Đáp án & lời giải chi tiết: [9Study] Đề thi thử TSA năm 2027 - Mã đề 31 - Tư duy Toán học

Chọn B

Ta có ${\int }_1^{9}f(x)dx={\int }_1^{4}f(x)dx+{\int }_4^{9}f(x)dx=5+(-2)=3$.

Chọn C

Phương trình $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi $a^2+b^2+c^2-d>0$.

Xét đáp án A: là phương trình mặt cầu tâm $I(2;-1;3)$, bán kính $R=4$.

Xét đáp án B: $a=2;b=-1;c=3;d=-2\Rightarrow a^2+b^2+c^2-d=16>0$.

Xét đáp án C: chia hai vế cho 2 được $x^2+y^2+z^2+2x-4y+2z+15=0\Rightarrow a^2+b^2+c^2-d=1+4+1-15=-9<0$ nên không phải phương trình mặt cầu.

Xét đáp án D: chia hai vế cho 3 được $x^2+y^2+z^2+2x-4y-6z+3=0\Rightarrow a^2+b^2+c^2-d=1+4+9-3=11>0$.

Vậy đáp án đúng là C.

Ta có $f(x)=-2\left(1-{cos}^{2}x\right)-8cosx+8=2{cos}^{2}x-8cosx+6$.

Đặt $t=cosx$, $t\in [-1;1]$ ⇒ $f(x)=g(t)=2t^2-8t+6=2(t-1)(t-3)$.

Vì $g(t)$ là tam thức bậc hai có đỉnh tại $t=2$ nên $g(t)$ nghịch biến trên $[-1;1]$ ⇒ $maxf(x)=g(-1)=16$ (đạt khi $cosx=-1$).

Ta có $f(x)=0\iff t=1$ (loại $t=3$) $\iff cosx=1\iff x=k2\pi$ $(k\in Z)$.

Mà $x\in (0;30)$ nên $0<k2\pi <30\iff 0<k<\frac{15}{\pi }\approx 4,77\Rightarrow k\in \{1;2;3;4\}$ ⇒ phương trình có 4 nghiệm.

Ta có $f(x)\ge 16\iff 2t^2-8t-10\ge 0\iff (t+1)(t-5)\ge 0$. Mà $t\in [-1;1]$ nên $t=-1$, tức $cosx=-1$ ⇒ có 1 điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.

Vậy ô [1] là 16, ô [2] là 4, ô [3] là 1.

Hình chiếu của $M$ trên trục $Oy$ là $A(0;1;0)$, trên mặt phẳng $(Oxz)$ là $B(4;0;2)$.

a): Đúng. $\overrightarrow{AB}=(4;-1;2)\Rightarrow AB=\sqrt{4^2+{\left(-1\right)}^2+2^2}=\sqrt{21}$.

b): Sai. Trung điểm của $AB$ là $I\left(2;\frac{1}{2};1\right)$. Mặt phẳng trung trực của $AB$ đi qua $I$ và nhận $\overrightarrow{AB}=(4;-1;2)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình $4(x-2)-\left(y-\frac{1}{2}\right)+2(z-1)=0\iff 8x-2y+4z-19=0$.

Đáp án: 144

Vì không có hai chậu cùng loại đứng cạnh nhau và số chậu cúc nhiều hơn số chậu lan 1 chậu nên hàng phải có dạng: cúc – lan – cúc – lan – cúc – lan – cúc.

Xếp 4 chậu cúc vào 4 vị trí dành cho cúc có $4!=24$ cách; xếp 3 chậu lan vào 3 vị trí còn lại có $3!=6$ cách.

Vậy số cách trưng bày là $24\cdot 6=144$.

Đáp án: 1287

Để đi từ $A$ đến $B$ cần sang phải ít nhất 8 bước và đi lên ít nhất 5 bước, tức ít nhất $8+5=13$ bước.

Do đó khi đi đúng 13 bước, quân cờ phải đi đúng 8 bước sang phải và 5 bước đi lên (không có bước đi lùi hay đi xuống).

Mỗi cách đi ứng với một cách chọn 5 bước "đi lên" trong 13 bước ⇒ số cách là $C_{13}^5=1287$.

Chọn A

Mỗi cách chọn là một tập con gồm 4 phần tử (không phân biệt thứ tự) của tập 8 loại topping ⇒ có $C_8^4$ cách chọn.

Xét đáp án A: Sai. Chẳng hạn hàm hằng $f(x)=5$ có $f^{\prime }(x)=0\le 0,\forall x\in (a;b)$ nhưng không nghịch biến trên $(a;b)$ (điều kiện đúng là $f^{\prime }(x)\le 0$ và dấu bằng chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm).

Xét đáp án B: Sai. Ta có $y^{\prime }=\frac{-7}{{\left(x-2\right)}^2}<0$ nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$, nhưng không nghịch biến trên $D$: chẳng hạn $0<3$ mà $y(0)=-\frac{1}{2}<y(3)=10$.

Xét đáp án C: Đúng (điều kiện đủ để hàm số đạt cực tiểu tại một điểm).

Xét đáp án D: Sai. Với $x\ne 3$ thì $y=\frac{2(x-3)}{-(x-3)}=-2$ ⇒ $li{m}_{x\to 3}y=-2$ (hữu hạn) nên đường thẳng $x=3$ không phải tiệm cận đứng.

Vậy các mệnh đề sai là A, B, D.

Từ đồ thị: hàm số đạt cực tiểu tại $x=a$ $(a<0)$, đạt cực đại tại $x=c$ với $0<c<b$; hàm số đồng biến trên $(a;c)$ và nghịch biến trên $(c;+\infty )$.

a): Sai. Vì $a<x_1<x_2<0<c$ và $f$ đồng biến trên $(a;c)$ nên $f(x_1)<f(x_2)$.

b): Đúng. Vì $(a;0)\subset (a;c)$ và $f^{\prime }(x)>0$ trên $(a;c)$ nên $f^{\prime }(x_0)>0$.

c): Đúng. Trên $[0;b]$, hàm số đồng biến trên $[0;c]$ và nghịch biến trên $[c;b]$ nên với $x_0\in (0;b)$ thì $f(x_0)>min\{f(0);f(b)\}$.

Từ đồ thị, $f(0)>0$, $f(b)>0$ còn $f(a)<0$ ⇒ $f(x_0)>f(a)$.

Đáp án: 343

Mỗi chữ số hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị đều có 7 cách chọn ⇒ lập được $7^3=343$ số.