Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề thi tự luyện - Đề số 26 - Tư duy Toán học (Đánh giá Tư duy (TSA))

Câu 1

Cho dãy số

{(u_{n})}_{n \geq 1}

có tổng của

k

số hạng đầu tiên được xác định bởi công thức:

S_{k} = u_{1} + u_{2} + \dots + u_{k} = k^{3} + 2 k .

Tìm số hạng thứ sáu

u_{6}

và thứ tám

u_{8}

của dãy số.

Đáp án: $u_{6} =$ [[____]] và $u_{8} =$ [[____]]

Đáp án đúng: $93$; $171$

Lời giải

Bước 1: Lập công thức số hạng

Hiệu hai tổng liên tiếp cho số hạng cần tìm.

u_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = n^{3} + 2 n - [(n - 1)^{3} + 2 (n - 1)]

Bước 2: Tính hai số hạng

Thay lần lượt $n=6$ và $n=8$ vào công thức.

u_{6} = (6^{3} + 2 \cdot 6) - (5^{3} + 2 \cdot 5) = 228 - 135 = 93; u_{8} = (8^{3} + 2 \cdot 8) - (7^{3} + 2 \cdot 7) = 528 - 357 = 171

Đáp án: Điền

u_6=93

và

u_8=171

— vì

u_n=S_n-S_{n-1}

.

Câu 2

Một túi bi ban đầu có: 35 viên bi xanh, 40 viên bi đỏ. Lấy ra một số viên bi xanh và một số viên bi đỏ. Sau đó, xác suất để lấy được một viên bi đỏ trong túi là $\frac{3}{5}$ và tổng số bi còn lại trong túi là 60. Hỏi đã lấy đi [1] viên bi xanh và [2] viên bi đỏ?

Đáp án đúng: $11$ viên bi xanh; $4$ viên bi đỏ

Lời giải

Bước 1: Tính tổng số bi đã lấy

Gọi số bi xanh, đỏ đã lấy lần lượt là $x,y$ .

35 + 40 - 60 = 15 \Rightarrow x + y = 15

Bước 2: Tìm số bi đỏ đã lấy

Số bi đỏ còn lại là $40-y$ , tổng số bi còn lại là $60$ .

\frac{40 - y}{60} = \frac{3}{5} \Rightarrow 40 - y = 36 \Rightarrow y = 4

Bước 3: Tìm số bi xanh đã lấy

Dùng $x+y=15$ với $y=4$ .

x = 15 - 4 = 11

Đáp án:

11

viên bi xanh và

4

viên bi đỏ — vì tổng số bi đã lấy là

15

, trong đó có

4

viên bi đỏ.

Câu 3

Trong không gian

O x y z

, cho hai đường thẳng

d

và

d^{'}

lần lượt có phương trình:

$d : {\begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 1 - 3 t \\ z = 4 t \end{matrix} v à d^{'} : {\begin{matrix} x = - 3 + 2 s \\ y = 1 + s \\ z = - 1 + 2 s \end{matrix}$

Gọi $φ$ là góc giữa hai đường thẳng $d$ và $d^{'}$ . Tính $φ =$ [[____]] (làm tròn đến 2 chữ số thập phân).

Đáp án đúng: $62{,}77^\circ$

Lời giải

Bước 1: Tính tích vô hướng

Chọn các vectơ chỉ phương $\vec u=(1,-3,4)$ và $\vec v=(2,1,2)$ .

u \cdot v = 1 \cdot 2 + (- 3) \cdot 1 + 4 \cdot 2 = 7; ∥ u ∥ = 26, ∥ v ∥ = 3

Bước 2: Lập công thức góc

Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng.

cos φ = \frac{∣ u \cdot v ∣}{∥ u ∥∥ v ∥} = \frac{7}{3 26}

Bước 3: Tính và làm tròn

Đổi sang đơn vị độ và làm tròn đến hai chữ số thập phân.

φ = arccos (\frac{7}{3 26}) \approx 62, 7 7^{\circ}

Đáp án:

62{,}77^\circ

— tính từ tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương.

Câu 4

Cho p là số nguyên tố thỏa mãn điều kiện: tồn tại các số nguyên dương a,b sao cho: p= $a_{6}+b_{6}-5a_{3}b_{3}$ . Hãy xác định mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai:

A

p chia hết cho a2+ab+b2.

B

Nếu a2+ab+b2=7, thì p chia hết cho 7.

C

Với a2+ab+b2=7, p là số nguyên tố khi a=2,b=1.

D

Nếu p chia hết cho 11, thì a3+b3 chia hết cho 11.

Câu này chưa có lời giải.

Câu 5

Cho hình chóp $S . A B C$ với các đặc điểm sau: Đáy $Δ A B C$ là tam giác vuông tại $B$ , với $A B = 2$ , $B C = 2 \sqrt{2}$ , Cạnh bên $S A = 2$ , và $S A$ vuông góc với đáy. Bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp: $R =$ [[____]]

Đáp án đúng: 2

Lời giải

Nội dung bổ sung

Đáy ABC vuông tại B, AB = 2, BC = 2√2 nên AC = 2√3. Vì SA vuông góc với đáy và SA = 2 nên SC² = SA² + AC² = 4 + 12 = 16, suy ra SC = 4. Với cấu hình này tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của SC nên bán kính R = SC/2 = 2.

Câu 6

Hàm số nào trong các hàm số sau đây đồng biến trên khoảng

(0, + \infty)

?

A

y= $x^4-4x^3+6x^2-4x+1$

B

y=x+1

C

y= $e-x^2$

D

y= $x+x^2$

Lời giải

Bước $1$ : Tính đạo hàm

Lần lượt tính đạo hàm các hàm số.

A : y^{'} = 4 (x - 1)^{3}; B : y^{'} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}; C : y^{'} = - 2 x e^{- x^{2}}; D : y^{'} = 1 + 2 x

Bước $2$ : Xét dấu đạo hàm

Trên $(0,+\infty)$ , $y'_B>0$ và $y'_D>0$ .

Phương án $A$ có $y'_A<0$ khi $0<x<1$ ; phương án $C$ có $y'_C<0$ .

\frac{2 x}{x ^{2} + 1} > 0; 1 + 2 x > 0; 4 (x - 1)^{3} < 0 (0 < x < 1); - 2 x e^{- x^{2}} < 0

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Phương án $B$ và $D$ đều có đạo hàm dương trên $(0,+\infty)$ nên đều đúng; đề không có đáp án duy nhất.

$A$ , $C$ sai vì đạo hàm lần lượt âm trên $(0,1)$ và trên $(0,+\infty)$ .

B, D

Đáp án: Không có đáp án duy nhất — các hàm số ở phương án

B

và

D

đều đồng biến trên

(0,+\infty)

.

Câu 7

Cho phương trình:

c o s x + c o s 2 x = s i n x + 2 c o s^{2} x .

Xác định đúng/sai các phát biểu sau:

A

Phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{\pi}{6}$

B

Khi biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác, ta sẽ thu được 4 điểm

Câu này chưa có lời giải.

Câu 8

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P1) và (P2) lần lượt có phương trình: (P1):2x-2y+z-5=0; (P2):3x-4z+4=0. Tìm phương trình mặt phẳng phân giác (P3) của hai mặt phẳng (P1) và (P2). Một trong hai vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng phân giác là:

A

(5,-2,-3)

B

(13,-2,5)

C

(4,-1,-7)

D

(19,-10,-7)

Lời giải

Bước $1$ : Chuẩn hóa hai mặt phẳng

Đặt $f_1=2x-2y+z-5$ , $f_2=3x-4z+4$ .

Hai chuẩn pháp tuyến là $3$ và $5$ .

∥ n_{1} ∥ = 2^{2} + (- 2)^{2} + 1^{2} = 3, ∥ n_{2} ∥ = 3^{2} + (- 4)^{2} = 5

Bước $2$ : Tính vectơ pháp tuyến

Với nhánh dấu đối nhau, vectơ pháp tuyến là $5\vec n_1+3\vec n_2$ .

Tính theo từng tọa độ.

5 n_{1} + 3 n_{2} = 5 (2, - 2, 1) + 3 (3, 0, - 4) = (19, - 10, - 7)

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Phương án $D$ đúng vì vectơ pháp tuyến thu được là $(19,-10,-7)$ .

Các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì tọa độ không trùng kết quả tính được.

Đáp án: D — Vectơ pháp tuyến của

P_3

là

(19,-10,-7)

.

Câu 9

Cho hàm số

g (x) = 3 x^{2} - s i n (3 x)

. Xác định đúng/sai các phát biểu sau:

A

g(x) là hàm số chẵn.

B

Đạo hàm cấp hai của g(x) luôn dương.

C

Phương trình g(x)=0 có đúng hai nghiệm.

D

Tổng các nghiệm của phương trình g(x)=0 bằng 0.

Câu này chưa có lời giải.

Câu 10

Bạn An xếp 3 viên bi xanh và một số viên bi đỏ vào một cái hộp trống. Sau đó, bạn Thịnh lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra 2 viên bi. Biết các viên bi là khác nhau và xác suất để bạn Thịnh lấy ra 2 viên bi xanh là $\frac{1}{15}$ . Số viên bi đỏ bạn An đã xếp vào hộp là:

A

10

B

3

C

12

D

7

Lời giải

Bước 1: Lập biểu thức xác suất

Tổng số bi là $x+3$ ; số cách lấy hai bi xanh là $\mathrm{C}_{3}^{2}$ .

\frac{C _{3}^{2}}{C _{x + 3}^{2}} = \frac{1}{15}

Bước 2: Giải phương trình

Giải phương trình và loại nghiệm âm vì $x$ là số viên bi.

\frac{C _{3}^{2}}{C _{x + 3}^{2}} = \frac{1}{15} ⟺ \frac{3}{\frac{( x + 3 ) ( x + 2 )}{2}} = \frac{1}{15} ⟺ (x + 3) (x + 2) = 90 ⟺ x^{2} + 5 x - 84 = 0 ⟺ x = 7 hoặc x = - 12 ⟹ x = 7

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án $D$ đúng vì $x=7$ ; $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt cho $x=10$ , $x=3$ , $x=12$ , đều không thỏa mãn phương trình.

Đáp án:

D

— số viên bi đỏ là

7

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề thi tự luyện - Đề số 26 - Tư duy Toán học

Tư duy Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Lập công thức số hạng

Bước 2: Tính hai số hạng

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Tính tổng số bi đã lấy

Bước 2: Tìm số bi đỏ đã lấy

Bước 3: Tìm số bi xanh đã lấy

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Tính tích vô hướng

Bước 2: Lập công thức góc

Bước 3: Tính và làm tròn

Câu 4

Câu 5

Lời giải

Nội dung bổ sung

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Chuẩn hóa hai mặt phẳng

Bước 2: Tính vectơ pháp tuyến

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Lập biểu thức xác suất

Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Tính đạo hàm

Bước $2$ : Xét dấu đạo hàm

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Chuẩn hóa hai mặt phẳng

Bước $2$ : Tính vectơ pháp tuyến

Bước $3$ : Đối chiếu phương án