Đáp án & lời giải chi tiết: [9Study] Đề thi thử TSA năm 2027 - Mã đề 32 - Tư duy Toán học

Đáp án: 2,51

Ta có $Q(t)=logP(t)=loga+tlogb$.

Từ đồ thị: $Q(0)=1$ ⇒ $loga=1$ ⇒ $a=10$.

Lại có $Q(5)=3$ ⇒ $loga+5logb=3$ ⇒ $5logb=2$ ⇒ $logb=0,4$.

Suy ra $b={10}^{0,4}\approx 2,51$.

Đáp án: 8

Vai trò của $x$ và $y$ như nhau nên trước hết xét các cặp có $x\le y$.

Vì $x+2⋮y$ nên $x+2=ky$ với $k$ nguyên dương. Mà $x\le y$ nên $ky=x+2\le y+2$ ⇒ $(k-1)y\le 2$.

Với $k=1$: $y=x+2$ ⇒ $y+2=x+4⋮x$ ⇒ $4⋮x$ ⇒ $x\in \{1;2;4\}$ ⇒ các cặp $(1;3),(2;4),(4;6)$.

Với $k=2$: $(k-1)y\le 2$ ⇒ $y\le 2$; lại có $x=2y-2\ge 1$ ⇒ $y\ge 2$. Do đó $y=2$, $x=2$; cặp $(2;2)$ thỏa mãn.

Với $k\ge 3$: $(k-1)y\le 2$ ⇒ $y=1$, $k=3$ ⇒ $x=1$; cặp $(1;1)$ thỏa mãn.

Như vậy với $x\le y$ có 5 cặp: $(1;1),(2;2),(1;3),(2;4),(4;6)$.

Đổi vai trò $x,y$ ở ba cặp $(1;3),(2;4),(4;6)$ được thêm ba cặp $(3;1),(4;2),(6;4)$.

Vậy có $5+3=8$ cặp số thỏa mãn.

Đáp án: 495

Mỗi bộ 4 đỉnh của đa giác tạo thành một tứ giác lồi có hai đường chéo cắt nhau tại đúng một điểm nằm trong đa giác; ngược lại, mỗi giao điểm của hai đường chéo nằm trong đa giác xác định đúng một bộ 4 đỉnh (4 đầu mút của hai đường chéo đó).

Vì không có ba đường chéo nào đồng quy nên các giao điểm này đôi một phân biệt.

Vậy số giao điểm là $C_{12}^4=495$.

a): Đúng. Từ $\frac{y^{\prime }(t)}{y(t)}=k$ ⇒ ${\left(ln\left|y(t)\right|\right)}^{\prime }=k$ ⇒ $ln\left|y(t)\right|=kt+C$.

Suy ra $y(t)=y(0)e^{kt}$.

b): Đúng. Ta có $y(0)=25-4=21$ và $y(20)=18-4=14$.

Suy ra $21e^{20k}=14$ ⇒ $e^{20k}=\frac{2}{3}$ ⇒ $k=\frac{1}{20}ln\frac{2}{3}\approx -0,0203$.

c): Sai. Ta có $y(40)=21e^{40k}=21{\left(e^{20k}\right)}^2=21\cdot \frac{4}{9}=\frac{28}{3}$.

Suy ra $T(40)=4+\frac{28}{3}\approx 13,3$, tức nhiệt độ chai sữa khoảng 13°C.

$\begin{array}{rl}& \text{Chọn B}\\ & \text{Ta coˊ }{x}^2+x-6=(x+3)(x-2).\\ & \text{Khi }x\to (-3{)}^{+}\text{ thıˋ }x+3\to 0^{+}\text{ vaˋ }x-2\to -5<0\Rightarrow x^2+x-6\to 0^{-}.\\ & \text{Maˋ }-2<0\text{ neˆn }\underset{x\to (-3{)}^{+}}{\lim }\frac{-2}{x^2+x-6}=+\infty .\end{array}$

a): Đúng. Phương trình tham số của $d$ là $\{\begin{array}{r}x=1+t\\ y=2+2t\\ z=-1-2t\end{array}$.

Thay vào $(P)$: $2(1+t)-(2+2t)+2(-1-2t)+6=0$ ⇒ $4-4t=0$ ⇒ $t=1$.

Suy ra giao điểm là $I(2;4;-3)$.

b): Sai. Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;2;-2)$, mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;-1;2)$.

Gọi $\phi$ là góc giữa $d$ và $(P)$ ⇒ $sin\phi =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}|\cdot |\vec{n}|}=\frac{|2-2-4|}{3\cdot 3}=\frac{4}{9}$.

Suy ra $cos\phi =\sqrt{1-\frac{16}{81}}=\frac{\sqrt{65}}{9}\ne \frac{4}{9}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Đaˊp aˊn: }-1,875\\ & \text{Ta coˊ }\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{x+15}-4}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+15}+4)}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x+15}+4}=\frac{1}{8}.\\ & \text{Lại coˊ }\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(a+2x)=a+2.\\ & \text{Haˋm soˆˊ coˊ giới hạn tại }x=1\iff a+2=\frac{1}{8}\Rightarrow a=-\frac{15}{8}=-1,875.\end{array}$

Chọn A

Vì $a,b,c$ là độ dài các cạnh nên $a,b,c\in \{1;2;\dots ;9\}$.

Tam giác cân không đều có hai cạnh bên bằng $x$ và cạnh đáy bằng $y$ với $y\ne x$; điều kiện để tồn tại tam giác là $y<2x$.

Đếm số cặp $(x;y)$:

Với $x=1$: $y<2$ và $y\ne 1$ ⇒ không có cặp nào.

Với $x=2$: $y\in \{1;3\}$ ⇒ 2 cặp.

Với $x=3$: $y\in \{1;2;4;5\}$ ⇒ 4 cặp.

Với $x=4$: $y\in \{1;2;3;5;6;7\}$ ⇒ 6 cặp.

Với $x\in \{5;6;7;8;9\}$: $2x>9$ nên $y$ nhận mọi giá trị từ 1 đến 9, trừ $y=x$ ⇒ mỗi trường hợp có 8 cặp.

Suy ra có $2+4+6+5\cdot 8=52$ cặp $(x;y)$.

Với mỗi cặp, bộ ba chữ số gồm hai chữ số $x$ và một chữ số $y$ có 3 cách xếp thành số $\overline{abc}$ (chọn vị trí của $y$).

Vậy có $52\cdot 3=156$ số.

Chọn C

Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $AC$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ trên $(ABCD)$ ⇒ góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCA}$.

Ta có $AC=a\sqrt{2}$ ⇒ $tan\widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{6}}{a\sqrt{2}}=\sqrt{3}$ ⇒ $\widehat{SCA}=60^{\circ }$.

Chọn B

Gọi $R$ là bán kính khối cầu. Một nửa khối cầu chìm trong nước nên thể tích nước tràn ra bằng thể tích nửa khối cầu:

Ta có $\frac{2}{3}\pi R^3=144\pi$ ⇒ $R^3=216$ ⇒ $R=6$ ⇒ chiều cao phần chứa nước $h=2R=12$.

Vì đúng một nửa khối cầu chìm trong nước nên tâm $O$ của khối cầu là tâm đường tròn miệng cốc. Xét thiết diện qua trục là tam giác cân $SAB$ ($S$ là đỉnh nón, $O$ là trung điểm $AB$): $SO=12$, $OA=r$ và khoảng cách từ $O$ đến $SA$ bằng $R=6$.

Trong tam giác $SOA$ vuông tại $O$: $\frac{1}{6^2}=\frac{1}{S{O}^2}+\frac{1}{O{A}^2}=\frac{1}{144}+\frac{1}{r^2}$ ⇒ $\frac{1}{r^2}=\frac{1}{36}-\frac{1}{144}=\frac{1}{48}$ ⇒ $r^2=48$.

Thể tích phần chứa nước: $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot 48\cdot 12=192\pi$.

Vậy thể tích nước còn lại trong cốc là $192\pi -144\pi =48\pi$ cm³.