Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề thi tự luyện - Đề số 19 - Tư duy Toán học (Đánh giá Tư duy (TSA))

Câu 1

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.
Một sơ đồ các lối đi một chiều theo chiều mũi tên để đi từ địa điểm A tới địa điểm H được minh họa bởi hình sau:

Chẳng hạn, có 2 đường để đi từ A tới B, có 3 đường để đi từ C đến D.

Theo sơ đồ đã cho, số cách để đi từ A tới H là [[____]]

Hình minh họa

Đáp án đúng: 40

Lời giải

Bước 1: Tính số đường trên từng nhánh

Theo sơ đồ, với mỗi nhánh từ $A$ đến $H$ , nhân số cách đi qua các đoạn liên tiếp.

N_{i} = \prod k_{ij}

Bước 2: Cộng các nhánh

Các nhánh đến $H$ không trùng nhau nên áp dụng quy tắc cộng.

N_{A \to H} = N_{1} + N_{2} + \dots + N_{m} = 40

Đáp án:

40

— cộng số cách của các nhánh rời nhau sau khi nhân số cách trên từng nhánh.

Câu 2

Điền một số tự nhiên vào chỗ trống.
Cho a,b là các số nguyên thỏa mãn 2≤a≤2020,2≤b≤2020 và $log_{a}{b}+6log_{b}{a}$ =5. Số cặp (a,b) thoả mãn là [1]

Đáp án đúng: 54

Lời giải

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Đặt $x=\log_a b>0$ , suy ra $\log_b a=\frac{1}{x}$ .

x + \frac{6}{x} = 5 \Leftrightarrow x^{2} - 5 x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = 2 hoặc x = 3

Bước 2: Suy ra dạng của cặp số

Với $x=2$ , ta có $b=a^2$ ; với $x=3$ , ta có $b=a^3$ .

x = 2 \Rightarrow b = a^{2}; x = 3 \Rightarrow b = a^{3}

Bước 3: Đếm các giá trị

Với $b=a^2$ : $2\le a\le\lfloor\sqrt{2020}\rfloor=44$ , có $43$ giá trị.

Với $b=a^3$ : $2\le a\le\lfloor\sqrt[3]{2020}\rfloor=12$ , có $11$ giá trị; hai nhóm không trùng.

43 + 11 = 54

Đáp án:

54

— có

43

cặp dạng

b=a^2

và

11

cặp dạng

b=a^3

.

Câu 3

Điền một số tự nhiên vào chỗ trống.
Cho hàm số:

f (x) = {\begin{matrix} \frac{x^{2} + 5 x + m}{x - 1}, x \neq 1 \\ n, x = 1 \end{matrix}

, với

m, n

là các tham số thực.

Các giá trị của $m, n$ để hàm số liên tục tại $x = 1$ , khi đó tổng giá trị $m + n$ bằng [[____]]

Đáp án đúng: 1

Lời giải

Bước 1: Tìm $m$

Để giới hạn tại $x=1$ hữu hạn, tử số phải triệt tiêu tại $x=1$ .

1^{2} + 5 \cdot 1 + m = 0 \Rightarrow m = - 6

Bước 2: Tính giới hạn

Thay $m=-6$ , phân tích tử số rồi rút gọn với mẫu số.

x \to 1 lim \frac{x ^{2} + 5 x - 6}{x - 1} = x \to 1 lim \frac{( x - 1 ) ( x + 6 )}{x - 1} = 7

Bước 3: Dùng điều kiện liên tục

Điều kiện liên tục cho $n=7$ . Do đó tổng cần tìm là $m+n$ .

m + n = - 6 + 7 = 1

Đáp án:

1

— vì

m=-6

,

n=7

từ điều kiện liên tục tại

x=1

.

Câu 4

Kéo và thả các ô thích hợp vào các chỗ trống.

Cho bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu về cân nặng của 40 bạn học sinh như hình dưới đây:

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm trên là [1]

Tứ phân vị thứ nhất là [2]

Tứ phân vị thứ hai là [3]

Tứ phân vị thứ ba là [4]

Mốt là [5]

Hình minh họa

A

53,6

B

53,9

C

60

D

48,2

E

47,7

F

61

Đáp án đúng: 53,9 — 47,7 — 53,6 — 60 — 48,2

Lời giải

Bước 1: Tính số trung bình

Lấy trung điểm mỗi lớp, nhân với tần số rồi cộng lại.

Thay số trong bảng và chia cho $40$ .

\overline{x} = \frac{\sum f _{i} x _{i}}{40} = 53, 9

Bước 2: Tính các tứ phân vị

Xác định lớp chứa các vị trí $\frac{n}{4}=10$ , $\frac{n}{2}=20$ , $\frac{3n}{4}=30$ .

Áp dụng công thức nội suy với $L$ , $h$ , $F$ , $f$ đọc từ bảng.

Q_{k} = L + h \frac{\frac{k n}{4} - F}{f}; Q_{1} = 47, 7, Q_{2} = 53, 6, Q_{3} = ph ươ ng \overset{a}{ˊ} n C

Bước 3: Tính mốt và ghép đáp án

Chọn lớp có tần số lớn nhất, rồi dùng hai tần số lớp kề bên.

Kết quả ghép theo thứ tự các ô là $B,E,A,C,D$ .

M_{o} = L + h \frac{f _{1} - f _{0}}{2 f _{1} - f _{0} - f _{2}} = 48, 2

Đáp án:

B,E,A,C,D

— lần lượt là

53,9

,

47,7

,

53,6

, phương án

C

và

48,2

theo các công thức số liệu ghép nhóm.

Câu 5

Mỗi phát biểu sau là đúng hay sai

A

Nếu số tự nhiên a>0 có đúng n chữ số và a5 có đúng m chữ số thì m+2n có thể bằng 169.

B

Tổng 21+22+…+242 có tận cùng 6

C

269>531

Câu này chưa có lời giải.

Câu 6

Chuyển động của một vật có phương trình

s (t) = s i n (0, 8 π t + \frac{π}{3})

, ở đó

s

tính bằng centimét và thời gian

t

tính bằng giây. Tại các thời điểm vận tốc bằng 0, tính giá trị tuyệt đối của gia tốc của vật (làm tròn đến 1 chữ số phần thập phân sau dấu ",").

Đáp án: [[____]]

Đáp án đúng: 6,3

Lời giải

Bước 1: Xác định tần số góc

Đặt $\theta=0,8\pi t+\frac{\pi}{3}$ và $\omega=0,8\pi$ .

ω = 0, 8 π, s (t) = sin θ

Bước 2: Dùng điều kiện vận tốc

Vì $v=0$ nên $\cos\theta=0$ , do đó $|\sin\theta|=1$ .

v = s^{'} = ω cos θ = 0 ⟹ ∣ sin θ ∣ = 1, ∣ a ∣ = ∣ s^{''} ∣ = ω^{2} ∣ sin θ ∣ = ω^{2}

Bước 3: Tính và làm tròn

Thay $\omega=0,8\pi$ rồi làm tròn đến một chữ số thập phân.

∣ a ∣ = (0, 8 π)^{2} = 0, 64 π^{2} \approx 6, 316 cm/ s^{2} \Rightarrow 6, 3

Đáp án:

6,3

— vì khi

v=0

thì

|a|=\omega^2=(0,8\pi)^2\approx 6,3

.

Câu 7

Biết rằng

\int f (x) d x = x^{5} + x^{4} + C

. Mỗi phát biểu sau là đúng hay sai?

A

f(x)= $5x^4+4x^3$

B

∫f(3x)dx= $81x^5+27x^4+C$

Câu này chưa có lời giải.

Câu 8

Một công ty sau khi ra mắt sản phẩm mới đã ghi nhận lợi nhuận

P (t)

(đơn vị tỷ đồng) sau

t

tháng kinh doanh. Trong năm đầu tiên, giả sử mối liên hệ giữa lợi nhuận và thời gian kinh doanh được mô hình hóa bởi hàm số

P (t) = - t^{3} + 12 t^{2} + 60 t - 50, 0 \leq t \leq 12

. Mỗi phát biểu sau là đúng hay sai?

A

Lợi nhuận của công ty tại thời điểm t=2 là 110 tỷ đồng.

B

Hàm số biểu thị tốc độ tăng trưởng lợi nhuận P'(t)= $-3t^2+24t+10$ .

C

Lợi nhuận của công ty đạt mức tối đa tại thời điểm t=10.

D

Tại thời điểm t=4 thì tốc độ tăng trưởng lợi nhuận là lớn nhất.

Câu này chưa có lời giải.

Câu 9

Người ta làm một cái lu đựng nước bằng cách cắt bỏ 2 chỏm của một khối cầu có bán kính 5 dm bằng 2 mặt phẳng vuông góc với đường kính và cách tâm khối cầu 3 dm. Tính thể tích của chiếc lu.

Hình minh họa

A

41π( $dm^3$ ).

B

132π( $dm^3$ ).

C

43π( $dm^3$ ).

D

1003π( $dm^3$ ).

Lời giải

Bước 1: Xác định miền thể tích

Đặt tâm cầu tại gốc tọa độ, hai mặt phẳng có phương trình $z=-3$ và $z=3$ .

R = 5, z \in [- 3, 3]

Bước 2: Tính thể tích phần giữa

Diện tích thiết diện tại vị trí $z$ là $\pi(25-z^2)$ .

V = \int_{- 3}^{3} π (25 - z^{2}) d z = π [25 z - \frac{z ^{3}}{3}]_{- 3}^{3} = 132 π dm^{3}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn B. Các phương án A, C, D sai vì lần lượt tính thiếu thể tích, sai phép biến đổi và dùng sai công thức.

V = 132 π dm^{3}

Đáp án: B — Thể tích phần cầu giữa

z=-3

và

z=3

bằng

132\pi\,\text{dm}^3

.

Câu 10

Điền một số nguyên dương thích hợp vào chỗ trống.

Cho hình vuông $(C_{1})$ có cạnh bằng $a$ . Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông $(C_{2})$ .

Từ hình vuông $(C_{2})$ lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông $C_{1}$ , $C_{2}$ , $C_{3}$ ,., $C_{n}$ ... Gọi $S_{i}$ là diện tích của hình vuông $C_{i} (i \in {1, 2, 3, . . . . .})$ . Đặt $T = S_{1} + S_{2} + S_{3} + . . . + S_{n} + . . .$ . Biết $T = \frac{32}{3}$ , tính $a =$ [[____]]

Hình minh họa

Đáp án đúng: 2

Lời giải

Bước 1: Tính tỉ số diện tích

Cạnh hình vuông mới là đường chéo của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông $\frac{3a}{4}$ và $\frac{a}{4}$ .

ℓ^{2} = (\frac{3 a}{4})^{2} + (\frac{a}{4})^{2} = \frac{5 a ^{2}}{8}

Bước 2: Lập tổng diện tích

Do đó, tỉ số diện tích liên tiếp là $q=\frac{5}{8}$ .

T = \frac{S _{1}}{1 - q} = \frac{a ^{2}}{1 - \frac{5}{8}} = \frac{8 a ^{2}}{3}

Bước 3: Tìm cạnh ban đầu

Thay $T=\frac{32}{3}$ và chọn nghiệm dương vì $a$ là độ dài.

\frac{8 a ^{2}}{3} = \frac{32}{3} \Rightarrow a^{2} = 4 \Rightarrow a = 2

Đáp án:

2

— vì

a>0

và

a^2=4

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề thi tự luyện - Đề số 19 - Tư duy Toán học

Tư duy Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tính số đường trên từng nhánh

Bước 2: Cộng các nhánh

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Bước 2: Suy ra dạng của cặp số

Bước 3: Đếm các giá trị

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Tìm m

Bước 2: Tính giới hạn

Bước 3: Dùng điều kiện liên tục

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Tính số trung bình

Bước 2: Tính các tứ phân vị

Bước 3: Tính mốt và ghép đáp án

Câu 5

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Xác định tần số góc

Bước 2: Dùng điều kiện vận tốc

Bước 3: Tính và làm tròn

Câu 7

Câu 8

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Xác định miền thể tích

Bước 2: Tính thể tích phần giữa

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tính tỉ số diện tích

Bước 2: Lập tổng diện tích

Bước 3: Tìm cạnh ban đầu

Bước 1: Tìm $m$