Đáp án & lời giải chi tiết: Đề thi tự luyện - Đề số 25 - Tư duy Toán học

Bước 1: Tính hệ số cần tìm

Bậc cao nhất là $3n$; cần giảm đúng $3$ bậc trong $(x^3+2x^2+x+2{)}^n$.

Các khả năng tương ứng là: một hạng tử $2$, một $x$ cùng một $2x^2$, hoặc ba $2x^2$.

Bước 2: Lập và giải phương trình

Thay vào điều kiện đề bài, rồi chia cho $n>0$ để tìm nghiệm.

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$, vì nghiệm nguyên dương là $n=5$; $A$, $B$, $D$ sai vì lần lượt không thỏa mãn phương trình.

Bước 1: Rút ra hệ số từ giới hạn

Điều kiện giới hạn cho $c=2$ và $b=-12$.

Bước 2: Tìm $a$ và tính $P$

Thay $c=2$ vào phương trình đã cho, rồi tính trực tiếp $P$.

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án B vì $P=12$; các phương án A, C, D sai vì lần lượt cho kết quả $18$, $9$, $5$.

Bước 1: Biểu diễn tâm

Đặt tâm $I(a;b)$. Vì $I\in \Delta$ nên $a-2b=0$.

Bước 2: Lập và giải phương trình

Bán kính qua $M$ bằng khoảng cách từ $I$ đến ${\Delta }^{\prime }$.

Bước 3: Đối chiếu phương án

Với $a=2$, ta có $I_1(2;1)$, $R_1^2=5$. Với $a=\frac{23}{4}$, ta có $I_2\left(\frac{23}{4};\frac{23}{8}\right)$, $R_2^2=\frac{1445}{64}$.

Không có phương án đúng: A sai vì tâm và bán kính không thỏa; B chỉ đúng đường tròn thứ nhất; C sai vì tâm thứ nhất không thuộc $\Delta$; D sai vì tâm thứ hai và bán kính thứ hai không đúng.

Bước 1: Đếm số phần tử mẫu

Các số sáu chữ số chạy từ $100000$ đến $999999$.

Bước 2: Đếm số thuận lợi

Chọn thêm $4$ chữ số từ $8$ chữ số khác $0,3$; sau đó sắp xếp $6$ chữ số.

Loại các cách có chữ số đầu là $0$.

Bước 3: Tính xác suất và đối chiếu phương án

Xác suất cần tìm là $\frac{42000}{900000}=\frac{7}{150}$.

Phương án đúng là A, biểu diễn $\frac{7}{150}$; B, C, D sai vì không bằng xác suất $\frac{7}{150}$.

Bước $1$: Tính cạnh đáy

Tám điểm chia đều đường tròn nên $AB$ là dây cung chắn góc ở tâm $\frac{\pi }{4}$.

Bước $2$: Tính chiều cao hộp

Theo hình học của hình chữ thập, chiều cao các mặt bên là $h=\frac{s}{\sqrt{2}}$.

Bước $3$: Tính thể tích

Đáy là hình vuông cạnh $s$, nên $V=s^{2}h$.

Bước $4$: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $\mathrm{C}$ vì đúng bằng $4000(2-\sqrt{2})\sqrt{4-2\sqrt{2}}$; các phương án $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{D}$ sai do biến đổi căn thức hoặc hệ số không đúng.

Bước 1: Xác định tâm và bán kính

Do bán kính vuông góc với trục tại tiếp điểm, tâm là $I(a;b;c)$.

Từ các bán kính bằng nhau, suy ra $a^2=b^2=c^2=r^2$ với $r>0$.

Bước 2: Dùng điều kiện điểm thuộc mặt cầu

Vì $D(0;1;2)$ thuộc mặt cầu, thay tọa độ vào $I{D}^2=R^2$.

Đặt $b={\epsilon }_{b}r$, $c={\epsilon }_{c}r$ với ${\epsilon }_b,{\epsilon }_c\in \{-1;1\}$.

Bước 3: Chọn nghiệm phù hợp

Phương trình có nghiệm dương chỉ khi ${\epsilon }_b={\epsilon }_c=1$, cho $r=1$ hoặc $r=5$.

Vì $a,b,c\ne 1$, loại $r=1$; do đó $r=5$.

Bước 4: Tính bán kính và kết quả

Bán kính là $R=\sqrt{b^2+c^2}=r\sqrt{2}=5\sqrt{2}$.

Suy ra $m=5$, $n=2$.

Nội dung bổ sung

Chia các cái bắt tay thành hai nhóm. Nhóm nam–nam có C(13,2)=78. Nhóm nam–nữ: mỗi trong 13 người chồng bắt tay 12 người vợ của người khác, được 13×12=156. Không có bắt tay nữ–nữ. Vậy tổng là 78+156=234.

Bước 1: Tìm tích $xy$

Đặt $s=x+y=m$ và biến đổi phương trình bậc hai đối xứng.

Bước 2: Xét điều kiện nghiệm thực

Hai số $x,y$ thực tồn tại khi biệt thức của phương trình có tổng $m$, tích $m^2-3$ không âm.

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án B vì $-2\le m\le 2$; A, C, D sai vì lần lượt cho $(-3,3)$, $(-\infty ,3)$ và $(2,+\infty )$.

Bước 1: Chọn hai đỉnh đối xứng

Cố định một đỉnh làm đỉnh cân; hai đỉnh còn lại cách nó đều nhau trên đa giác.

Khoảng cách có thể là $$\begin{gathered} k=1,2, \\ ldots,8 \end{gathered}$$; khoảng cách $9$ chỉ cho một đỉnh đối diện.

Bước 2: Đếm và hiệu chỉnh

Có $18\cdot 8=144$ lượt đếm. Các tam giác đều xuất hiện khi chọn cách nhau $6$ đỉnh, có $18:3=6$ tam giác.

Mỗi tam giác đều bị đếm $3$ lần, cần bớt $2$ lần cho mỗi tam giác.

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án C vì tổng số tam giác cân là $132$.

Các phương án $\text{A},\text{B},\text{D}$ sai vì lần lượt giữ nguyên số đếm $144$, trừ thừa thành $126$, và cộng sai thành $228$.

Nội dung bổ sung

Đặt S làm gốc, A, B, C theo ba vectơ cơ sở. Khi đó M có tọa độ tỉ lệ (1/2,0,0), N = (0,2/3,0), còn phương của SC là trục thứ ba. Mặt phẳng qua MN và song song SC có phương trình 4x + 3y = 2. Phần chứa A và B có thể tích bằng 7/18 thể tích khối chóp ban đầu, phần còn lại bằng 11/18. Do đó V1/V2 = 7/11.