Đáp án & lời giải chi tiết: [9Study] Đề thi thử HSA Phần Tư duy Định lượng 2027 - Đề số 43

Chọn C

Mặt cầu $\left(S\right)$ có tâm $I\left(2;-1;3\right)$ và $R^2=2^2+{\left(-1\right)}^2+3^2-5=9\Rightarrow R=3$.

Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{\alpha }=\left(1;0;2\right)$.

Vì $\left(P\right)\perp \left(\alpha \right)$ và $\left(P\right)$ song song với giá của $\vec{v}$ nên $\left(P\right)$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_P=\left[{\vec{n}}_{\alpha },\vec{v}\right]=\left(2;2;-1\right)$.

Do đó $\left(P\right):2x+2y-z+m=0$.

Vì $\left(P\right)$ tiếp xúc với $\left(S\right)$ nên $d\left(I,\left(P\right)\right)=R\Rightarrow \frac{|4-2-3+m|}{3}=3\Rightarrow \left|m-1\right|=9\Rightarrow m=10$ hoặc $m=-8$.

Vậy $\left(P\right):2x+2y-z+10=0$ hoặc $\left(P\right):2x+2y-z-8=0$.

Chọn B

Mặt phẳng $\left(Oxz\right):y=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\left(0;1;0\right)$.

Mặt phẳng cần tìm song song với $\left(Oxz\right)$ nên có dạng $y+m=0$.

Mà mặt phẳng đi qua $A\left(3;-2;1\right)$ nên $-2+m=0\Rightarrow m=2$.

Vậy phương trình mặt phẳng là $y+2=0$.

Chọn A

Gọi $P$ là điểm anh Ba cập bờ, đặt $OP=x$ với $0\le x\le 9$. Khi đó quãng đường chèo thuyền là $AP=\sqrt{x^2+9}$ và quãng đường chạy bộ là $PB=9-x$.

Thời gian đi là $t\left(x\right)=\frac{\sqrt{x^2+9}}{4}+\frac{9-x}{5}$.

Ta có $t^{\prime }\left(x\right)=\frac{x}{4\sqrt{x^2+9}}-\frac{1}{5}$.

Cho $t^{\prime }\left(x\right)=0\Rightarrow 5x=4\sqrt{x^2+9}\Rightarrow 25x^2=16\left(x^2+9\right)\Rightarrow x^2=16\Rightarrow x=4$ (nhận $x\ge 0$).

Vì $\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}$ tăng theo $x$ nên $t^{\prime }\left(x\right)<0$ khi $x<4$ và $t^{\prime }\left(x\right)>0$ khi $x>4$ ⇒ $t\left(x\right)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=4$.

Khi đó $t\left(4\right)=\frac{5}{4}+\frac{5}{5}=\frac{9}{4}$.

Vậy thời gian ngắn nhất là $\frac{9}{4}$ giờ, tức là 135 phút.

Chọn C

Vì $xy=432$ nên $y=\frac{432}{x}$ (với $x>6$, $y>8$).

Phần in chữ có chiều rộng $x-6$ và chiều dài $y-8$ nên diện tích là $S=\left(x-6\right)\left(y-8\right)=xy-8x-6y+48=480-\left(8x+\frac{2592}{x}\right)$.

Theo bất đẳng thức Cô-si: $8x+\frac{2592}{x}\ge 2\sqrt{8\cdot 2592}=288$ nên $S\le 480-288=192$.

Dấu $=$ xảy ra khi $8x=\frac{2592}{x}\Rightarrow x^2=324\Rightarrow x=18$ ⇒ $y=\frac{432}{18}=24$ (thỏa $x,y\in N$).

Vậy $x+y=18+24=42$.

Chọn D

Gọi chiều rộng và chiều cao của bể là $a,h$ ($a,h>0$) ⇒ chiều dài là $3a$.

Diện tích kính gồm đáy và bốn mặt bên: $3a^2+2\left(a+3a\right)h=3a^2+8ah$.

Vì $3a^2+8ah=9$ nên $h=\frac{9-3a^2}{8a}$ với $0<a<\sqrt{3}$.

Thể tích $V=3a^{2}h=\frac{3a\left(9-3a^2\right)}{8}=\frac{27a-9a^3}{8}$.

Ta có $V^{\prime }=\frac{27-27a^2}{8}$ và $V^{\prime }=0\Rightarrow a=1$.

Khi đó $V^{\prime }>0$ trên $\left(0;1\right)$ và $V^{\prime }<0$ trên $\left(1;\sqrt{3}\right)$ nên $V$ đạt giá trị lớn nhất tại $a=1$.

Vậy $V_{max}=V\left(1\right)=\frac{27-9}{8}=2,25m^3$.

Đáp án: 7

Ta có $9^{x+1}=3^{2x+2}$ nên bất phương trình trở thành $3^{2x+2}\ge 3^{x^2-2x-3}$.

Vì cơ số $3>1$ nên $2x+2\ge x^2-2x-3\iff x^2-4x-5\le 0\iff -1\le x\le 5$.

Các nghiệm nguyên là $-1;0;1;2;3;4;5$ ⇒ có $7$ nghiệm.

Chọn A

Đánh số các cuốn sách từ $1$ đến $18$. Gọi $a_1<a_2<a_3<a_4$ là số thứ tự 4 cuốn được lấy.

Vì giữa hai cuốn lấy được bất kì có ít nhất hai cuốn không được lấy nên $a_2-a_1\ge 3$, $a_3-a_2\ge 3$, $a_4-a_3\ge 3$.

Đặt $b_1=a_1$, $b_2=a_2-2$, $b_3=a_3-4$, $b_4=a_4-6$ ⇒ $1\le b_1<b_2<b_3<b_4\le 12$.

Mỗi cách lấy sách tương ứng với đúng một cách chọn 4 số phân biệt trong tập $\{1;2;\dots ;12\}$.

Vậy số cách lấy là $C_{12}^4=495$.

Chọn B

Cỡ mẫu $n=80$. Tần số tích lũy của các nhóm lần lượt là $8;30;56;72;80$.

Vì $\frac{n}{4}=20$ thuộc nhóm $[5;10)$ nên $Q_1=5+\frac{20-8}{22}\cdot 5=\frac{85}{11}\approx 7,73$.

Vì $\frac{n}{2}=40$ thuộc nhóm $[10;15)$ nên $Q_2=10+\frac{40-30}{26}\cdot 5=\frac{155}{13}\approx 11,92$.

Vì $\frac{3n}{4}=60$ thuộc nhóm $[15;20)$ nên $Q_3=15+\frac{60-56}{16}\cdot 5=\frac{65}{4}=16,25$.

Vậy các tứ phân vị là $7,73;11,92;16,25$.

Chọn D

Mỗi lớp có $n=50$ học sinh. Dùng giá trị đại diện của từng nhóm ta có:

Lớp 11A: $\overline{x_A}=\frac{5,5\cdot 6+6,5\cdot 9+7,5\cdot 15+8,5\cdot 13+9,5\cdot 7}{50}=\frac{381}{50}=7,62$.

Lớp 11B: $\overline{x_B}=\frac{5,5\cdot 3+6,5\cdot 9+7,5\cdot 22+8,5\cdot 12+9,5\cdot 4}{50}=\frac{380}{50}=7,6$.

Lớp 11C: $\overline{x_C}=\frac{5,5\cdot 8+6,5\cdot 12+7,5\cdot 13+8,5\cdot 10+9,5\cdot 7}{50}=\frac{371}{50}=7,42$.

Vậy điểm trung bình lần lượt là $7,62;7,6;7,42$.

Chọn C

Với $\overline{x_A}=7,62$, $\overline{x_B}=7,6$, $\overline{x_C}=7,42$ (câu 9), phương sai của từng lớp là:

Lớp 11A: $s_A^2=\frac{6\cdot 5,5^2+9\cdot 6,5^2+15\cdot 7,5^2+13\cdot 8,5^2+7\cdot 9,5^2}{50}-7,{62}^2=\frac{2976,5}{50}-58,0644=1,4656$ ⇒ $s_A\approx 1,21$.

Lớp 11B: $s_B^2=\frac{3\cdot 5,5^2+9\cdot 6,5^2+22\cdot 7,5^2+12\cdot 8,5^2+4\cdot 9,5^2}{50}-7,6^2=\frac{2936,5}{50}-57,76=0,97$ ⇒ $s_B\approx 0,98$.

Lớp 11C: $s_C^2=\frac{8\cdot 5,5^2+12\cdot 6,5^2+13\cdot 7,5^2+10\cdot 8,5^2+7\cdot 9,5^2}{50}-7,{42}^2=\frac{2834,5}{50}-55,0564=1,6336$ ⇒ $s_C\approx 1,28$.

Độ lệch chuẩn càng nhỏ thì điểm số càng đồng đều. Vì $s_B<s_A<s_C$ nên lớp 11B có điểm trung bình đồng đều hơn lớp 11A và 11C.