu 7

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có $u_{1} = - 2$ và công bội $q = 3$ . Số hạng $u_{2}$ là

A

$u_{2} = - 18$ .

B

$u_{2} = 6$ .

C

$u_{2} = 1$ .

D

$u_{2} = - 6$ .

Lời giải

Bước 1: Tính số hạng thứ hai

Áp dụng công thức $u_{2} = u_{1} q$ .

u_{2} = u_{1} q = (- 2) \cdot 3 = - 6

Bước 2: Đối chiếu phương án

Kết quả $u_{2} = - 6$ khớp phương án D; A, B, C sai vì lần lượt cho $- 18$ , $6$ , $1$ .

Đáp án: D — vì

u_{2} = u_{1} q = (- 2) \cdot 3 = - 6

.

Câu 8

Cho hình chóp $S . A B C D$ có cạnh bên $S A$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(A B C D)$ . Hình chiếu của đường thẳng $S C$ trên mặt phẳng $(A B C D)$ là đường thẳng

A

$S B$ .

B

$A B$ .

C

$A C$ .

D

$S A$ .

Lời giải

Bước 1: Chiếu hai đầu mút

Vì $S A ⊥ (A B C D)$ , hình chiếu của $S$ trên $(A B C D)$ là $A$ ; vì $C \in (A B C D)$ , hình chiếu của $C$ là $C$ .

pr_{(A B C D)} (S) = A, pr_{(A B C D)} (C) = C

Bước 2: Đối chiếu phương án

Hình chiếu của $S C$ là đường thẳng $A C$ , nên chọn phương án $C$ ; các phương án $A, B, D$ sai vì lần lượt là $S B$ , $A B$ , $S A$ , không phải đường nối hai hình chiếu $A$ và $C$ .

A C

Đáp án:

C

— Hình chiếu của

S C

trên

(A B C D)

là

A C

.

Câu 9

Tại một hội thảo quốc tế có $50$ nhà khoa học, trong đó có $31$ người thành thạo tiếng Anh, $21$ người thành thạo tiếng Pháp và $5$ người thành thạo cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Chọn ngẫu nhiên một người trong hội thảo. Xác suất để người được chọn thành thạo ít nhất một trong hai thứ tiếng Anh hoặc Pháp là

A

$\frac{47}{50}$ .

B

$\frac{52}{50}$ .

C

$\frac{36}{50}$ .

D

$\frac{57}{50}$ .

Lời giải

Bước 1: Xác định biến cố

Gọi $A$ là biến cố thành thạo tiếng Anh, $B$ là biến cố thành thạo tiếng Pháp.

Biến cố cần tìm là $A \cup B$ .

Bước 2: Đếm số người thuận lợi

Áp dụng công thức phép hợp để tránh đếm trùng nhóm thành thạo cả hai tiếng.

31 + 21 - 5 = 47

Bước 3: Đối chiếu phương án

Xác suất cần tìm là $\frac{47}{50}$ .

Chọn A; B, C, D sai vì không biểu diễn đúng xác suất số người thành thạo ít nhất một tiếng trên tổng $50$ người.

P = \frac{47}{50}

Đáp án: A — Có

47

người thành thạo ít nhất một tiếng nên xác suất là

\frac{47}{50}

.

Câu 10

Trong không gian với hệ trục toạ độ $O x y z$ , phương trình nào dưới đây là phương trình của một mặt cầu?

A

$x^{2} + y^{2} - z^{2} - 4 x + 2 y + 2 z - 3 = 0$ .

B

$x^{2} + 2 y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y + 2 z - 10 = 0$ .

C

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y + 2 z - 2 = 0$ .

D

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x y + 2 y + 2 z + 8 = 0$ .

Lời giải

Bước 1: Kiểm tra dạng phương trình

Phương trình mặt cầu phải có ba bình phương $x^{2}, y^{2}, z^{2}$ cùng hệ số, đồng thời không xuất hiện các tích $x y, x z, y z$ .

Hệ s \overset{ˊ}{\overset{o}{ˆ}} của x^{2}, y^{2}, z^{2} b \overset{ˋ}{\overset{a}{˘}} ng nhau; kh \overset{o}{ˆ} ng c \overset{o}{ˊ} x y, x z, y z

Bước 2: Hoàn thành bình phương

Với phương án $C$ , hoàn thành bình phương và kiểm tra bán kính.

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y + 2 z - 2 = 0 \Leftrightarrow (x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 8

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $C$ vì có dạng mặt cầu và $R^{2} = 8 > 0$ ; $A$ sai do có $- z^{2}$ , $B$ sai vì hệ số của $y^{2}$ khác các hệ số còn lại, $D$ sai do có tích chéo $- 4 x y$ .

Đáp án: Đáp án:

C

— phương trình tương đương

(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 8

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề khảo sát chất lượng THPT môn Toán Sở GD&ĐT Ninh Bình năm 2026 - Lần 3

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Dùng định nghĩa nguyên hàm

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng góc đặc biệt

Bước 2: Giải theo x

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Đưa hệ số ra ngoài

Bước 2: Đổi cận tích phân

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Bước 2: Đổi sang dạng lũy thừa

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Đọc cực trị từ đồ thị

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Đưa về dạng tham số

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Tính số hạng thứ hai

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Chiếu hai đầu mút

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Xác định biến cố

Bước 2: Đếm số người thuận lợi

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Kiểm tra dạng phương trình

Bước 2: Hoàn thành bình phương

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước 2: Giải theo $x$

Bước $1$ : Đọc cực trị từ đồ thị

Bước $2$ : Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Đưa về dạng tham số

Bước $2$ : Đối chiếu phương án