Đáp án & lời giải chi tiết: [9Study] Đề thi thử TSA năm 2027 - Mã đề 07 - Tư duy Toán học

Đường thẳng $Q(t)$ đi qua hai điểm $(0;2)$ và $(2;3)$ nên có hệ số góc $k=\frac{3-2}{2-0}=0,5$.

Suy ra $Q(t)=0,5t+2$.

Vì $Q(t)=logP(t)$ nên $P(t)={10}^{0,5t+2}$.

Tách lũy thừa: ${10}^{0,5t+2}={10}^2\cdot {10}^{0,5t}=100\cdot {\sqrt{10}}^t$.

Đồng nhất hệ số với $P(t)=a{b}^t$, ta được $a=100$ và $b=\sqrt{10}$.

Giá trị biểu thức $S=a+b^2=100+{\sqrt{10}}^2=100+10=110$.

Vì $x,y$ nguyên dương và $y|x+3$ nên $y\le x+3$; tương tự từ $x|y+3$ nên $x\le y+3$.

Suy ra $\left|x-y\right|\le 3$. Xét từng trường hợp, mỗi lần đều phải kiểm tra đủ cả hai điều kiện chia hết (đây là điểm dễ sót).

- Xét $x=y$: điều kiện $x|x+3$ cho $x|3$ ⇒ $x\in \{1;3\}$. Được 2 cặp $(1;1)$, $(3;3)$.

- Xét $x=y+1$: từ $y|x+3$ ⇒ $y|y+4$ ⇒ $y|4$ ⇒ $y\in \{1;2;4\}$. Thử tiếp điều kiện $x|y+3$: chỉ $y=1$ (tức $x=2$) thỏa $2|4$, hai giá trị còn lại đều bị loại. Được 1 cặp $(2;1)$.

- Đổi vai trò, xét $y=x+1$: tương tự chỉ $x=1$ thỏa cả hai điều kiện, được 1 cặp $(1;2)$.

- Xét $\left|x-y\right|=2$: lập luận tương tự cho cả hai chiều, không có cặp nào thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện chia hết.

- Xét $x=y+3$: điều kiện $x|y+3$ trở thành $x|x$ luôn đúng, chỉ cần $y|x+3=y+6$ ⇒ $y|6$ ⇒ $y\in \{1;2;3;6\}$. Được 4 cặp: $(4;1)$, $(5;2)$, $(6;3)$, $(9;6)$.

- Đổi vai trò, xét $y=x+3$, tương tự được 4 cặp: $(1;4)$, $(2;5)$, $(3;6)$, $(6;9)$.

Vậy tổng số cặp thỏa mãn là $2+1+1+0+4+4=12$ cặp.

Tổng số bi trong hộp là $4+5+6=15$ viên.

Số phần tử không gian mẫu (chọn 3 viên bất kỳ): $n(\Omega )=C_{15}^3=455$.

Gọi $A$ là biến cố "3 viên bi lấy ra có cùng một màu".

Trường hợp lấy được 3 bi đỏ: $C_4^3=4$ cách.

Trường hợp lấy được 3 bi xanh: $C_5^3=10$ cách.

Trường hợp lấy được 3 bi vàng: $C_6^3=20$ cách.

Số kết quả thuận lợi: $n(A)=4+10+20=34$.

Xác suất cần tìm: $P(A)=\frac{34}{455}$.

Cứ 4 đỉnh bất kỳ của đa giác lồi tạo thành một tứ giác lồi, hai đường chéo của tứ giác này cắt nhau tại đúng một điểm nằm bên trong đa giác.

Vì không có ba đường chéo nào đồng quy nên mỗi giao điểm bên trong đa giác tương ứng với đúng một bộ 4 đỉnh. Do đó số giao điểm bên trong đa giác bằng số cách chọn 4 đỉnh từ 11 đỉnh của đa giác.

Ta có $C_{11}^4=\frac{11\cdot 10\cdot 9\cdot 8}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=330$.

Lấy nguyên hàm hai vế của $\frac{y’(t)}{y(t)}=k$ theo $t$: $lny(t)=kt+C$

a): ⇒ $y(t)=y(0)e^{kt}$ — đúng như phát biểu.

b): vì $T_s=5^{\circ }C$ nên chênh lệch ban đầu $y(0)=30-5=25$.

Sau 15 phút, $T(15)=15$ ⇒ $y(15)=15-5=10$.

Thay vào phương trình: $25e^{15k}=10$ ⇔ $e^{15k}=0,4$.

⇒ $k=\frac{ln0,4}{15}\approx -0,0611$ — sai vì phát biểu ghi $-0,0500$.

c): $T(30)=5+25e^{30k}$.

Mà $e^{30k}={\left(e^{15k}\right)}^2={0,4}^2=0,16$ ⇒ $T(30)=5+25\cdot 0,16=9$ — đúng như phát biểu.

Phân tích mẫu số: $x^2-x-2=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$

Khi $x\to 2^{+}$, ta có $x>2$ ⇒ $x-2>0$; đồng thời $x+1\to 3>0$.

Do đó tích $\left(x-2\right)\left(x+1\right)\to 0^{+}$, tức là mẫu số tiến về $0^{+}$.

Tử số bằng $-5<0$ và mẫu số tiến về $0^{+}$, nên giới hạn của phân thức tiến ra âm vô cùng.

Vậy $li{m}_{x\to 2^{+}}\frac{-5}{x^2-x-2}=-\infty$.

a): đường thẳng $d$ có phương trình tham số $x=2+2t,y=1-t,z=-1+t$.

Thay vào phương trình $(P)$: $\left(2+2t\right)+2\left(1-t\right)-\left(-1+t\right)-3=0$ ⇔ $4-t-2=0$ ⇔ $2-t=0$ ⇔ $t=2$.

Thay $t=2$ vào $d$, được tọa độ giao điểm $I(6;-1;1)$ — đúng như phát biểu.

b): đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;-1;1)$, mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;2;-1)$.

Sin góc $\alpha$ giữa đường thẳng và mặt phẳng: $sin\alpha =\frac{|2\cdot 1+(-1)\cdot 2+1\cdot (-1)|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}=\frac{1}{6}$ — sai vì phát biểu ghi $\frac{1}{3}$.

Đáp án: $-\frac{35}{6}$

Ta có $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{x+6}-3}{x-3}=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{(x+6)-9}{(x-3)\left(\sqrt{x+6}+3\right)}=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x+6}+3}=\frac{1}{6}$.

$\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }(a+2x)=a+6$.

Hàm số có giới hạn tại $x=3$ ⇔ $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f(x)$ ⇔ $a+6=\frac{1}{6}$ ⇔ $a=-\frac{35}{6}$.

Vậy $a=-\frac{35}{6}$.

Gọi 3 chữ số tạo thành tam giác cân là $x,x,y$.

Theo bất đẳng thức tam giác, ta phải có $y<2x$.

Liệt kê các cặp $(x;y)$ lập từ $X$:

Với $x=3$, $y<6$ ⇒ $y\in \{3;4;5\}$ (3 cặp).

Với $x=4$, $y<8$ ⇒ $y\in \{3;4;5;6;7\}$ (5 cặp).

Với $x=5$, $y<10$, mà $y\le 9$ nên $y$ nhận đủ cả 7 giá trị của $X$ (7 cặp).

Với $x\in \{6;7;8;9\}$, ta có $2x\ge 12>9$ nên $y$ cũng nhận đủ cả 7 giá trị: $4\times 7=28$ cặp.

Tổng số cặp $(x;y)$ thỏa mãn là $3+5+7+28=43$ cặp.

Trong 43 cặp này, có 7 cặp mà $x=y$ (tam giác đều), mỗi cặp chỉ cho đúng 1 số (3 chữ số giống nhau).

Còn lại $43-7=36$ cặp có $x\ne y$, mỗi cặp hoán vị được $3$ số có 3 chữ số khác nhau về vị trí (vị trí của $y$).

Vậy tổng số các số tự nhiên lập được là $7\cdot 1+36\cdot 3=7+108=115$.

Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $A$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$, do đó $AC$ là hình chiếu của $SC$ lên mặt phẳng đó.

Suy ra góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ chính là góc $\widehat{SCA}$.

Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên đường chéo $AC=a\sqrt{2}$.

Trong tam giác $SAC$ vuông tại $A$, ta có: $tan\widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{6}}{a\sqrt{2}}=\sqrt{3}$.

Vậy $\widehat{SCA}=60^{\circ }$.