Đáp án & lời giải chi tiết: [9Study] Đề thi thử TSA năm 2027 - Mã đề 05 - Tư duy Toán học

Chọn C

Theo định nghĩa đạo hàm: $L=f^{\prime }(2)$.

Ta có $f^{\prime }(x)=1+2x+3x^2+\dots +2026x^{2025}$ ⇒ $S=f^{\prime }(2)=1+2\cdot 2+3\cdot 2^2+\dots +2026\cdot 2^{2025}$.

Suy ra $2S=1\cdot 2+2\cdot 2^2+\dots +2025\cdot 2^{2025}+2026\cdot 2^{2026}$.

Trừ vế theo vế: $2S-S=2026\cdot 2^{2026}-\left(1+2+2^2+\dots +2^{2025}\right)=2026\cdot 2^{2026}-\left(2^{2026}-1\right)$.

⇒ $S=2025\cdot 2^{2026}+1$.

Vậy $L=2025\cdot 2^{2026}+1$.

Chọn B

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;-1;2)$, $R^2=8$ ⇒ $R=2\sqrt{2}$.

Gọi $A$, $B$ lần lượt là hình chiếu của $I$ trên $(P)$, $(Q)$. Vì $(P)$, $(Q)$ tiếp xúc với $(S)$ nên $IA=IB=R$.

Vì $IA\perp d$, $IB\perp d$ nên mặt phẳng $(IAB)\perp d$ tại $K$. Trong mặt phẳng này có $KA\perp KB$ (do $(P)\perp (Q)$), $IA\perp KA$, $IB\perp KB$ và $IA=IB$ ⇒ $IAKB$ là hình vuông cạnh $R$.

⇒ $IK=R\sqrt{2}=2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=4$.

Ta có $OI=\sqrt{2^2+{(-1)}^2+2^2}=3$.

Suy ra $S_{OIK}=\frac{1}{2}\cdot OI\cdot IK\cdot \sin \widehat{OIK}\le \frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=6$.

Dấu “=” xảy ra khi $IK\perp OI$ (luôn chọn được đường thẳng $d$ thỏa mãn).

Vậy diện tích tam giác $OIK$ lớn nhất bằng $6\in (5;7)$.

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ ⇒ $G(2;-1;4)$ và $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$.

⇒ $3MG=6$ ⇒ $MG=2$.

Mà $M\in (Oyz)$ nên $MG\ge d(G,(Oyz))=\left|x_G\right|=2$, dấu “=” xảy ra khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $G$ trên $(Oyz)$.

⇒ $M(0;-1;4)$.

Vậy tung độ của điểm $M$ là $-1$, cao độ của điểm $M$ là $4$.

Đổi 330 ml thành 330 $c{m}^3$. Gọi $r$ là bán kính đáy, $h=12$ là chiều cao.

Ta có $V=\pi r^{2}h$ ⇒ $r^2=\frac{V}{\pi h}=\frac{330}{12\pi }=\frac{55}{2\pi }$ ⇒ $r=\sqrt{\frac{55}{2\pi }}\approx 2,959$.

⇒ Đường kính đáy $2r\approx 5,9$ (cm).

Diện tích toàn phần: $S_{tp}=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi \cdot \frac{55}{2\pi }+24\pi r=55+24\pi r$.

⇒ $S_{tp}\approx 55+223,08\approx 278,1$ ($c{m}^2$).

Vậy đường kính đáy là 5,9 cm và diện tích toàn phần là 278,1 $c{m}^2$.

Chọn C

Đường thẳng $d$ đi qua $M(2;-1;4)$, có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;-3;2)$.

Đường thẳng $d^{\prime }$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u^{\prime }}=(-2;6;-4)=-2\vec{u}$ ⇒ $d\parallel d^{\prime }$ hoặc $d\equiv d^{\prime }$.

Thay tọa độ $M$ vào phương trình $d^{\prime }$: $\frac{2+1}{-2}=-\frac{3}{2}$, $\frac{-1-7}{6}=-\frac{4}{3}$ ⇒ $M\notin d^{\prime }$.

Vậy $d\parallel d^{\prime }$.

Xét điểm $M(x;y;z)$ thuộc mặt cầu $(S)$ tâm $I(0;2;-1)$, bán kính $R=2$ và điểm $N(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng $(\alpha ):x+y+z-6=0$ ⇒ $P=M{N}^2$.

Ta có $d(I,(\alpha ))=\frac{|0+2-1-6|}{\sqrt{3}}=\frac{5}{\sqrt{3}}>2=R$ ⇒ $(\alpha )$ không cắt $(S)$.

Suy ra $MN\ge d(I,(\alpha ))-R=\frac{5}{\sqrt{3}}-2$, dấu “=” xảy ra khi $M$, $N$ cùng nằm trên đường thẳng qua $I$ vuông góc với $(\alpha )$.

⇒ $P_{min}={\left(\frac{5}{\sqrt{3}}-2\right)}^2=\frac{25}{3}-\frac{20\sqrt{3}}{3}+4=\frac{37-20\sqrt{3}}{3}$.

Vậy $k=37$, $p=-20$, $q=3$.

Đáp án: 6

Chữ số tận cùng của $7^n$ lặp lại theo chu kì 4: 7; 9; 3; 1. Vì $17=4\cdot 4+1$ nên ${17}^{17}$ có chữ số tận cùng là 7.

Lũy thừa $4^n$ với $n$ chẵn có chữ số tận cùng là 6 ⇒ $4^6$ có chữ số tận cùng là 6.

Chữ số tận cùng của $3^n$ lặp lại theo chu kì 4: 3; 9; 7; 1. Vì $2025=4\cdot 506+1$ nên ${2023}^{2025}$ có chữ số tận cùng là 3.

⇒ Chữ số tận cùng của $A$ là chữ số tận cùng của $7+6+3=16$.

Vậy chữ số hàng đơn vị của $A$ là 6.

Chọn A

Ta có $f(x)=150-\frac{1}{40}{(x-50)}^2$ ⇒ $f^{\prime }(x)=-\frac{x-50}{20}$.

Quãng đường diều di chuyển: $L={\int }_0^{80}\sqrt{1+\frac{{(x-50)}^2}{400}}dx$.

Sử dụng máy tính cầm tay tính tích phân

⇒ $L\approx 122,78$ (m).

Đặt $AD=x$, $AB=y$ (đơn vị: mét, $x,y>0$). Hàng rào gồm đoạn $AB$ và ba đoạn $AD$, $EF$, $BC$ cùng có độ dài $x$.

Tổng chi phí (nghìn đồng): $60y+30\cdot 3x=18000$ ⇒ $y=300-\frac{3}{2}x$ $(0<x<200)$.

Diện tích khu đất: $S(x)=xy=300x-\frac{3}{2}{x}^2$ ⇒ $S^{\prime }(x)=300-3x$; $S^{\prime }(x)=0\iff x=100$.

Vì $S^{\prime }(x)>0$ trên $(0;100)$ và $S^{\prime }(x)<0$ trên $(100;200)$ nên $S(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=100$, khi đó $y=150$.

a) Đúng. Diện tích lớn nhất khi $AD=x=100$ mét.

b) Sai. Khi đó chi phí làm hàng rào $AB$ là $60\cdot 150=9000$ nghìn đồng, tức 9 triệu đồng.

c) Đúng. $S_{max}=S(100)=100\cdot 150=15000$ ($m^2$).

Ta có ${(1+3x)}^{10}=C_{10}^0+C_{10}^1\cdot 3x+C_{10}^2\cdot 3^2{x}^2+\dots +C_{10}^{10}\cdot 3^{10}{x}^{10}$ và $P(x)=2{(1+3x)}^{10}-x{(1+3x)}^{10}$.

a) Đúng. $P(x)$ là đa thức bậc 11, có hệ số tự do bằng 2 và hệ số của $x^{11}$ bằng $-3^{10}$.

Với $1\le k\le 10$, hệ số của $x^k$ là $2C_{10}^k\cdot 3^k-C_{10}^{k-1}\cdot 3^{k-1}=3^{k-1}\left(6C_{10}^k-C_{10}^{k-1}\right)$.

Mà $C_{10}^{k-1}=\frac{k}{11-k}{C}_{10}^k$ nên hệ số này bằng 0 ⇔ $6(11-k)=k$ ⇔ $k=\frac{66}{7}$ (loại).

⇒ Mọi hệ số từ $x^0$ đến $x^{11}$ đều khác 0 ⇒ khai triển có 12 số hạng.

b) Đúng. Hệ số của $x^2$ là $2\cdot C_{10}^2\cdot 3^2-C_{10}^1\cdot 3=2\cdot 45\cdot 9-30=780$.

c) Sai. Hệ số tự do là $2\cdot C_{10}^0=2$.