Đáp án & lời giải chi tiết: [9Study] Đáp án đề thi thử TSA Phần Tư duy Toán học 2027 - Đề số 01

Chọn D

f'(x) đổi dấu từ âm sang dương tại x = -3 (cực tiểu), từ dương sang âm tại x = 1 (cực đại), từ âm sang dương tại x = 3 (cực tiểu). Vậy hàm số f(x) chỉ có đúng 1 điểm cực đại, tại x = 1.

Đáp án: 6

Đặt $t=x-m$. Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(t)-\left(t-1\right)$. Hàm số đồng biến trên (5;6) khi $g^{\prime }(x)\ge 0$ với mọi $x\in (5;6)$, tức là $f^{\prime }(t)\ge t-1$ với mọi $t\in (5-m;6-m)$.

Xét $h(t)=f^{\prime }(t)-(t-1)={-t}^2+7t-10=-(t-2)(t-5)\ge 0$ ⇔ $t\in [2;5]$.

Vậy cần (5-m;6-m) ⊆ [2;5], tức là 5-m ≥ 2 và 6-m ≤ 5, suy ra 1 ≤ m ≤ 3. Do m nguyên dương nên m ∈ {1;2;3}. Tổng các phần tử của S là 1+2+3 = 6.

Chọn A

Tập xác định: $R\backslash \{m\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{{9-m}^2}{{\left(x-m\right)}^2}$.

Hàm số nghịch biến trên (-∞;3) khi và chỉ khi: tiệm cận x = m không thuộc khoảng đó, tức m ≥ 3; đồng thời y' < 0 trên khoảng đó, tức 9 - m² < 0 ⇔ m > 3 hoặc m < -3.

Kết hợp hai điều kiện: m > 3. Với m nguyên trong [-12;12]: m ∈ {4;5;...;12}, có 9 giá trị.

Chọn D

Đặt $g(x)=f(f(x))$, ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(f(x)).f^{\prime }(x)$ = 0 khi f'(x) = 0 (x = 0 hoặc x = 3), hoặc khi f(x) ∈ {0;3} (vì f' triệt tiêu đúng tại các giá trị 0 và 3).

Xét từng nhánh đơn điệu của f: trên (-∞;0] f tăng từ -∞ đến 5; trên [0;3] f giảm từ 5 xuống 1; trên [3;+∞) f tăng từ 1 đến +∞.

• Phương trình f(x) = 0: chỉ nhánh (-∞;0] nhận giá trị 0 (vì hai nhánh còn lại có giá trị nhỏ nhất là 1 > 0), nên có đúng 1 nghiệm.

• Phương trình f(x) = 3: cả ba nhánh đều nhận giá trị 3 (vì 1 < 3 < 5), mỗi nhánh đúng 1 nghiệm, nên có 3 nghiệm.

Vậy g(x) có tất cả 2 + 1 + 3 = 6 điểm tới hạn. Xét dấu g'(x) qua từng điểm (dựa vào dấu f'(x) và f'(f(x)) trên từng nhánh) cho thấy trong 6 điểm tới hạn đó có đúng 3 điểm cực đại (tại x = 0 và tại hai trong ba nghiệm của f(x) = 3 nằm ở các nhánh mà dấu g' đổi từ dương sang âm), 3 điểm còn lại là cực tiểu.

Chọn D

Với đáp án D: $y^{\prime }=x^2-7x+10=(x-2)(x-5)$ < 0 với mọi x ∈ (2;5) ⇒ hàm số nghịch biến trên (2;5).

Với A: $y^{\prime }=x-3$ đổi dấu tại x = 3 ∈ (2;5) ⇒ không nghịch biến trên cả khoảng.

Với B: $y^{\prime }=\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}$ > 0 với mọi x ⇒ hàm số đồng biến, loại.

Với C: $y^{\prime }=\frac{(x-4)(x+2)}{{\left(x-1\right)}^2}$, đổi dấu tại x = 4 ∈ (2;5) ⇒ không nghịch biến trên cả khoảng.

a) Đúng. Theo thiết kế đồ thị, hàm số đạt cực đại tại x=0 với f(0)=2 và đạt cực tiểu tại x=3 với f(3)=-6.

b) Sai. Số nghiệm của $f(x)=m-1$ phụ thuộc vị trí m-1 so với hai giá trị cực trị 2 và -6. Phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt (một nghiệm đơn, một nghiệm kép) khi $m-1=2$ hoặc $m-1=-6$, tức $m\in \{3;-5\}$, không phải {-5;4} như khẳng định nêu ra.

c) Đúng. Áp dụng công thức đạo hàm hàm trị tuyệt đối: nếu u(x)≠0 thì (|u(x)|)'=u'(x).u(x)/|u(x)|. Ở đây u(x)=f(x)+6 nên g'(x)=f'(x)[f(x)+6]/|f(x)+6| tại các điểm f(x)+6≠0.

d) Đúng. Đồ thị g(x)=|f(x)+6| có các điểm cực trị tại x=0 (từ cực trị của f, tung độ |2+6|=8) và tại các nghiệm của f(x)=-6 là x=-1,5 và x=3 (tung độ đều bằng 0, đây là các điểm "gấp" của trị tuyệt đối). Tổng tung độ = 0+8+0 = 8.

Đáp án: 5

Đặt $u(x){=4x}^2-4x$, ta có $u^{\prime }(x)=8x-4=4(2x-1)$ và $h^{\prime }(x)=f^{\prime }(u(x)).u^{\prime }(x)$.

h'(x) = 0 khi u'(x) = 0 (tức $x=\frac{1}{2}$) hoặc f'(u(x)) = 0, tức u(x) ∈ {-1;2;5} (các điểm f' đổi dấu).

• $u(x)=-1$ ⇔ ${4x}^2-4x+1=0\iff {\left(2x-1\right)}^2=0$ ⇔ $x=\frac{1}{2}$ (nghiệm kép, trùng điểm ở trên).

• $u(x)=2$ ⇔ ${4x}^2-4x-2=0$ ⇔ $x=\frac{1\pm \sqrt{3}}{2}$ (2 nghiệm).

• $u(x)=5$ ⇔ ${4x}^2-4x-5=0$ ⇔ $x=\frac{1\pm \sqrt{6}}{2}$ (2 nghiệm).

Vậy có tất cả 5 giá trị x phân biệt ($½;\frac{1-\sqrt{3}}{2};\frac{1+\sqrt{3}}{2};\frac{1-\sqrt{6}}{2};\frac{1+\sqrt{6}}{2}$) mà tại đó h'(x) đổi dấu (kiểm tra bằng xét dấu/đồ thị số) — hàm số h(x) có đúng 5 điểm cực trị.

Chọn A

Tại thời điểm t (giây), vị trí người 1: $(0;5t)$, vị trí người 2: $(40-4t;30-3t)$ (vì véc-tơ vận tốc của người 2 là 5·(-40;-30)/50=(-4;-3).

Bình phương khoảng cách: $d^2(t)={\left(4t-40\right)}^2+{\left(8t-30\right)}^2$. Đây là tam thức bậc hai theo t, đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh parabol. Tính đạo hàm và cho bằng 0 (hoặc dùng công thức đỉnh) ta được t = 5 (giây).

Khi đó $d^2(5)=500$ ⇒ khoảng cách ngắn nhất $d=10\sqrt{5}m$.

Chọn A

Hàm số xác định trên [-6;10]. Ta có $f^{\prime }(x)=3+\frac{3}{\sqrt{10-x}}$ > 0 với mọi x ∈ (-6;10) ⇒ f đồng biến trên [-6;10].

Vậy $M=f(10)=30$ (giới hạn khi x→10⁻), $m=f(-6)=3(-6)-6\sqrt{16}=-18-24=-42$. Suy ra M+m = 30+(-42) = -12.

Đáp án: 0,25

Áp dụng công thức: $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{0,15}{0,6}=0,25$.