Đáp án & lời giải chi tiết: [9Study] Đáp án đề thi thử HSA Phần Tư duy Định lượng 2027 - Đề số 09

Đánh giá Năng lực (HSA)Môn Toán học và Xử lí số liệuNăm 202750 câuChuẩn GDPT mới

Phần I

Câu 1

Trong một trận thi đấu bóng đá, thủ môn thực hiện phát bóng từ vạch cầu môn với vận tốc $v_0$ hợp với phương ngang một góc $\alpha =15^{\circ}$ và độ bay xa của quả bóng được mô hình hóa bởi hàm số $R(\alpha )=\frac{v_0^2sin2\alpha}{g}$ (m), trong đó $g$ là gia tốc trọng trường lấy bằng 9,8 $m/s^2$ . Biết thủ môn phát bóng với vận tốc 100,8 km/h, tính độ bay xa của quả bóng khi chạm đất (đơn vị: mét).

Hình minh họa

Đáp án đúng: 40

Lời giải

Đáp án: 40

Đổi $v_0=\text{100,8}$ km/h $=28$ m/s.

Ta có $R=\frac{{28}^2\cdot sin30^{\circ}}{\text{9,8}}=\frac{784\cdot \text{0,5}}{\text{9,8}}=40$ (m).

Câu 2

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ trên đoạn $[-5;5]$ để bất phương trình $(m-2)x^2+2(m-2)x+m-5<0$ thỏa mãn với mọi số thực $x$ ?

Lời giải

Chọn C

Với $m=2$ : bất phương trình thành $-3<0$ (luôn đúng) ⇒ thỏa mãn.

Với $m\neq 2$ : yêu cầu ⇔ $\left\{ \begin{aligned} m-2<0 \\ \Delta '={(m-2)}^2-(m-2)(m-5)<0 \end{aligned} \right.$ . Ta có $\Delta '=3(m-2)<0$ ⇔ $m<2$ ⇒ mọi $m<2$ đều thỏa mãn.

⇒ Điều kiện: $m\le 2$ . Mà $m\in Z$ , $m\in [-5;5]$ ⇒ $m\in \{-5;-4;...;2\}$ ⇒ có 8 giá trị.

Câu 3

Trong một giờ hoạt động thực hành, một nhóm bạn đã thực hiện chồng 1350 khối gỗ hình hộp chữ nhật lên nhau để tạo thành một hình kim tự tháp. Biết tầng dưới cùng được xếp bởi 160 khối gỗ và cứ lên thêm một tầng thì số khối gỗ giảm đi 10 khối. Hỏi mô hình kim tự tháp gồm có bao nhiêu tầng?

Đáp án đúng: 15

Lời giải

Đáp án: 15

Số khối gỗ các tầng lập thành cấp số cộng $u_1=160$ , $d=-10$ . Với $n$ tầng: $S_n=\frac{n[320-10(n-1)]}{2}=1350$ ⇔ $n^2-33n+270=0$ ⇔ $n=15$ hoặc $n=18$ .

Với $n=18$ : $u_{18}=160-170<0$ ⇒ loại. Với $n=15$ : $u_{15}=20>0$ ⇒ thỏa mãn. Vậy có 15 tầng.

Câu 4

Anh Hùng gửi 120 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 6%/năm. Chị Lan gửi 100 triệu đồng vào một ngân hàng khác với lãi suất 7%/năm. Cả hai người đều gửi với kì hạn 1 năm theo hình thức lãi kép. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì tổng số tiền cả vốn lẫn lãi của chị Lan nhiều hơn anh Hùng?

Đáp án đúng: 20

Lời giải

Đáp án: 20

Sau $n$ năm: anh Hùng có $120\cdot {\text{1,06}}^n$ , chị Lan có $100\cdot {\text{1,07}}^n$ (triệu đồng).

Yêu cầu: $100\cdot {\text{1,07}}^n>120\cdot {\text{1,06}}^n$ ⇔ ${\left( \frac{\text{1,07}}{\text{1,06}} \right)}^n>\text{1,2}$ ⇔ $n>\frac{ln\text{1,2}}{ln\frac{\text{1,07}}{\text{1,06}}}\approx \text{19,4}$ ⇒ $n=20$ .

Câu 5

Cho $lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{5x-1}-3}{x-2}=\frac{a}{b}$ , trong đó $a,b$ là các số nguyên dương và phân số $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính giá trị biểu thức $A=a+b^3$ .

221.

41.

131.

11.

Lời giải

Chọn A

Ta có $\frac{\sqrt{5x-1}-3}{x-2}=\frac{5x-10}{(x-2)(\sqrt{5x-1}+3)}=\frac{5}{\sqrt{5x-1}+3}$ ⇒ giới hạn bằng $\frac{5}{6}$ .

⇒ $a=5$ , $b=6$ ⇒ $A=5+216=221$ .

Câu 6

Tìm các hàm số $f(x)$ biết rằng $f'(x)=\frac{x^3-3x^2+3x+2}{x^2-2x+1}$ .

f(x)=\frac{x^2}{2}-x-\frac{3}{x-1}+C

f(x)=\frac{x^2}{2}-x+\frac{3}{x-1}+C

f(x)=x^2-2x-\frac{3}{x-1}+C

f(x)=x^2+x+\frac{1}{x-1}+C

Lời giải

Chọn A

Ta có $f'(x)=\frac{{(x-1)}^3+3}{{(x-1)}^2}=x-1+\frac{3}{{(x-1)}^2}$ .

⇒ $f(x)=\frac{x^2}{2}-x-\frac{3}{x-1}+C$ .

Câu 7

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x)=(lnx-1)(e^x+3)(x-1){(x-3)}^2(x-5)$ trên khoảng $(0;+\infty )$ . Hỏi hàm số $y=f(x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Đáp án đúng: 3

Lời giải

Đáp án: 3

Trên $(0;+\infty )$ : $e^x+3>0$ ; $f'(x)=0$ ⇔ $x=e$ hoặc $x=1$ hoặc $x=5$ (nghiệm đơn) hoặc $x=3$ (nghiệm kép).

Ta thấy $f'(x)$ đổi dấu khi qua $x=1$ , $x=e$ , $x=5$ và không đổi dấu khi qua $x=3$ ⇒ hàm số có 3 điểm cực trị.

Câu 8

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $R$ với $f'(x)=(6-2x){(x-1)}^3{(3x+1)}^4$ . Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?

(1;3)

(3;+\infty )

\left( -\frac{1}{3};3 \right)

(-\infty ;3)

Lời giải

Chọn B

Vì ${(3x+1)}^4\ge 0$ và ${(x-1)}^3$ cùng dấu với $x-1$ nên $f'(x)<0$ ⇔ $(3-x)(x-1)<0$ ⇔ $x<1$ hoặc $x>3$ (trừ $x=-\frac{1}{3}$ ).

⇒ Hàm số nghịch biến trên $(3;+\infty )$ .

Câu 9

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho đồ thị $(C):y=\frac{x^2+x+3}{x+1}$ . Đường tiệm cận xiên của $(C)$ cắt đường thẳng $d:y=\sqrt{3}x+2025$ và tạo với $d$ một góc $\beta$ . Tính $\beta$ (đơn vị: độ).

Đáp án đúng: 15

Lời giải

Đáp án: 15

Ta có $y=x+\frac{3}{x+1}$ ⇒ tiệm cận xiên $y=x$ tạo với chiều dương trục $Ox$ góc $45^{\circ}$ .

Đường thẳng $d$ có hệ số góc $\sqrt{3}=tan60^{\circ}$ ⇒ tạo với chiều dương trục $Ox$ góc $60^{\circ}$ ⇒ $\beta =60^{\circ}-45^{\circ}=15^{\circ}$ .

Câu 10

Cho hàm số bậc bốn $f(x)$ . Đồ thị hàm số $y=f'(x)$ như hình vẽ. Hàm số $g(x)=f(x)-2x+1$ đồng biến trên khoảng nào?

Hình minh họa

(1;2)

(0;1)

(-1;0)

(2;3)

Lời giải

Chọn A

Ta có $g'(x)=f'(x)-2$ ⇒ $g$ đồng biến ⇔ $f'(x)>2$ ⇔ đồ thị $y=f'(x)$ nằm trên đường thẳng $y=2$ .

Từ đồ thị, $f'(x)$ là đa thức bậc ba có nghiệm kép $x=0$ , nghiệm đơn $x=3$ và $f'(2)=4$ ⇒ $f'(x)=x^2(3-x)$ . Khi đó $f'(x)>2$ ⇔ $x^3-3x^2+2<0$ ⇔ $(x-1)(x^2-2x-2)<0$ ⇔ $x<1-\sqrt{3}$ hoặc $1<x<1+\sqrt{3}$ .

Vì $(1;2)\subset (1;1+\sqrt{3})$ nên $g$ đồng biến trên $(1;2)$ ; các khoảng còn lại đều chứa điểm có $f'(x)<2$ .

Bảng tra cứu nhanh đáp án trọn bộ 10 câu hỏiNhấn để đóng / mở

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Đáp án	40	C	15	20	A	A	3	B	15	A

Đang xem 10 câu đầu của đề

Đề có tất cả 50 câu. Làm bài để xem lời giải tất cả câu hỏi.

Đăng nhập để làm bài