Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề chính thức tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2025 - Mã đề 0102 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $O x y$ , diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2 x + 1$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 1$ , $x = 2$ được xác định bằng công thức

A

$S = π \int_{1}^{2} (2 x + 1) d x$

B

$S = \int_{1}^{2} (2 x + 1)^{2} d x$

C

$S = π \int_{1}^{2} (2 x + 1)^{2} d x$

D

$S = \int_{1}^{2} (2 x + 1) d x$

Lời giải

Bước 1: Kiểm tra dấu hàm số

Trên $[1, 2]$ , hàm số dương nên diện tích được tính trực tiếp bằng tích phân.

2 x + 1 \geq 3 > 0 với x \in [1, 2]

Bước 2: Lập công thức diện tích

Lấy tích phân của tung độ $y = 2 x + 1$ từ $x = 1$ đến $x = 2$ .

S = \int_{1}^{2} (2 x + 1) d x

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $D$ ; $A$ và $C$ thừa $π$ , còn $B$ và $C$ bình phương sai hàm số cần tích phân.

Đáp án:

D

— công thức đúng là

S = \int_{1}^{2} (2 x + 1) d x

.

Câu 2

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và nhận $n = (- 1; 0; 3)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là

A

$- x + 3 y = 0$

B

$- y + 3 z = 0$

C

$- x + 3 z = 0$

D

$- x - 3 z = 0$

Lời giải

Bước 1: Xác định hệ số

Từ $n = (- 1; 0; 3)$ , suy ra các hệ số của $x, y, z$ .

A = - 1, B = 0, C = 3

Bước 2: Lập phương trình

Dạng tổng quát là $A x + B y + C z + D = 0$ . Vì mặt phẳng đi qua $O (0, 0, 0)$ nên $D = 0$ .

- x + 3 z = 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ : $- x + 3 z = 0$ . Các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt đặt sai hệ số của $y$ , sai hệ số của $x$ , và sai dấu hệ số của $z$ .

Đáp án: Phương án

C

:

- x + 3 z = 0

— đúng theo vectơ pháp tuyến

n = (- 1; 0; 3)

và điều kiện đi qua gốc tọa độ.

Câu 3

Nghiệm của phương trình $2^{2 x + 1} = 8$ là

A

$x = 1$

B

$x = \frac{5}{2}$

C

$x = 3$

D

$x = \frac{3}{2}$

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Đổi $8$ thành lũy thừa cơ số $2$ .

8 = 2^{3}, 2^{2 x + 1} = 2^{3}

Bước 2: So sánh số mũ

Hai lũy thừa cùng cơ số nên các số mũ bằng nhau.

2 x + 1 = 3 ⟹ x = 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ : $x = 1$ ; $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt cho vế trái bằng $64$ , $128$ , $16$ , đều khác $8$ .

Đáp án: Phương án

A

:

x = 1

— vì

2^{2 \cdot 1 + 1} = 2^{3} = 8

.

Câu 4

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = sin x + cos x$ là

A

$cos x + sin x + C$

B

$cos x - sin x + C$

C

$- cos x - sin x + C$

D

$- cos x + sin x + C$

Lời giải

Bước 1: Tính nguyên hàm từng phần

Áp dụng trực tiếp hai công thức nguyên hàm lượng giác cơ bản.

\int (sin x + cos x) d x = - cos x + sin x + C

Bước 2: Kiểm tra kết quả

Lấy đạo hàm kết quả để đối chiếu với hàm số đã cho.

F^{'} (x) = (- cos x + sin x + C)^{'} = sin x + cos x

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $D$ : $- cos x + sin x + C$ . Các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì đạo hàm lần lượt không bằng $sin x + cos x$ .

Đáp án:

D

— Vì

(- cos x + sin x + C)^{'} = sin x + cos x

.

Câu 5

Cho hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d} (a c \neq = 0, a d - b c \neq = 0)$ có bảng biến thiên như dưới đây. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là:

A

$y = - 2$

B

$x = - 2$

C

$y = 1$

D

$x = 1$

Lời giải

Bước 1: Đọc vị trí gián đoạn

Bảng biến thiên cho biết hàm số không xác định tại $x = - 2$ .

x_{0} = - 2

Bước 2: Xác định tiệm cận đứng

Tại $x = - 2$ , giá trị hàm số tiến tới vô cực từ hai phía nên đường thẳng này là tiệm cận đứng.

x \to - 2^{-} lim y = - \infty, x \to - 2^{+} lim y = + \infty

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn B: $x = - 2$ ; A và C có dạng $y = h \overset{ˋ}{\overset{a}{˘}} ng s \overset{ˊ}{\overset{o}{ˆ}}$ nên là tiệm cận ngang, còn D ứng với $x = 1$ không đúng vị trí gián đoạn.

Đáp án: B.

x = - 2

— vì hàm số không xác định và nhận giới hạn vô cực khi

x \to - 2

.

Câu 6

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ với $u_{1} = 2$ và công sai $d = 3$ . Giá trị của $u_{5}$ bằng

A

$14$

B

$15$

C

$17$

D

$12$

Lời giải

Bước 1: Chọn công thức

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng.

u_{n} = u_{1} + (n - 1) d

Bước 2: Tính và đối chiếu

Thay $n = 5$ , $u_{1} = 2$ , $d = 3$ vào công thức.

u_{5} = 2 + (5 - 1) \cdot 3 = 14

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A: $14$ ; B, C, D sai vì lần lượt tính sai kết quả, cộng thừa công sai và quên cộng $u_{1}$ .

Đáp án: A.

14

— tính theo công thức

u_{5} = u_{1} + 4 d = 2 + 4 \cdot 3 = 14

.

Câu 7

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho mặt phẳng $(P)$ : $2 x - 4 y + 3 z - 9 = 0$ . Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ ?

A

$n_{3} = (- 2; 4; 3)$

B

$n_{1} = (2; 4; 3)$

C

$n_{4} = (2; - 4; 3)$

D

$n_{2} = (2; 4; - 3)$

Lời giải

Bước 1: Lấy các hệ số

Các hệ số của $x$ , $y$ , $z$ lần lượt là $2$ , $- 4$ , $3$ .

n = (2; - 4; 3)

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ : $n_{4} = (2; - 4; 3)$ . Các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì tọa độ không cùng tỉ lệ với $(2; - 4; 3)$ .

Đáp án: Đáp án

C

— vectơ

n_{4} = (2; - 4; 3)

là vectơ pháp tuyến của

(P)

.

Câu 8

Một người chia thời lượng (đơn vị: giây) thực hiện các cuộc gọi điện thoại của mình trong một tuần thành sáu nhóm và lập bảng tần số ghép nhóm như sau. Tứ phân vị thứ ba $Q_{3}$ (đơn vị: giây) của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng

A

$80$

B

$95$

C

$105$

D

$90$

Lời giải

Bước $1$ : Tính tổng tần số

Tổng số quan sát là $n = 10 + 11 + 8 + 6 + 4 + 1 = 40$ .

n = 10 + 11 + 8 + 6 + 4 + 1 = 40

Bước $2$ : Xác định lớp chứa $Q_{3}$

Vị trí cần xét là $\frac{3 n}{4} = 30$ .

Tần số lũy tích đến lớp $[60; 90)$ là $29$ , đến lớp $[90; 120)$ là $35$ ; do đó lớp chứa $Q_{3}$ là $[90; 120)$ .

\frac{3 n}{4} = \frac{3 \cdot 40}{4} = 30

Bước $3$ : Áp dụng công thức

Với $L = 90$ , $C = 29$ , $f = 6$ , $h = 30$ , ta tính được $Q_{3} = 95$ .

Q_{3} = 90 + \frac{30 - 29}{6} \cdot 30 = 95

Bước $4$ : Đối chiếu phương án

Chọn phương án B. $95$ ; các phương án A, C, D sai lần lượt do xác định sai lớp, tính sai phần nội suy hoặc chỉ lấy cận dưới.

Đáp án: B.

95

— vì lớp chứa

Q_{3}

là

[90; 120)

và nội suy cho kết quả

95

.

Câu 9

Tập nghiệm của phương trình $sin x = 1$ là

A

$S = {\frac{π}{2} + 2 k π ∣ k \in Z r i g h t}$

B

$S = {\frac{π}{2} + k π ∣ k \in Z r i g h t}$

C

$S = {k 2 π ∣ k \in Z}$

D

$S = {k π ∣ k \in Z}$

Lời giải

Bước 1: Xác định nghiệm cơ bản

Giá trị $sin x = 1$ xảy ra tại góc $\frac{π}{2}$ .

sin x = 1 ⟹ x = \frac{π}{2} + 2 k π, k \in Z

Bước 2: Viết tập nghiệm

Suy ra tập nghiệm gồm các giá trị $x$ cách nhau một chu kỳ $2 π$ .

S = {\frac{π}{2} + 2 k π ∣ k \in Z}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $A$ ; $B$ sai vì chứa $x = \frac{3 π}{2}$ , còn $C, D$ cho $sin x = 0$ .

Đáp án:

A

— vì tập nghiệm là

S = {\frac{π}{2} + 2 k π ∣ k \in Z}

.

Câu 10

Cho khối chóp $O . A B C$ có $O A$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C)$ , tam giác $A B C$ vuông tại $A$ và $O A = 2, A B = 3, A C = 6$ . Thể tích của khối chóp $O . A B C$ bằng

A

$12$

B

$18$

C

$6$

D

$36$

Lời giải

Bước 1: Xác định đáy và chiều cao

Chọn đáy là tam giác $A B C$ .

Vì $O A ⊥ (A B C)$ nên chiều cao là $h = O A = 2$ .

h = O A = 2

Bước 2: Tính diện tích đáy

Tam giác $A B C$ vuông tại $A$ nên dùng hai cạnh góc vuông $A B$ , $A C$ .

S_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = 9

Bước 3: Đối chiếu phương án

Áp dụng công thức thể tích khối chóp, ta được $V = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 2 = 6$ .

$A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt quên hệ số $\frac{1}{2}$ , quên chia $3$ , và quên cả hai hệ số.

V = \frac{1}{3} S_{A B C} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 2 = 6

Đáp án:

C

— Thể tích khối chóp bằng

6

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề chính thức tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2025 - Mã đề 0102

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Kiểm tra dấu hàm số

Bước 2: Lập công thức diện tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Xác định hệ số

Bước 2: Lập phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Bước 2: So sánh số mũ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Tính nguyên hàm từng phần

Bước 2: Kiểm tra kết quả

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Đọc vị trí gián đoạn

Bước 2: Xác định tiệm cận đứng

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Chọn công thức

Bước 2: Tính và đối chiếu

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Lấy các hệ số

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Tính tổng tần số

Bước 2: Xác định lớp chứa Q3​

Bước 3: Áp dụng công thức

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Xác định nghiệm cơ bản

Bước 2: Viết tập nghiệm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Xác định đáy và chiều cao

Bước 2: Tính diện tích đáy

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Tính tổng tần số

Bước $2$ : Xác định lớp chứa $Q_{3}$

Bước $3$ : Áp dụng công thức

Bước $4$ : Đối chiếu phương án