Đáp án & lời giải chi tiết: [9Study] Đáp án đề thi thử HSA Phần Tư duy Định lượng 2027 - Đề số 12

Đánh giá Năng lực (HSA)Môn Toán học và Xử lí số liệuNăm 202750 câuChuẩn GDPT mới

Phần I

Câu 1

Trong môn cầu lông, khi phát cầu, người chơi cần đánh qua khỏi lưới sang phía sân đối phương. Xét mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , chọn điểm có tọa độ $(0;y_0)$ là điểm phát cầu thì phương trình quỹ đạo của quả cầu khi rời khỏi mặt vợt là $y=\frac{-gx^2}{2v_0^2cos^2\alpha}+tan\alpha \cdot x+y_0$ , trong đó $g$ là gia tốc trọng trường (lấy bằng 9,8 $m/s^2$ ), $\alpha$ là góc phát cầu so với phương ngang, $v_0$ là vận tốc ban đầu của cầu, $y_0$ là độ cao của điểm phát cầu. Một người phát cầu với góc $45^{\circ}$ , cầu rời mặt vợt ở độ cao 1,05 m và chạm đất tại vị trí cách vị trí cầu rời mặt vợt (theo phương ngang) 21 m. Tính vận tốc ban đầu của cầu (đơn vị: m/s), bỏ qua sức cản của gió.

Hình minh họa

Đáp án đúng: 14

Lời giải

Đáp án: 14

Với $\alpha =45^{\circ}$ : $cos^2\alpha =\frac{1}{2}$ , $tan\alpha =1$ ⇒ quỹ đạo $y=-\frac{\text{9,8}x^2}{v_0^2}+x+\text{1,05}$ .

Điểm $(21;0)$ thuộc quỹ đạo: $0=-\frac{\text{9,8}\cdot 441}{v_0^2}+21+\text{1,05}$ ⇔ $v_0^2=\frac{\text{9,8}\cdot 441}{\text{22,05}}=196$ ⇔ $v_0=14$ (m/s).

Câu 2

Số nguyên $m$ nhỏ nhất để bất phương trình $(m^2-3m-4)x^2-2(m-4)x<1$ nghiệm đúng với mọi $x\in ℝ$ là

-1

Lời giải

Chọn B

Bất phương trình ⇔ $(m^2-3m-4)x^2-2(m-4)x-1<0$ .

Nếu $m=4$ : thành $-1<0$ (luôn đúng). Nếu $m=-1$ : thành $10x-1<0$ (không đúng với mọi $x$ ).

Nếu $m\neq 4$ , $m\neq -1$ : yêu cầu ⇔ $\left\{ \begin{aligned} (m-4)(m+1)<0 \\ \Delta '={(m-4)}^2+(m-4)(m+1)<0 \end{aligned} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{aligned} -1<m<4 \\ (m-4)(2m-3)<0 \end{aligned} \right.$ ⇔ $\frac{3}{2}<m<4$ .

⇒ Điều kiện: $\frac{3}{2}<m\le 4$ ⇒ số nguyên nhỏ nhất là $m=2$ .

Câu 3

Người ta thả một lượng bèo hoa dâu trên mặt hồ, lượng bèo ban đầu chiếm 0,16% diện tích mặt hồ. Biết rằng cứ đúng sau một tuần thì lượng bèo tăng gấp 5 lần lượng bèo trước đó và tốc độ phát triển không đổi. Hỏi sau bao nhiêu ngày bèo sẽ phủ kín mặt hồ?

Đáp án đúng: 28

Lời giải

Đáp án: 28

Sau $n$ tuần, lượng bèo chiếm $\text{0,16}\%\cdot 5^n$ diện tích mặt hồ. Bèo phủ kín mặt hồ ⇔ $\text{0,0016}\cdot 5^n=1$ ⇔ $5^n=625$ ⇔ $n=4$ (tuần).

⇒ Số ngày: $4\cdot 7=28$ (ngày).

Câu 4

Ba số $x,y,z$ theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân với công bội $q$ khác 1, đồng thời ba số $x,3y,5z$ theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng với công sai khác 0. Tính giá trị của biểu thức $\frac{x+2y+3z}{5y-2z}$ .

Quy cách nhập đáp án: [tử số]/[mẫu số].

Đáp án đúng: 38/23

Lời giải

Đáp án: 38/23

Ta có $y=xq$ , $z=xq^2$ ; vì $x,3y,5z$ lập thành cấp số cộng nên $x+5z=6y$ ⇔ $x(5q^2-6q+1)=0$ .

Nếu $x=0$ thì $y=z=0$ , cấp số cộng có công sai 0 (loại) ⇒ $5q^2-6q+1=0$ ⇔ $q=\frac{1}{5}$ (vì $q\neq 1$ ).

⇒ $\frac{x+2y+3z}{5y-2z}=\frac{1+2q+3q^2}{5q-2q^2}=\frac{1+\frac{2}{5}+\frac{3}{25}}{1-\frac{2}{25}}=\frac{38}{23}$ .

Câu 5

Một bể chứa 4000 lít nước tinh khiết. Người ta bơm vào bể đó nước muối có nồng độ 30 gam muối cho mỗi lít nước với tốc độ 25 lít/phút. Nồng độ muối $f(t)$ trong bể sau $t$ phút (đơn vị: gam/lít) là tỉ số giữa khối lượng muối và thể tích nước trong bể. Nồng độ muối tối đa trong bể gần nhất với giá trị nào sau đây?

50.

75.

30.

23.

Lời giải

Chọn C

Sau $t$ phút: khối lượng muối $30\cdot 25t=750t$ (gam), thể tích nước $4000+25t$ (lít) ⇒ $f(t)=\frac{750t}{4000+25t}=\frac{30t}{160+t}$ .

Ta có $f(t)$ đồng biến và $lim_{t\to +\infty}f(t)=30$ ⇒ nồng độ muối tối đa gần với 30 (gam/lít).

Câu 6

Đạo hàm của hàm số $y=sin\sqrt{x^2+4}$ là

cos\sqrt{x^2+4}

-\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}cos\sqrt{x^2+4}

\frac{2x}{\sqrt{x^2+4}}cos\sqrt{x^2+4}

\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}cos\sqrt{x^2+4}

Lời giải

Chọn D

Ta có $y'=(\sqrt{x^2+4})'\cdot cos\sqrt{x^2+4}=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+4}}cos\sqrt{x^2+4}=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}cos\sqrt{x^2+4}$ .

Câu 7

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $4^{x^2-2x}-2^{{(x-1)}^2+2}+m=0$ có đúng 4 nghiệm thực thuộc nửa khoảng $[-1;+\infty )$ ?

Đáp án đúng: 12

Lời giải

Đáp án: 12

Đặt $t=2^{x^2-2x}$ . Ta có $2^{{(x-1)}^2+2}=8\cdot 2^{x^2-2x}=8t$ ⇒ phương trình thành $t^2-8t+m=0$ ⇔ $m=-t^2+8t$ (*).

Với $x\in [-1;+\infty )$ : $x^2-2x$ giảm từ 3 (tại $x=-1$ ) xuống $-1$ (tại $x=1$ ) rồi tăng ⇒ mỗi $t\in \left( \frac{1}{2};8 \right)$ cho đúng 2 giá trị $x$ ; $t=\frac{1}{2}$ cho 1 giá trị; $t>8$ cho 1 giá trị.

Yêu cầu ⇔ (*) có đúng hai nghiệm $t\in \left( \frac{1}{2};8 \right)$ . Xét $h(t)=-t^2+8t$ trên $\left[ \frac{1}{2};8 \right]$ : $h\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{15}{4}$ , $h(4)=16$ (lớn nhất), $h(8)=0$ .

⇒ $\frac{15}{4}<m<16$ , $m\in ℤ$ ⇒ $m\in \{4;5;...;15\}$ ⇒ có 12 giá trị.

Câu 8

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có hai điểm cực trị là $-1$ và 4. Biết $f'(0)=8$ . Hàm số $f(x)$ nghịch biến trên khoảng nào?

(-1;4)

(5;2025)

(0;5)

(-2025;0)

Lời giải

Chọn B

Vì $f$ là hàm bậc ba có hai điểm cực trị $-1$ và 4 nên $f'(x)=k(x+1)(x-4)$ với $k\neq 0$ ; $f'(0)=-4k=8$ ⇔ $k=-2$ .

⇒ $f'(x)=-2(x+1)(x-4)<0$ ⇔ $x<-1$ hoặc $x>4$ ⇒ hàm số nghịch biến trên $(5;2025)\subset (4;+\infty )$ .

Câu 9

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{3}{x}$ tại điểm có tung độ bằng 1 hợp với trục $Ox$ một góc nhọn $\alpha$ . Tính $cot\alpha$ .

Đáp án đúng: 3

Lời giải

Đáp án: 3

Điểm có tung độ 1 là $M(3;1)$ ; $y'=-\frac{3}{x^2}$ ⇒ hệ số góc tiếp tuyến $k=y'(3)=-\frac{1}{3}$ .

Góc nhọn $\alpha$ giữa tiếp tuyến và $Ox$ thỏa mãn $tan\alpha =|k|=\frac{1}{3}$ ⇒ $cot\alpha =3$ .

Câu 10

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $ℝ$ và có đồ thị $f'(x)$ như hình vẽ bên dưới (đồ thị đi qua các điểm $(-3;-2)$ , $(1;0)$ , $(3;1)$ ). Hàm số $g(x)=f(2x-1)-x^2+2x$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Hình minh họa

(-1;1)

(1;2)

(-2;-1)

(0;3)

Lời giải

Chọn A

Ta có $g'(x)=2f'(2x-1)-2x+2$ . Đặt $t=2x-1$ ⇒ $2x=t+1$ ⇒ $g'=2f'(t)-t+1=2\left[ f'(t)-\frac{t-1}{2} \right]$ .

Đường thẳng $y=\frac{t-1}{2}$ đi qua ba điểm $(-3;-2)$ , $(1;0)$ , $(3;1)$ ⇒ cắt đồ thị $y=f'(t)$ tại ba điểm này. Từ đồ thị: $f'(t)<\frac{t-1}{2}$ ⇔ $-3<t<1$ hoặc $t>3$ .

⇒ $g'(x)<0$ ⇔ $-3<2x-1<1$ hoặc $2x-1>3$ ⇔ $-1<x<1$ hoặc $x>2$ ⇒ $g$ nghịch biến trên $(-1;1)$ .

Bảng tra cứu nhanh đáp án trọn bộ 10 câu hỏiNhấn để đóng / mở

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Đáp án	14	B	28	38/23	C	D	12	B	3	A

Đang xem 10 câu đầu của đề

Đề có tất cả 50 câu. Làm bài để xem lời giải tất cả câu hỏi.

Đăng nhập để làm bài