[9Study] Đáp án đề thi thử HSA Phần Tư duy Định lượng 2027 - Đề số 10

Giả sử một tảng đá lớn được phun ra từ miệng núi lửa với tốc độ 14 m/s theo hướng tạo với phương nằm ngang góc $45^{\circ }$ (như hình vẽ). Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, chọn miệng núi lửa là gốc tọa độ thì quỹ đạo của tảng đá là $y=\frac{-g{x}^2}{2v_0^{2}co{s}^2\alpha }+tan\alpha \cdot x$, trong đó $g$ là gia tốc trọng trường lấy bằng 9,8 $m/s^2$. Biết tảng đá đập vào sườn núi lửa lần thứ nhất ở độ cao thấp hơn 15 m so với điểm bắt đầu. Tính khoảng cách theo phương ngang từ điểm phun tới điểm tảng đá chạm sườn núi lửa lần thứ nhất (đơn vị: mét).

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ trên đoạn $[-20;20]$ để bất phương trình $x^2+2(m-2)x+2m+11\ge 0$ thỏa mãn với mọi số thực $x$?

Một doanh nghiệp triển khai kế hoạch quảng cáo sản phẩm mới trong 12 tuần đầu. Ban đầu, doanh nghiệp chi 18 triệu đồng cho tuần đầu tiên và tăng ngân sách quảng cáo thêm 3 triệu đồng mỗi tuần so với tuần trước đó. Biết ngân sách tối đa mỗi tuần mà doanh nghiệp có thể chi là 36 triệu đồng và sẽ ngừng tăng chi phí khi đạt giới hạn. Hỏi tổng chi phí quảng cáo mà doanh nghiệp phải bỏ ra trong 12 tuần là bao nhiêu (đơn vị: triệu đồng)?

Anh Hùng gửi 200 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 5%/năm. Chị Lan gửi 150 triệu đồng vào một ngân hàng khác với lãi suất 6,5%/năm. Cả hai người đều gửi với kì hạn 1 năm theo hình thức lãi kép. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì tổng số tiền lãi của chị Lan nhiều hơn tổng số tiền lãi của anh Hùng?

Cho $li{m}_{x\to 1}\frac{\sqrt{5x+4}-3}{x-1}=\frac{a}{b}$, trong đó $a,b$ là các số nguyên dương và phân số $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính giá trị biểu thức $A=a^2+b^2$.

Tìm các hàm số $f(x)$ biết rằng $f^{\prime }(x)=\frac{x^3-x^2+2}{x^2-2x+1}$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=(lnx-1)(e^x-10)(x^2-9)(x-5)$ trên khoảng $(0;+\infty )$. Hỏi hàm số $y=f(x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $R$ với $f^{\prime }(x)=(4-2x)(e^x+2){(3x+1)}^3$. Hàm số đồng biến trên khoảng nào?

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đồ thị $(C):y=\frac{x^2-x+2}{x+1}$. Đường tiệm cận xiên của $(C)$ cắt đường thẳng $d:y=3x-2024$ tại điểm $A(a;b)$. Tính $T=a-b$.

Cho hàm số bậc bốn $f(x)$. Đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ (đồ thị tiếp xúc với đường thẳng $y=-3$ tại điểm có hoành độ $x=2$). Hàm số $g(x)=2f(x)+6x-2$ đồng biến trên khoảng nào?